Formulario Principi di Ingegneria Elettrica o Elettrotecnica o Fondamenti di Teoria dei Circuiti

2^a LEGGE OHM

V = ±RI

V_L = ξ ± RI

P_U = V_AB • I

C. UTILIZZ.: I entrante da +

C. GENERATORI; I uscente da +

P_DO = assorbe

P_LO = eroga

P_DO = eroga

P_LO = assorbe

LLC

∑_k I_jk = 0

LMT

∑_k V_k = 0

(μ-1) EQ. LLC

R-(H-1) EQ. LMT

GENERAT. REALE TENSIONE

P_gen = ξ I

P_erog. = V_aa I

GEN. REALE CORRENTE

P_en. = V_AB I_g

P_erog. = V_ag I

RESIST. SERIE

R_eq = ∑R_i

RESIST. PARALLELO

R_eq = (∑_i 1/k_i)^-1

PARTITORE DI TENSIONE

V_a = R_i / ∑R_i

PARTITORE DI CORRENTE

I_aR_j = I_i / ∑R_i

RESISTENZA A STELLA

RESISTENZA A TRIANGOLO

DA STELLA A TRIANGOLO

R_AB = R_AR_B / R_P

R_BC = R_BR_C / R_P

DA TRIANGOLO A STELLA

R_A = R_ABR_AC / R_S

R_S = R_AB + R_BC + R_CA

2^a LEGGE OHM

V = ± RI ⟹ V_i = ξ ± RI

P = V_AB ⋅ I

• C. UTENTE: I entrante da + = RI²
• C. GENERATORI: I uscnte da +

P_DO = assorbe

P_LO = eroga

P_DO = eroga

P_LO = assorbe

LKC ⟹ ∑_k I_k^IN = 0

LKT ⟹ ∑_k V_k = 0

(μ - 1) EQ. LKC

(R - (H - 1)) EQ. LKT

GENERATORI REALI TENSIONE

I_o = I_a

P_EN = E ⋅ I

P_erog. = V_aa ⋅ I

GEN. REALE CORRENTE

I₁ = I_a

P_EN = V_ab ⋅ I_g

P_erog. = V_ab ⋅ I

RESIST. SERIE

R_eq = ∑R_i

RESIST. PARALLELO

R_eq = (∑_i ¹/_ki)⁻¹

PARTITORE DI TENSIONE

V_A = _Ri/^∑R_i ⋅ V_AB

Resistenza di interesse

PARTITORE DI CORRENTE

I_A/^R_i

Resistenza di non interesse

Dipende da I_o, oltre al ramo di coordamento o disaccopiato ad I_o

RESISTENZA A STELLA

IL morsetto comune (centrostella) è elettrso SE resistenza a triangolo;

Se può e 2_ret hanno un morsetto in comune ⟹ se posso interdire con série

DA STELLA A TRIANGOLO

R_AB = R_AR_B / R_P

R_AC = R_AR_C / R_P

R_BC = R_BR_C / R_P

DA TRIANGOLO A STELLA

R_A = R_ABR_AC / R_S

R_B = R_ABR_BC / R_S

R_C = R_BCR_AC / R_S

R_S = R_AB + R_BC + R_CA

GENERATORI IN SERIE

1. V_AB = E₁ - E₂

2. ASSURDO FISICO SU IDEALI

3. I = I₁ - I₂

   GEN. CORRENTE IDEALE ≡ PREVALENTE SU TUTTO CIO' CHE HA IN SERIE

4. V_AB = E₁ + E₂ + I(R₁ + R₂)

GENERATORI IN PARALLELO

1. I_eq = I_G2 - I_G1

2. ASSURDO FISICO SU IDEALI TEND A REALI (TH. MILLMAN)

3. V_AB = E

   GEN. TENSIONE IDEALE ≡ PREVALENTE SU TUTTO CIO' CHE E' IN PARALLELO

NB: VOLTMETRO IDEALE ≡ CIRCUITO APERTO

AMPERMETRO IDEALE ≡ CORTO CIRCUITO

Teorema di Millman

_A

I_A ┌--->----┐ ┌-----------┐ │ │ │ E_M │ │ │ │ ┌---->---┐ │ E₁ R₁ R_M ⟷ │ R₁ R₂ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └---◄----┘ └-----------┘ │ B I_B B

• E_M = (E₁/R₁ + E₂/R₂) / (1/R₁ + 1/R₂)
• R_M = 1 / (1/R₁ + 1/R₂)
• E_M = media pesata alle sorgenti E_i coi pesi le conducente (1/R_i)
• R_M = R₁ = [ Σ (1/R_i) ]^-1
• Segno +: allora E_i concordi con E_M in segno
• Segno -: allora E_i discordi con E_M in segno

NB: ⇨ Un ramo con sola R (senza E) si può usare Millman:-il numeratore ha V_E diviso, mentre al denominatore si aggiunge 1/R

NB: ⇨ E_M al numeratore ha la somma algebraica delle correnti di cortocircuito, cioè:-se in un ramo c'è I_g si somma algebraicamente al numeratore, mentre al denominatore 1/R_g isolando I_g con c.a.⇨ R + 1/R_g = 0 ⇨ R_g = ∞

NB: ⇨ Se in un ramo ci fosse I_T in serie con R, al numeratore si somma algebraicamente -I_T, mentre al denominatore si moltiplica 0 //: -I_g prevale tutto ciò che non ha in serie

NB: ⇨ Se in uno di rami M1 dei generatori passa corrente Millman può avere generatore presente su tutto ciò che ha in parallelo.

