Formulario-riassunto matematica finanziaria

FORMULARIO MATEMATICA FINANZIARIA

OPERAZIONE FINANZIARIA: È QLS CONTRATTO (ACCORDO) CHE DIA ORIGINE ALLO SCAMBIO DI SOMME DI DENARO RIFERITE AD EPOCHE DIVERSE TRA 2 SOGGETTI.

• SEMPLICE (ES. SCONTO DI CAMBIALE); 2 SCADENZE
• COMPLESSA: + DI 2 SCADENZE

CAPITALE INIZIALE = C = IMPORTO INVESTITO | CAPITALE FINALE o MONTANTE = M = QUELLO DISPONIBILE ALLA FINE DELL'INVESTIMENTO (RENDENDA).

M > C IPOTESI DI CONTRATTO PARZIALE DEGLI ASSET), C = CHI RINUNCIA OGGI AD UNA DISPONIBILITÀ FINANZIARIA,

RICHIESTA CHI OGGI CONSAPISCE UN RENDIMENTO (E VICEVERSA).

INTERESSE (I) = <> I = D = M - C

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE: FUNZIONE ATTA A DEFINIRE IL MONTANTE M(t) ACCUMULATO AL TEMPO GENERICO t DA UN CAPITALE INIZIALE C: M(t) = F(C,t)

• > POSTULATI:
• \(1)\) F(C,t) DEFINITA PER OGNI C > 0 E PER OGNI t ∈ [0,t̅ ]
• \(2)\) F(C,0) = C PER OGNI C > 0
• \(3)\) t₁ ≤ t₂ ⇒ F(C,t₁) < F(C,t₂)
• \(4)\) F(C,t) = C • F(1,t)
• ⟹ PROPRIETÀ:
• - F(0,t) = 0 PER OGNI t > 0
• C₁ < C₂ ⇒ F(C₁,t) < F(C₂,t)

PONENDO C = 1 f(t) = F(1,t) = Fattore di Montante

• DEFINITA PER t ∈ [0,t̅ ]
• TALE CHE f(0) = 1
• NON DECRESCENTE (SE DERIVABILE, f'(t) ≥ 0)

\(H(t) = C • f(t)\) ⟹ \(I(t) = D(t) = H(t) - C = C[f(t) - 1]\)

TASSO DI INTERESSE DI PERIODO:

• \(i(t) = \frac{I(t)}{C} = \frac{H(t) - C}{C} = \frac{M(t)}{C} - 1 = f(t) - 1\)

TASSO DI SCONTO DI PERIODO:

• \(d(t) = \frac{D(t)}{H(t)} = \frac{H(t) - C}{H(t)} = 1 - \frac{C}{H(t)} = 1 - \frac{1}{f(t)}\)

PERIODICITÀ DEL TASSO:

• i₁₂ ➔ TASSO MENSILE (1 MESE)
• i₁₄ ➔ TASSO TRIMESTRALE (3 MESI)
• i₁₄ ➔ TASSO QUADRIMESTRALE (4 MESI)
• i₁₆ ➔ TASSO SEMESTRALE (6 MESI)
• 1 PUNTO BASE = 0,01%

UN'OPERAZIONE CHE COMPORTI IL DIFFERIMENTO DI UNA DISPONIBILITÀ MONETARIA INDEBITATA SI DICE CAPITALIZZAZIONE:

IL MONTANTE è UNA VARIABILE INDIPENDENTE, ESSENDO NOTI L'IMPORTO DI C E IL TASSO UNITARIO DI INTERESSE.

• FUNZIONI AFFINI: f(t) = 1 + hc, \(h > 0\)
• FUNZIONI ESPONENZIALI: f(t) = e^{bhc}, \(h > 0\)
• FUNZIONI IPERBOLICHE: f(t) = \frac{1}{1 - hc}

IL PARAMETRO h È USATO AL TASSO DI INTERESSE CARATTERISTICO DELLA CAPITALIZZAZIONE

FORMULARIO MATEMATICA FINANZIARIA

OPERAZIONE FINANZIARIA: È QLS CONTRATTO (ACCORDO) CHE DIA ORIGINE ALLO SCAMBIO DI SOMME DI DENARO DIFFERITE AD EPOCHE DISTINTE TRA 2 SOGGETTI.

• SEMPLICE (ES. SCONTO DI CAMBIALE): 2 SCADENZE
• COMPLESSA: + DI 2 SCADENZE

CAPITALE INIZIALE = C = IMPORTO INVESTITO

CAPITALE FINALE = MONTANTE = M = QUELLO DISPONIBILE ALLA FINE DELL'INVESTIMENTO

VIENE CEDUTO OGGI UN IMPORTO A FRONTE DI UNA SOMMA SUPERIORE (E VICEVERSA).

INTERESSE (I) = INDENNIZZO = I = D = M - C

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE: FUNZIONE ATTA A DEFINIRE IL MONTANTE M(t) ACCUMULATO AL TEMPO

GENERALE T DA UN CAPITALE INIZIALE C: M(t) = F(C,t)

• POSTULATI:

1. F(C,t)_è DEFINITA PER OGNI C >0 E PER OGNI t∈[0,]
2. F(C,0)=C PER OGNI C>0
3. t₂≤t₃ ⇒ F(C,t₂) ≤ F(C,t₃)
4. F(C,t) = C·F(1,t) MONTANTE DIRETTAMENTE PROPORZIONALE A C.

