Formulario Meccanica razionale

I. Calcolare il determinante della matrice hessiana nei vari punti di equilibrio :

′′ ′′

)

( , | |

=

0 0 ′′ ′′

II. Considerare valore determinante matrice hessiana:

) ( )

( , > 0 ′′ , < 0

· Se e si ha un massimo relativo per U e un

0 0 0 0

minimo relativo per V. Siamo nel caso di equilibrio instabile.

) ( )

( , > 0 ′′ , > 0

· Se e si ha un minimo relativo per U e un

0 0 0 0

massimo relativo per V. Siamo nel caso di equilibrio stabile.

)

( , < 0

· Se si ha un punto di sella per U. Siamo nel caso di equilibrio

0 0

instabile. )

( , = 0

· Se risulta un caso ambiguo e si esamina il comportamento della

0 0

funzione nell'intorno di P o direttamente o mediante le linee di livello.

0

Con potenziale.

I. Calcolare il determinante della matrice hessiana nei vari punti di equilibrio:

′′ ′′

)

( , | |

=

′′ ′′

II. Si sostituiscono le coordinate dei punti trovati nel risultato trovato:

) ( )

( , < 0 ′′ , > 0

· Se e si ha un minimo relativo per V (un massimo

relativo per U). Siamo nel caso di equilibrio instabile.

) ( )

( , < 0 ′′ , < 0

· Se e si ha un massimo relativo per V (un

minimo relativo per U). Siamo nel caso di equilibrio stabile.

)

( , > 0

· Se si ha un punto di sella per U. Siamo nel caso di equilibrio

instabile. )

( , = 0

· Se risulta un caso ambiguo e si esamina il comportamento della

funzione nell'intorno di P o direttamente o mediante le linee di livello.

0

NOTA:

Condizione necessaria per la stabilità è che la matrice hessiana di U in sia semidefinita negativa

cioè abbia termini minori od uguali a zero (nessun autovalore strettamente positivo).

Condizione sufficiente per la stabilità è che U abbia un minimo isolato in (criterio di Dirichlet).

Teorema di Dirichlet: Se l’energia potenziale è minima in una configurazione, ivi l’equilibrio è

stabile. In termini di potenziale, l’equilibrio è stabile se la posizione corrisponde a un massimo.

• Equazioni delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio stabile.

Metodo 1. Fare un’approssimazione lineare delle equazioni di Lagrange attorno all’equilibrio

1. Introduciamo le perturbazioni:

ℎ = −

̇

ℎ = ̇

= 1, 2, … , ̇

= ℎ + ̇ = ℎ

2. Sostituire e

̇

ℎ ℎ

3. Fare uno sviluppo di Taylor al primo ordine nelle variabili e

Considerando che: )

( ,…,

• 1 =0

• ̇

= 0 ℎ = 0

La parte di energia cinetica si annulla ( ) per

Segue che i termini di ordine zero sono tutti nulli.

Al primo ordine si ottiene l’approssimazione:

2

̇

(∑ )

ℎ = − ∑ ℎ

=1 =1

Con

′

= ℎ

2

′

= ℎ

Metodo 2. Fare un’approssimazione quadratica della Lagrangiana (cioè scrivere la Lagrangiana e

approssimare al secondo ordine) e poi scrivere per questa le equazioni di Lagrange.

• Frequenze piccole oscillazioni.

1. Diagonalizzare matrice hessiana dell’energia cinetica e dell’energia potenziale.

L’equazione precedente diventa:

2

̈ = − = 1, 2, … ,

con

Con e autovalori delle due matrici.

2

> 0 =

2. Nell’ipotesi in cui , pongo e posso riscrivere:

2 2

̈ = − = 1, 2, … ,

con

ℎ̈

ℎ

NOTA: sono i coefficienti di e sono i coefficienti di .

3. Determinare frequenza:

1

= = 1, 2, … ,

con

2

Otterrò quindi più valori di frequenze che si chiamano modi normali. Ogni sistema meccanico

vicino all’equilibrio si comporta come un sistema di oscillatori indipendenti.

• Scrivere Lagrangiana.

• Sviluppi in serie di McLaurin

• Formule trigonometriche