Matematica e laboratorio - formulario per studio di funzione

Indica se la funzione è simmetrica rispetto all’asse o rispetto all’ .

f x f x

( )=f ( )=−f

(−x) (−x )

Pari: Dispari:

Intersezioni con gli Assi:

Se la funzione incontra gli assi delle ascisse e delle ordinate.

{ {

f x q f x q

( ) ( )

=mx+ =mx+

Con l’asse delle Y: Con l’asse delle X:

x y=0

=0

Segno della funzione: X

Indica dove la funzione è sopra o sotto l’asse delle .

f f

(x)>0 (x)<0

Positiva: Negativa:

Limiti:

Indica l’andamento della funzione alla frontiera del dominio.

lim f x)=± ∞

(

Se illimitata superiormente o inferiormente: x →± ∞

Asintoti:

Utilizza i limiti per trovare punti d’accumulazione grazie al dominio.

lim f x ∞

( )=± x=c

Asintoto Verticale: Se ±

x→c lim f x)=l

( y=l

Asintoto Orizzontale: Se x →± ∞

f (x) lim f x

( )

( )−mx =q

lim =m

Asintoto Obliquo: x x →± ∞

x →± ∞

y=mx +q

Segno Derivata Prima:

Indica dove la funzione è crescente o decrescente.

Inoltre permette di individuare punti di massimo e minimo relativi o assoluti (dove

cambia l’andamento). f ' (x)<0

Funzione decrescente: Funzione crescente:

f ' x)>0

(

Segno Derivata Seconda:

Indica dove la funzione è concava o convessa.

Inoltre permette di individuarne i punti di flesso (dove cambia la curvatura).

f ' ' x)>0 f ' '

( (x)<0

Funzione convessa: Funzione concava:

y− y ' x x−x

( ) =f ( )( )

Retta tangente alla curva in un punto: 0 0 0

f x x x

( )=g ( )−h ( )

Area compresa fra due curve:

b

∫ f x dx=F b

( ) ( )−F (a)

a Limiti

Forme indeterminate:

lim ∞ lim 0

lim ∞−∞

( ) x → x x → x

0 0

x → x ∞ 0

0 ∞ ∞

lim 1 lim 0

x → x x → x

0 0

Limiti Notevoli:

sin αx tan αx arcsin αx arctan αx sin αx α

lim lim

= = = =α =

αx αx αx αx βx β

x→ 0 x→ 0 1−cos x 1

1−cos x lim

lim =

=0 2

2

x x

x→ 0

x→ 0 bx x

a 1

( ) ( )

ab

lim 1+ lim 1+

=e =e

x x

x →± ∞ x →± ∞

x α

x 1 1+ x

( ) ( ) −1

lim lim

= =α

x e x

+1

x →± ∞ x→ 0

x x

e a

−1 −1

lim lim a

=1 =ln

x x

x→ 0 x→ 0 log 1+ x

ln x ( )

(1+ ) 1

a

lim lim

=1 =

x x ln a

x→ 0 x→ 0

Velocità del limite:

h x

y=ln x y=x y=x y=e

→ veloce

−veloce+ Metodi risolutivi:

1 1

sin z=

1 x sin z

x

lim x ∙sin lim

= = =lim =1

Sostituzione: x 1 z

x →± ∞

x →± ∞ x →± ∞ z → 0

x z→ 0

2 2 2 −1

sin x sin x x 1

( )

2

lim ∙ ∙

=lim =1 =2

Distacco: 2

1−cos x 1−cos x 2

x

x→ 0 x →0 3 3

1+ 1+

2 2 2

x x x ∞ 1

+3 +

lim lim ∙

= = =

Dividere per infinito: 2 2 7 4 7 4 3

3 x 4 x

−7x+

x →+∞ x →+∞ 3− 3−

+ +

2

x ∞

+ +∞

x

f f '( x

(x) )

lim lim

=

De l’Hopital: g g ' x)

(x) (

x → x x→ x

0 0

Derivate '

y=k y '=0 y=kx y =k

m n

√

' m−n

n y x ∙1

√

h h−1 m =

y=x y '=hx y= x n

x x x x

y=a y '=a ∙ ln a∙ 1 y=e y '=e ∙ 1

1 1

' '

y=log x y y

y=ln x

= =

a x ∙ ln a x

x

x y '=x ln x 1

y=x (1+ )∙ 1

'

y =

'

y=sin x y=arcosin x

y cos x

=1∙ √ 2

1+x −1

'

y =

'

y=cos x y=arcocos x

y x

=1∙(−sin ) √ 2

1−x

1 1

'

y '= y =

y=tan x y=arcotan x

2 2

cos x 1+ x

−1 −1

' '

y y

= =

y=cotan x y=arcocot x

2 2

sen x 1+ x 1

'

y =

'

y=sec x y=arcosec x

y tan x ∙ sec x

=1∙ √ 2

x ∙ x

∣ ∣ −1 −1

y '=

'

y=csc x y=arcocsc x

y x csc x

=1∙(−cot ) √ 2

x ∙ x

∣ ∣ −1

Operazioni: '

f x ± g(x f ' x ± g ' f x ( )

f g x ∙ g

( )

( ) ( ) ( )

) (x ) (g ) (x)

f (x)

' '

f x x)

( )∗g( f x ∙ g x g x ∙ f x

( ) ( )+ ( ) ( ) g x)

(

' '

f x ∙ g x x ∙ f

( ) ( )−g ( ) (x )

2

g (x ) Metodi risolutivi:

x

Per i calcoli con più derivate considerare le “ ” delle formule come la funzione

1

all’interno della funzione da derivare. Gli “ ” delle formule sono il risultato della

x

derivazione della “ ”, quindi vanno trattati come la derivazione della funzione

all’interno della funzione da derivare.