Formulario statistica - primo parziale

Probabilità elementare

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)

P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)

P(Ø)=0

P(Ω)=1

Eventi incompatibili

P(A ∩ B) = 0

Eventi indipendenti

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Variabile aleatorie

1. Discrete P_X(x_i) = P(X = x_i), f(x) = ∑P_X(x_i)
2. Continue f_X(x) = ∫f_X(ξ)dξ

Valore atteso o media

E(X) = ∑x_if_X(x_i)

Varianza

E((X-μ)²) = σ²

Var(X) = E(X²)-E(X)²

Indipendenti

Cov(X,Y)=0

Covarianza

cov(X,Y) = E((X-μ_X)(Y-μ_Y))

Variabili aleatorie discrete

• v.a. di Bernoulli E(X) = p Var(X) = p(1-p)
• v.a. binomiale E(X) = np Var(X) = np(1-p)
• v.a. geometrica E(X) = 1/p Var(X) = (1-p)/p²
• v.a. Poisson E(X) = λ Var(X) = λ

Probabilità elementare

P(Ω) = 1

P(Ø) = 0

P(A^c) = 1 - P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Eventi incompatibili

P(A ∩ B) = 0

Eventi indipendenti

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) = P(B) P(A | B)

De Morgan

(A^c ∩ B^c) = (A ∪ B)^c

A^c ∪ B^c = (A ∩ B)^c

Variabili aleatorie

X : Ω → R^m

p_X(A) = P(X^-1(A))

Funzione di ripartizione

F_X(x) = P(X ≤ x)

Valore atteso o media

Media nulla varianza nulla

E(aX + b) = aE(X) + b

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Varianza

V(X) = E((X - E(X))²)

Dev standard σ = √var(X)

cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))

cov(aX + b, cY + d) = ac cov(X,Y)

Variabili aleatorie discrete

• X ∼ B(p) E(X) = p V(X) = p(1 - p)
• X ∼ B(n, p) E(X) = np V(X) = np(1 - p)

Variabili aleatorie geometriche

P(X = k) = (1 - p)^{(k - 1)}p

Variabili aleatorie Poisson

P(X = k) = λ^k e^-λ / k!