Rete Pesa Passiva ⇨ Gen Tensione ⇨ ⇨ R

Teorema di Thevenin

Data una rete lineare vista tra 2 p.b. questa può essere trasformata in un gen. reale di tensione ottenuto per:

• V_TH la tensione a circuito aperto tra i 2 p.b. della rete
• R_TH la Req di tutta rete resa passiva e vista da quei 2 p.b.

NB Con Thevenin posso trasformare gen reale corrente in gen. reale tensione

Teorema di Northon

Data una rete lineare vista da 2 p.b. questa può essere trasformata in un gen. reale di corrente ottenuto per:

• I_N la corrente di cortocircuito tra i 2 p.b. della rete
• R_N la Req della rete resa passiva e vista da quei 2 p.b.

NB Con Northon posso trasformare gen reale tensione in un gen reale corrente

NB Se la variabile di controllo del generatore dipendente è quello stesso ramo del generatore, si deve sostituire corrente vincolata

NB rimuovere generatori di corrente controllati con Z_BQ negativi

NB Se il gen. dipendente è controllato da var. interna alla rete un implicativo - R_TH = R_H diventa del coefficiente di controllo

mentre se dipendente da una variabile esterna alla rete un implicativo posso essere passivo in gen dipendente e R_TH = R_H oss dipendente del coefficiente in controllo

Condensatore (circuito aperto)

Q = CU

C = Q / U = εS / d

ν(t) = C dU / dt

i(t) = 1 / C ∫ide + U₀ + 1 / C ∫idt

p = 1/2 C U₂

W_C = 1/2 C v²

C_eq = 1 / ∑ 1/C_i

C_p = ∑ C_i

Induttore = L (corto circuito)

φ_g = Nφ / Q

R_L = l / µS

φ_S = Mφ_g

φ_Z = Lφ_i

ν_i = i L vdt

ν_i = ∫v_idt = i₀ + L ∫ν_Tdt

V_Z = e - dφ_Z / dt

V_Z = L di_i / dt

L₂ = L di₁ / dt

W_L = 1/2 L i²

L_s = ∑ L_i

L_p = 1 / ∑ 1/L_i

Scarica condensatore

ν_o(t) = V_oe^-t/τ

Naturale (Risp. autonoma circuito RC)

ν_c(t) = V_ce^-t/RC

Carica condensatore (Risp. forzata circuito RC)

U_C(ε) = V_S(1 - e^-t/τ)

ν_i(t) = V_S / R

Risposta completa circuito RC = V_t(t) = V_{εR_nat} + v₀(1 - e^-t/τ)

v_t(t) = v_o(1 - e^-t/τ)

Scarica induttore (Risp naturale circuito RL)

ν_L(t) = i_Le^-t/τ

ν_L(t) = R i_L e^-t/τ

Carica induttore (Risp. forzata circuito RL)

ν_L(t) = V_β/R

ν_L(t) = V_S e^-t/τ

Risposta completa circuito RL = ν_L(t) = ν₀(1 - e^-t/τ) v_L

V_t(t) = v_e(1 - e^-t/τ)

I_L,o

U_C,o → V_C PRIMA DELLA COMMUTAZIONE

U_C,∞ → V_C DOPO LA COMMUTAZIONE ALLA FINE DEL TRANSITORIO

i_L,∞

Dove i_L → Reg. _o U_C → Reg. calcolato → reattiva passiva di rete,

NB → V_C,0 > V_C,∞ → CONDENS. SI CARICA

     → V_C,0 < V_C,∞ → CONDENS. SI SCARICA

FUNZIONE SINUSOIDALE → a(t) = A_m ∈(wt+Φ)

                → AMPIEZZA → FASE INIZIALE

VALORE MAX PULSAZIONE: w = ^2π⁄_T

Arms = ^A_m⁄_√2

t=0, Φ = 0 → SIN. IN FASE

t < 0, Φ > 0 → SIN. IN ANTICIPO

t > 0, Φ < 0 → SIN. IN RITARDO

         → HB → COS(wt+Φ) &esub; nel (wt+Φ +π⁄2)

              nei problemi solutivi con integrals

FORMULA DI WERNER → NA NA NB = ¹⁄₂(cos(a-b)+cos(a+b))

cos(a±β) = cosαcosβ–NA NA NB

VETTORE ROTANTE → À = A_mcos(wt±Φ)+jA_msen(wt±Φ)=A_me

^j(wt±Φ)

dÀ

dt

= jwÀ ╱

j∫dξ = À = ¼ À ╱ -jÀ

VELLE IN OHM IN ALTERNATA →

∈ = √²⁄_^V²B₀

REATTANZA

REATTANZA

          → INDU(ATTO)VB  = jx_L→⊂

1. CARICO PURAMENTE RESISTIVO →

ψ=→=

O

DE FASE IN FASE

2. CARICO PURAMENTE INDUTTIVO →

Ω= O →

ANTICO P O ½Ωu

3. CARICO PUREAMENTE CAPACITVO →

Qωrs–

Ωu &isub;0

4. CARICO OHMICO-INDUTTIVO →

0 <     to <

R ]

