Formulario Meccanica razionale

T N

Rispetto alla terna intrinseca: φ = φ t descrive l’attrito φ = φ n + φ b

T t N n b

≤

• Legge di attrito statico: |φ | μ |φ | all’equilibrio μ coefficiente di attrito statico

T N ≤ ≤

• Legge di attrito dinamico: φ = – f |φ | f coefficiente di attrito dinamico 0 f μ

T N ||

̇

̇ ̈

• Punto vincolato ad una curva liscia: v = t a = t + n

̇

̇ ̈

velocità scalare accelerazione scalare accelerazione centripeta = raggio di curvatura nel punto considerato

❸ Meccanica relativa

Derivate temporali e osservatori

∗

a r = = = =

• Derivata temporale: O = (o*(t),{e (t)}) O = (o(t),{k (t)})

i i

= + ^ =

è indipendente dall’osservatore per funzioni scalari

∑

= ^

• Velocità angolare dell’osservatore relativo rispetto all’osservatore assoluto:

= ^

• Formule di Poisson:

Pag. 2

θ̇

=

• Velocità angolare per una rotazione elementare: con θ angolo di rotazione e asse fisso

• Velocità angolare per una rotazione generica:

θ̇

ψ̇ ̂

= + + φ̇ con angoli di Eulero di rotazione

θ ∈ [0, π] ψ ∈ [0,2π] φ ∈ [0,2π]

̂

è il versore che genera la linea dei nodi, linea sulla quale si intersecano i piani

generati da e e da e

b a

• Teorema di addizione delle velocità angolari: + = velocità angolare di O rispetto a O

12 23 13 ab

Cinematica relativa

= + = =

• Legge di Galilei: con

= + ^ ( − )

• Velocità di trascinamento:

velocità di o (origine dell’osservatore relativo) rispetto all’osservatore assoluto

= + + = =

• Legge di Galilei per le accelerazioni: con

= ^

• Accelerazione di Coriolis: ̇

= + ^ ( − ) + ^ ^ ( − )]

[

• Accelerazione di trascinamento

= ^ ^ ( − )]

[

con accelerazione centripeta

Dinamica relativa

a a r

F = m a con O con O inerziale F = con O inerziale

r

+ + + + =

F = con O non inerziale da cui

= −

• Forza di Coriolis: (forza apparente)

= −

• Forza di trascinamento: (forza apparente)

❹ Sistemi discreti

3° Legge di Newton e forze interne

• Sistema discreto: insieme finito di N punti materiali {P }

i

= ∀

• Sistema isolato: (non ci sono forze esterne)

∑

= = = −

( )

• 3° Legge di Newton per forze interne:

=

∑

= =

• Risultante delle forze interne: (le forze interne formano un sistema equilibrato)

=

∑ (

= − ) ^ =

• Momento delle forze interne: (le forze interne formano un sistema equilibrato)

=

Leggi cardinali / di bilancio

∑

=

• Quantità di moto totale:

∑ (

= − ) ^

• Momento angolare totale:

=

• Equazione di bilancio della quantità di moto: (1° equazione cardinale)

Pag. 3

+ ^ =

• Equazione di bilancio del momento angolare: (2° equazione cardinale)

(

−)

∑ ∑

+ =

• Baricentro (centro di massa): G = o (non dipende dall’origine) con massa totale

∑ ∑

(

( − ) = − ) = = =

derivando si ha ( poiché o è polo fisso)

=

• Teorema del baricentro: (equazione di bilancio della quantità di moto scritta rispetto a G)

=

• Equazione di bilancio del momento angolare scritta rispetto a G:

= =

• Conservazione quantità di moto e momento angolare: nel caso di sistema isolato

= +

• Teorema dell’energia per sistemi discreti: (teorema delle forze vive)

∑

= | |

• Energia cinetica totale: T

∑

= ·

• Potenza delle forze esterne:

∑

= ·

• Potenza delle forze interne: ❺ Corpo rigido

Vincolo di rigidità

− =

| |

• Vincolo di rigidità: costante nel tempo (implica la legge di distribuzione delle velocità)

= =

• Legge di Galilei: ( poiché l’osservatore relativo è solidale al corpo rigido)

− = ^ ( − ) ∈

• Legge di distribuzione delle velocità: P e Q al corpo rigido

Tale legge implica il vincolo di rigidità ed è indipendente dall’osservatore

̇

= = + ^ ( − ) + ^ ^ ( − )] = )

[

• Legge di distribuzione delle accelerazioni: (

= ^ ^ ( − )]

[

con accelerazione centripeta

∑

=

• Reazioni vincolari del vincolo di rigidità: φ = – φ φ φ ^ (P – P ) = 0

ij ji i ij i j

= · + ·

• Potenza esercitata dal sistema di forze agenti su punti soggetti al vincolo di rigidità:

Cinematica

I = · = ·

• Invariante scalare:

I = · = 0

• Moti con invariante scalare nullo:

= = 0

Moto nullo: e

= ≠ 0 − = 0 =

Moto traslatorio: e da cui e quindi

≠

Moto rotatorio: ^

= − +

• Asse di Mozzi: asse su cui sono allineati i punti P con velocità istantanea nulla del tipo:

• Distribuzioni continue di materia: ridefiniamo le quantità seguenti:

= ()

Densità di massa: ρ ∫

(

+ () − )

Baricentro: G = o ∫

= () =

Quantità di moto: scegliendo o = G si ha

∫

Pag. 4

(

= () − ) ^ = ( − ) ^ + ()

Momento angolare: ∫

(

= () − ) ^ − )]

() [^(

Dove operatore d’inerzia calcolato in rispetto al polo o

∫

(

= () − ) ^ − )] = ()

[^(

Scegliendo o = G si ha ∫

= ()

Energia cinetica: ∫

= ( − ) ^ +

• 1° Teorema di König per il corpo rigido: (A polo qualunque non solidale al corpo rigido)

= + · = + · ()

• 2° Teorema di König per il corpo rigido:

Operatore d’inerzia

() operatore d’inerzia calcolato in (vettore generico) rispetto al polo o

∑ (

= − ) ^ − )]

() [^(

Caso discreto:

(

= () − ) ^ − )]

() [^(

Caso continuo: ∫

• Proprietà dell’operatore d’inerzia:

1) è un’applicazione lineare simmetrica

2) Fissando o solidale al corpo rigido, è semidefinito positivo e potrà essere descritto da una matrice simmetrica con

≥

autovalori 0. Se tutti i punti del corpo rigido non sono allineati lungo una retta passante per o, è definito positivo e

potrà essere descritto da una matrice simmetrica con autovalori > 0.

· = = + = ^ ( − )

()

• Teorema di Huygens-Steiner: fissato un versore qualunque: con

∑ ∑ ∑

= =

()

• Matrice d’inerzia: con

= · = () ( || − )

( )

Elemento della matrice d’inerzia: ∫

∑

≠ = − () = = ()

( )

Per si ha: Per si ha

∫ ∫

≠

• Assi principali d’inerzia: so