Formulario - primo parziale Data Analytics - Prof Gigliarano

Analisi multivariata

Obiettivi dell'analisi multivariata

Studia le relazioni tra tutte le variabili contemporaneamente. Le tecniche di analisi multivariata richiedono l’uso del computer per poter essere implementate: numerosi sono i software statistici che rendono più semplice l'applicazione di queste analisi.

• Riduzione della dimensionalità: Rappresentare il fenomeno nel modo più semplice possibile senza perdere le informazioni rilevanti.
• Creare gruppi di unità o di variabili simili: Definire regole di classificazione per ordinare e raggruppare.
• Investigazione della dipendenza tra le variabili: Le variabili sono tutte tra loro indipendenti oppure una o più dipendono dalle altre?
• Previsione: Prevedere il valore di una o più variabili sulla base dei valori osservati.
• Verifica di ipotesi: Validare le assunzioni oppure rinforzare convinzioni a priori.

Analisi di interdipendenza

Studia la relazione tra variabili di interesse, per stabilire se siano tra loro indipendenti oppure no. Siamo interessati a spiegare e prevedere una variabile come funzione di un insieme di variabili esplicative.

Analisi della dipendenza

• Y quantitativa: Modello di regressione lineare semplice e multipla.
• Y binaria: Modello di regressione logistica.
• Y qualitativa nominale: Analisi discriminante.

Ipotesi

Assunzione circa il parametro della popolazione. L'ipotesi numerica che deve essere verificata si riferisce sempre al parametro della popolazione (non della statistica campionaria).

Ipotesi nulla (H₀)

Si inizia con l’assunzione che H₀ sia vera (status quo). Contiene sempre =, ≤ o ≥. Rifiutiamo H₀ solo se c’è forte evidenza empirica a favore di H₁.

Ipotesi alternativa (H₁)

Non contiene mai =, ≤ o ≥. Definisce i valori della statistica campionaria che sono improbabili se l’ipotesi nulla è vera (regione di rifiuto della distribuzione campionaria). Fornisce i valori critici del test.

Livello di significatività

Rifiutare un’ipotesi nulla vera comporta un errore di Primo Tipo. La probabilità dell’errore di primo tipo è il livello di significatività.

Errori nel processo decisionale

• Errore di Secondo Tipo: La probabilità dell'errore di secondo tipo è β.
• H₀ vera: Accetto H₀: Nessun errore (P = 1-α). Rifiuto H₀: Errore del 1° tipo (P = α).
• H₁ vera: Accetto H₀: Errore del 2° tipo (P = β). Rifiuto H₀: Nessun errore (P = 1-β).

Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione distribuita normalmente - varianza nota

Test statistico da utilizzare (tavole distribuzione normale).

• Unilaterale a destra: Rifiuto H₀ se Z > z_1-α
• Unilaterale a sinistra: Rifiuto H₀ se Z < -z_1-α
• Bilaterale (o a due code): Rifiuto H₀ se Z > z_1-α/2 o Z < -z_1-α/2

Approccio del p-value alla verifica di ipotesi

Probabilità di ottenere un valore della statistica test uguale o più estremo (≤ o ≥) del suo valore osservato e fornito dal campione, assumendo che H₀ sia vera.

Il p-value è il più piccolo valore di α per il quale H₀ può essere rifiutata.

Test sulla coda destra

Convertire il risultato campionario nella statistica test (es. X → Z). Ottenere il p-value assumendo che H₀ sia vera (μ = μ₀).

Regola di decisione:

• Se p-value < α, rifiuta H₀
• Se p-value ≥ α, non rifiuta H₀

Il p-value è tanto minore quanto è più forte l’evidenza empirica contro l'ipotesi nulla.

Test sulla coda sinistra

Ottenere il p-value: p-value = P(Z< x̄ - μ₀ / (σ / √n)) assumendo che H₀ sia vera (μ = μ₀).

Regola di decisione:

• Se p-value < α, rifiuta H₀
• Se p-value ≥ α, non rifiuta H₀

Test sulla bilateralità

p-value = P(Z < x̄ - μ₀ / (σ / √n) + Z > x̄ - μ₀ / (σ / √n)).