Formulario statistica

Formulario di statistica

Gianluca Filesi

Statistica descrittiva univariata

Presente una sola features (p = 1)

Indici statistici per dati numerici

Media campionaria

n₁ X U.M.: campione · x̄ = x x = n f_i i n_n i=1

Varianza campionaria

n !11 X X U.M.: campione 22 2 2 2 2 2 − − · (x x̄) = s = x n x̄ x = n f_i n x_i − −n 1 n 1 i=1 i=1

Costante k:
• Se sommata a tutti i dati, varianza invariata;
• Se moltiplicata a tutti i dati, varianza moltiplicata per k².

Deviazione standard campionaria

ν 1 Xp U.M.: campioneu² −s = s = (x x̄) x itx −n 1 i=1

Costante k:
• Se sommata a tutti i dati, deviazione invariata;
• Se moltiplicata a tutti i dati, deviazione moltiplicata per k.

Dato al centro dei dati ordinati. Mediana (med(x)) dove sono i quartili.

Scarto interquartile

IQR(x) = q₃(x) − q₁(x)

Indici statistici per dati categorici

X ∈ {X₁, X₂, ..., X_i, ..., X_n} C ∈ {C₁, C₂, ..., C_g}

Frequenze assolute

n_G X X n = 1 n = n_g g x = Cg i g=1 i=1

Numero di volte in cui la categoria in esame è C_g

Frequenza relativa

G n_g X f = f = 1 g g n g=1

Moda

f = max f_g moda g=1,...,G

Entropia campionaria

G X − · H = f_g log f_g g2 g=1

• min H = 0 con ∃! | ∧ 6ḡ f = 1 f = 0 i = g– g i
• max H = log G2 1 ∀g f =– g G
• · ≤ ≤ q = α n 0 α 1

Quantili

αQuantili
Dati più piccoli
Dati più grandi ≥ ≤ q 25% 75%1 ≥ ≤ q 50% 50%2 ≥ ≤ q 75% 25%3

Statistica descrittiva bivariata

Presente più di una features (p = 2).

Indici statistici per dati numerici

Vettore delle medie

Vettore le cui componenti sono le medie di ogni features., x )x̄ = (x

Matrice delle varianze e covarianze

  2 2 S S 11 12 S = 2 2   S S 21 22

• : varianza campionaria j-esima 2S_jj
• Covarianza campionaria:

n 1 X p p U.M.: U.M. 2 2 2 2 − − |S |≤ ·U.M.S = (x x )(x x c) S S_ir ._r ic . 1 2_rc rc rr cc−n 1 i=1

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

q qq q2 2 2 2 − · ≤ ≤ · S S S S S_i,j

Correlazione lineare

S_i,j − ≤ ≤ ρ = 1 S 1_i,j i,j

q q2 2 · S S_i j

Profondità simpliciale

XDEPTH(x) S: simplesso = 1 ∈ S_x i.p s ∈ R²

Indici statistici per dati categorici

n 1 P f = 1 Frequenza relativa congiunta ∧xx = C = D_gh i=1 n g_i1 i₂ h

Variabili aleatorie

Funzione di ripartizione

≤ F (x) = P (X x)

• Monotona non decrescente
• −lim F (x) = 1 x→+∞
• +lim F (x) = 0 x→−∞
• Sempre continua da destra (lim F (x) = F (h))+x→h

Insieme di tutti i possibili esiti Ω

Densità di probabilità

• Discreta:

(∈ P (X = x) x Ω p(x) = se ∈ 0 x / Ω

≤ ≤ 0 p(x) 1 – P p(x) = 1 –

• Continua:

dx dx ∈ − P (X [x ; x + ]) 2 2 f (x) = dx ≥ f (x) 0 – R f (x) dx = 1 – R .

Legame funzione di ripartizione e densità di probabilità

• Caso discreto X F (x̄) = p(x) x ∈ (−∞;x̄]∩Ω Salto −p(x ) = F (x ) lim F (x) =0 0 −x→x 0

• Caso continuo x Z f (t) dt F (x) = −∞ 0 f (x) = F (x)

Teorema di Bayes

∩ · ⇐⇒ ⊥ P (A B) = P (A) P (B) A B

Indici di variabili aleatorie discrete

Media X · E(x) = µ = x p(x )