• PROPRIETÀ:

−F(0,t)=0 PER OGNI t>0

− C₁ < C₂ ⇒ F(C₁,t) < F(C₂,t)

PONENDO C = 1 f(t) = F(1,t) = FATTORE DI MONTANTE

• DEFINITA PER t ∈ [0,]
• TALE CHE f(0)=1
• NON DECRESCENTE (SE DERIVABILE f'(t) ≥ 0)

M(t)=C⋅f(t) ⇒ I(t)=D(t)=M(t)−C=C[f(t)−1]

TASSO DI INTERESSE DI PERIODO:

• (UNITARIO SE t = 1) i(t)=I(t)/C=M(t)−C/C=f(t)−1

TASSO DI SCONTO DI PERIODO:

• (UNITARIO SE t = 1) d(t)=D(t)/M(t)=M(t)−C/M(t)=1−C/M(t)=1−1/f(t)

PERIODICITÀ DEL TASSO:

• i₁₂ ⇒ TASSO MENSILE (1 MESE)
• i₃ ⇒ TASSO TRIMESTRALE (3 MESI)
• i_k =1/k⋅ANNO
• i₄ ⇒ TASSO QUADRIMESTRALE (4 MESI)
• i₆ ⇒ TASSO SEMESTRALE (6 MESI)

1 PUNTO BASE = 0,01%

tasso annuo ⇒ ⁱ (1 ANNO) ; tasso biennale (ⁱ_.0,5 (1 BIENNIO)

UN'OPERAZIONE CHE COMPORTI IL DIFFERIMENTO DI UNA DISPONIBILITÀ MONETARIA NEL TEMPO SI DICE CAPITALIZZAZIONE.

IL MONTANTE È LA VARIABILE INDIPENDENTE, ESSENDO NOTI L'IMPORTO DI C E IL TASSO UNITARIO DI INTERESSE.

FUNZIONI AFFINI: f(t) = 1 + h·t, (h>0) ⇒ REGIME FINANZIARIO DI INTERESSE SEMPLICE

FUNZIONI ESPONENZIALI: f(t) = e^h·t, (h>0) ⇒ REGIME FINANZIARIO DI INTERESSE COMPOSTO

FUNZIONI IPERBOLICHE: f(t) = C/t+1/C·h, (h>0) ⇒ REGIME FINANZIARIO DI INTERESSE ANTICIPATO

IL PARAMETRO h È LEGATO AL TASSO DI INTERESSE CARATTERISTICO DELLA CAPITALIZZAZIONE ⇒ LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

CONFRONTO TRA I MONTANTI NEI REGIMI A INTERESSE SEMPLICE E COMPOSTO:

Per DURATE > di un periodo il montante in capitalizzazione composta supera il montante in capitalizzazione semplice. Es. t= 1,5% PERIODI = periodo 3 mesi

• t= 3 CAP. SEMPL. = CAP. COMPOSTA
• t<3 CAP. SEMPL.> CAP COMPOSTA
• t>3 CAP COMPOSTO> CAP SEMPLICE

TASSI EQUIVALENTI:

Due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

Occorre usarne i normati:

Nota 1 dei 2 tassi, l'altro si calcola:

H(t) = C(1+it) = C(1+Y)^t

κ = 1/t [(1+Y)^1/t -1]

Y = √(1+it) - 1

TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE K VOLTE ALL'ANNO

(j^k) : j^k = K * i^k dove i^k = tasso del periodoj^k = è un tasso annuo fittizio, è definito come se fosse equivalente a i^k nei restanti x rimandato i_k separato,non si appoggiano al Regime composto, nei calcoli occorre riferirsi a i_k.

TASSO MEDIO:

È quel tasso costante equivalente alla sequenza dei tassi variabili nel senso che consente di ottenere lo stesso montante.

CONFRONTO f(t) NEI 3 REGIMI:

3 curve, si intersecano in 2 punti (0,1) e (1,1 + it), poiché per la Def di tasso unitario di interesse, f(t) per t = 1 vale 1 + i. Per ql.s. periodo finanziario di carattere interesse.N.B. a parità di i, x (0,1,+ ) H(t) a interesse semplice è di quello composto che a sua volta è di quello annuario, per t >= 1 : INT. INT > INT. COMPO. > INT. SEMPLICE

Forza di interesse:

Considero I(t₀ T+Δt) = M(t₀ t+Δt)-M(t) ora considero c^-1

- f(t₀, t+Δt) = M(t₀+Δt)-H(t) = f(t +Δt) - f(t) / f(t) = I' ((t+Δt)-f(t) / Δt ) - I / f(t) = I(t)f'(t)

Definizione Intensità di Interesse

f'(t)=ρ(t)

INTENSiTA ISTANTANEA DI INTERESSE (ρ; Forza Di Interesse) = δ(t)=ρ(t) / f(t)

CAPITALIZZAZIONE CONTINUA:

Quando l'interesse si unlementon instante a instanto, il nostro cancellization tenso a ∼ t e ⊃ x(l)e^{d ∗δ;}