5. CARICO OHIMICO-CAPACITVO →

O to O ← (O) ↑

  → IN ANTICOPO Ť

FASORE

V̂ = V_MAX e^jΦ

Dal Dominio del Tempo al Dominio dei Fasori

Ė = E_cos(ΦE) + jE_sin(ΦE)

Ī = I_cos(ΦI) - jI_sin(ΦI)

R, L, C nelle rispettive impedenze ⇒

Z̅ = jωL

Z̅ = 1/jωC

Si lavora tutto nel dominio dei fasori e poi si porta nel dominio del tempo

v_AB(t) = (V_{AB, max}) ×

√2V_AB V_EFP = √A² + B²

Φ_vAB = arctg(B/A)

da E_VAB = A ± jB

POTENZA ISTANTANEA

p = VI_cosΦ - VI_{cos(2ωt + Φ)}

p = V_cosΦ - V_cos(2ωt) + V_ısin(2ωt)

P. Media P_{ot. Attiva (P)}

P_{otenza Fluttuante Attiva} (p_F)

POTENZA APPARENTE

S̅ = VI̅ = √ (P² + Q²)

POTENZA COMPLESSA

S̅ = VI_cosΦ + jVI_sinΦ

S̅ = Z̅İ = Z̅I² = Z̅I̅²

P + jQ

S = R + jωL

FATTORE DI POTENZA

• ATTIVO ⇒ _f.d.p.P = ^P/_S = cosϕ
• REATTIVO ⇒ _f.d.p.Q = ^Q/_S = senϕ

POTENZA ATTIVA ⇒ P = VIcosϕ = RI²

POTENZA REATTIVA ⇒ Q = VIsenϕ = XI²

POTENZA APPARENTE ⇒ S = VI = √(P² + Q²) = ZI²

TEOREMA DI BOUCHEROT

• P_TOT = ∑_i P_i
• Q_TOT = ∑_i Q_i

S_TOT = √P_¹ + S_² se Φ_¹ = Φ_²

√P_TOT + Q_TOT se Φ_¹ ≠ Φ_²

RIFASAMENTO TOTALE

ϕ_c = 0 ∨ cosϕ_R = 1

C_R = L_{Z ^{- 1} - ¹/R² + WL²}

Z_CA = Z_CARICO

RIFASAMENTO PARZIALE

ϕ_c > 0 ∨ cosϕ_R < 1

C_R = ¹/_W²L R; i; C_R = _ZCA^{Patϕ_QR - W²L/_W/2}

Z_A + jX_L = L_Z ^{- W_L}

SPELLICCHIO

Z_CA = A + jB ⇒ ^{- B < 0} ⇒ NON SI RIFASA

^{- B > 0} ⇒ arg(

^{B ₎ < ϕ_R ⇒ NON SI RIFASA}

arg(

^{B ₎}/_A > ϕ_R ⇒ SI RIFASA

Teorema del Max Trasferimento di Potenza Attiva/Media

Devo trovare un carico adattato da mettere tra 2 (T) gli arrivi la max potenza.

D.C.) ⇒ R_L = R_TH

P_MAX = V_TH² / 4R_TH

A.C.) ⇒

• X_L = X_TH
• R_L = R_TH

P_MAX = V_TH² / 4R_TH

Mutua Induzione

Φ = NI / R    Q = ℓ / μS

Φ∑ = M ij ⇨ e = dΦ∑ / dt = N² / R · di / dt = L _S di / dt

Φ_Σ12 = k12 qg1 N2

e_n1 = - dΦΣ12 / dt = - k12 N1 N2 / R · di₁ / dt - k12 di₁ / dt

k12 = √ΦΣ1 / ΦΣ2 = k12 √N1² N2² / R = k12 √L1L2

Convenzione dei Puntini

• E₁ si oppone sempre al verso di I (punta sul verso in cui la corrente entra alla bobina)
• E± si segna la regola del pallino:
  1. Se la corrente entra sul lato del pallino il morsetto positivo della mutua sarà oltre l'avvolgimento verso il pallino
  2. Se la corrente esce dal pallino il morsetto positivo della mutua è opposto al pallino

NB: Se la corrente vetture percorre esternamente dal pallino le forze di autoinduzione sono identiche alle mutue.