Formulario Meccanica razionale

Meccanica razionale formulario

Momento angolare

Momento angolare: \( L(t) = L(0) \cdot \omega \)

Quantità di moto

Quantità di moto: \( p = m \cdot v(t) \)

Equazioni cardinali

\(\dot{p}(t) = F(t)\)

\(\dot{L}(t) = M\)

Teorema di Koenig

Per momento angolare: \( L(t) = I \cdot \omega - m \cdot r \times v \) + termine aggiuntivo

Per energia cinetica: \( T = T_G + \frac{1}{2}I\omega^2 \)

Matrice d'inerzia

Matrice d'inerzia: \[ \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} \]

Teorema di Huygens

\( I = I_G + m \cdot d^2 \)

Teorema delle forze vive

\( T = \frac{1}{2}mv^2 - V(t) \)

Energia cinetica

\( T = \frac{1}{2}mv^2 \)

\( T = \frac{1}{2}(I \omega^2 + m v^2) \)

Energia potenziale totale

\( V = V_G + V_E \)

\( V_G = -\frac{GMm}{r} \)

\( V_E = \frac{1}{2} k x^2 \)

Determinare punti di equilibrio e discuterne la stabilità con una coordinata lagrangiana

• Determinare per quali valori di \(x\) si ha: \(\frac{dV}{dx} = 0\) (con opportune condizioni)
• Si trovano così le coordinate dei punti critici o stazionari, cioè gli eventuali punti di equilibrio.

Discutere la stabilità

• Se \(\frac{d^2V}{dx^2} > 0\), allora si ha punto di minimo cioè equilibrio stabile.
• Se \(\frac{d^2V}{dx^2} < 0\), allora si ha punto di massimo cioè equilibrio instabile.

Determinare punti di equilibrio e discuterne la stabilità con due coordinate lagrangiane: metodo dell'hessiano

• Determinare per quali valori di \(x\) si ha: \(\frac{dV}{dx} = 0\) (con opportune condizioni).