Formulario Statistica Descrittiva

Formulario statistica descrittiva

Centralità

Per una distribuzione di frequenze valgono:

• Q₁ = x_(m+1)/4 se m è dispari, (x_m/4 + x_(m/4)+1)1/2 se m è pari. I^o quartile (25%)
• Q₂ = Me = x_(m+1)/2 se m è dispari, (x_m/2 + x_(m/2)+1)1/2 se m è pari. II^o quartile (50%)
• Q₃ = x_(3m+1)/4 se m è dispari, (x_(3/4)m + x_(3m/4)+1)1/2 se m è pari. III^o quartile (75%)
• M_o = Frequenza più alta (Moda)

Per rappresentare le frequenze utilizzo i grafici a nastri.

M = (1/m) ∑_i=1^m n_i (Media)

Distribuzione di frequenze in classi di modalità

Valgono:

• Q₁ = E_i + (0,25 - F_i) (E_s - E_i)/(F_s - F_i)
• Q₂ = Me = E_i + (0,5 - F_i) (E_s - E_i)/(F_s - F_i)
• Q₃ = E_i + (0,75 - F_i) (E_s - E_i)/(F_s - F_i)
• M = ∑_i=1^m c_i f_i, con c_i = (a_i + d_i)/2

Per la moda esisterà una classe modale?

• Se a_i = cost, la classe modale è quella con f_i più alta;
• Se a_i ≠ cost, la classe modale è quella con h_i più alta.

Trovata la classe modale, il valore della M_o = E_i + E_i/2

Determiniamo h_i (densità relativa di frequenza) e H_i (densità assoluta di frequenza):

• h_i = f_i/a_i, con a_i = ampiezza classe
• H_i = m_i/a_i

Per rappresentarle graficamente:

• L'istogramma di frequenze se a_i = cost
• L'ogiva di distribuzione se a_i ≠ cost

Se ci chiede la frequenza % di un carattere X con valori esterni o non coincidenti con quelli della classe:

Frequenza % (a_n ≤ x ≤ a_s) = [(a_s - a_n) · h_i] · 100, con a_n ≠ a_i ∧ a_s ≠ a_f (va messo h_i della classe comprendente [a_n, a_s])

Variabilità

• Δ = X_max - X_min (Campo di variazione)
• DI = Q₃ - Q₁ (Distanza interquartile)
• S_Me = 1/M ∑_i=1^M |x_i - Me| (Spostamento semplice dalla mediana)
• S_M = 1/M ∑_i=1^M |x_i - M| (Spostamento semplice dalla media)

S_Me e S_M riutilano: "Mediante le osservazioni si spostano dalla (Me o M) di (valore ottenuto)"

Proprietà: ∑_i=1^M |x_i - Me| ≤ ∑_i=1^M |x_i - c| se e solo se c = Me

È utile per confrontare il valore più alto di due spostamenti

σ(x) = √(1/M ∑_i=1^M (x_i - M(x))²) = √(σ²(x)) (Scarto quadratico medio)

σ²_x(x) = ¹/_m∑_i=1^m(n_i-M(x))² = ¹/_m∑_i=1^mn_i² - M²(x) (Varianza)

µ = ¹/_m∑_i=1^mn_i

Indice di variazione relativo

Se ci chiede un indice di variazione relativo o la variazione di un carattere "X":

CV = ^σ(x)/_|M(x)| (Coefficiente di variazione)

• (È adimensionale) (CV ÷= CV • 100)
• Recita: "Mediamente gli spostamenti di 'X' dal valore medio risultano pari a '(CV÷)'!"

Proprietà di linearità

M(x) = cM(y), σ(x) = cσ(y)

CV(x) = CV(y) → Rimane invariato

Distribuzione di frequenza

S_me = ¹/_m∑_i=1^m|n_i−M_c|

S_π = ¹/_m∑_i=1^m|n_i−M| (M_c)

σ²= ¹/_m∑_i=1^m(n_i−η)² + ¹/₅∑n_i²

= ^{mn_i−η² = M₂_i−M² = M₂_i(M_c)−M²}

Distribuzione di frequenze in classi di modalità

M ≈ ∑ f_i u_i

σ² ≈ ∑ ^π/_i f_i − Μ² [al posto di π_i (scritture pigre) mettiamo CI_med]

Indici

• Base fissa: _hi_t = a_t / a_h
• Percentuali: _hi_t % = a_t / a_h · 100
• A base mobile: i_t = a_t / a_t-1
• Percentuali: i_t % = a_t / a_t-1 · 100

Variazioni

Le prime due formule con i pedici h, t si dividono:

• Caso Dinamico → h Caso Complessivo → h > t, h = min anno, t = max anno
• Variazioni Complessive_hV_t = (a_t - a_h) / a_h = a_t / a_h - 1 = _hi_t - 1
• _hV_t % = _hV_t · 100
• Variazione Relativa_t-1V_t = (a_t - a_t-1) / a_t-1 = a_t / a_t-1 - 1 = i_t - 1
• _t-1V_t % = _t-1V_t · 100

Proprietà:

1. ^ht = ^vt + 1 ∧ ⁱt = v_t + 1 queste due se h=qualcuni emmo=t ma con t>h (Caso Dinamico) con t=men emmo e h=min emmo (Caso Complessivo)
2. (t-1)ⁱt = (t-1)^vt + 1 (Caso Relativo)

Se Ho: (t-1)^vt e voglio ricavare da esse t_it, ^hi_t ⇒ t_it = (t-1)^vt + 1 ∧ ^hi_t = i₁ i₂, i₁2=a₃, i₁2 a₃ a₄, ... j₁ i₂ a₃ a₄ ... e_m 2=t 1=t+1

Variazione media

Se \( t > h \) con \( (t-h) \geq 2 \)

Con t = non anno h = min anno

\( \sqrt[\overline{h}]{V_t} = (t-h) \sqrt{t_{h+1} + t_{h+2} + \ldots + t_t} - 1 \)

V\( \sqrt[\overline{h}]{V_t} = (t-h) \sqrt{\frac{a_t}{a_h}} - 1 \)

Variazione Media %

\( \sqrt[\overline{h}]{V_t}% = \overline{V_t} \cdot 100 \)

Reluita; se ogni anno, dal "h" al "t", sifosse verificata una variazione y. Anno.pari (al risultato ottenuto di \( \overline{V_t} \) ) la variazione complessiva dal "h" al "t" sarebbe rimasta invariata.

Concentrazione

Schema:

Totale = \(\sum^n_{i=1} x_i\) TOT/TOT = 1

Concentrazione:

• Equiripartizione R=0, pi - qi = 0
• Max concentrazione R=1, pi - qi = pi - 0 = pi
• 0 < R < 0,5 Medio-bassa concentrazione
• 0,5 < R < 1 Medio-alta concentrazione

Dipendenza in media tra due caratteri (x ∧ y)

Per una distribuzione bivariata in classi di modalità:

• Trovo M(x) = ∑_i=1^m c_i(x)f_i(x)
• Trovo le medie condizionate H(x | y ∈ [a_q1, a_q2],..., [a_k-1, a_k])
• M(x | y ∈ [a_q1, a_q2]) = ∑_i=1^m c_i(x)f_ij(x)
• M(x | y ∈ [a_k-1, a_k]) = ∑_i=1^m c_i(x)f_ij(x)

Se M(x) ≠ M(x | y ∈ [a_q1, a_q2],..., [a_k-1, a_k]) c'è dipendenza in media

Per valutare il grado:

• η_x² = D_s/D_x
• D = m ⋅ σ(x)
• D_s = (M(x | y ∈ [a_q1, a_q2]) - M(x))² ⋅ m₁(y) + ... + (H(x | y ∈ [a_k-1, a_k]) - M(x))² ⋅ m_k(y)

Se 0 ≤ η_x² ≤ 0.5 c'è bassa dipendenza in media di x rispetto ad y.

Se 0.5 ≤ η_x² ≤ 1 c'è alta dipendenza in media di x rispetto ad y.

η_x² = 0 indipendenza; η_x = 1 massima dipendenza.

Dipendenza statistica tra 2 caratteri (x × y)

Calcolo 1 sola frequenza teorica → m'_ij = m_i. ⋅ m_.j / N

Se m'_ij = m_ij ∀ i,j, c'è indipendenza e mi posso calcolare le restanti m'_ij e costruire una nuova distribuzione con le frequenze teoriche.

Definiamo contingenze → c_ij = m_ij - m'_ij

Per calcolare l'intensità (o il grado) di dipendenza usiamo il chi-quadro (χ²):

χ² = ∑_i=1^r ∑_j=1^s c²_ij / m'_ij [Il chi-quadro è un indice assoluto di dipendenza]

χ² = ∑_i=1^r ∑_j=1^s (m²_ij / m'_ij) - N

χ² = [∑_i=1^r ∑_j=1^s m²_ij / (m_i. ⋅ m_.j) - 1] N

Se ci chiede un indice relativo di dipendenza usiamo il c-quadro:

c² = χ² / maxχ² = χ² / [ min(r,s) - 1 ] N

0 &leq; C² &leq; 1

Indipendenza ↑ Massima dipendenza ↑

Tendenza lineare tra 2 caratteri (X e Y)

1. Calcolo la COV(X,Y) = ₁⁄_n ∑_i=1ⁿ(XiYi) - M(X)M(Y)
2. Per una distribuzione in classi di modalità: COV(X,Y) = ₁⁄_n ∑_i=1ⁿ ∑_j=1^s(Ci(X)Ci(Y)Mij) - M(X)M(Y)
3. Se COV(Xi,Y) < 0 → Discordanza tra X e Y
4. Se COV(Xi,Y) = 0 → Nessuna correlazione
5. Se COV(Xi,Y) > 0 → Concordanza tra X e Y
6. Per calcolare l'intensità (o grado) di dipendenza: Calcolo il coefficiente di correlazione: r(X,Y) = COV(X,Y) ⁄ √σ²(X).σ²(Y),  -1 ≤ r(X,Y) ≤ 1
7. Se -1 < r(X,Y) < 0 → C'è discordanza (dipendenza lineare)
8. Se r(X,Y) = 0 → Nessuna correlazione; nessuna dipendenza
9. Se 0 < r(X,Y) ≤ 1 → C'è concordanza (dipendenza lineare)