Formulario Fondamenti di Meccanica Strutturale

Reazioni Vincolari

1. Definire il sistema di riferimento.
2. Se la struttura è composta da più strutture semplici, dividerla e scaricare e analizzarla secondo il principio di azione e reazione.
3. Se non si chiede di calcolare il grado di isostatica, si considerano i gradi per ogni struttura semplice: g: grado di libertà, r: vincoli, i: grado di isostatica.
4. Scrivere le equazioni di equilibrio e, se è rigido il sistema, è consigliabile calcolare l’equilibrio della rotazione attorno a tale sezione.

Convenzioni per il Calcolo delle Caratteristiche di Sollecitazione

• Quando vado a sezionare il sistema, disegnare e considerare sempre per il calcolo tale sistema di rif. locale
• Se le cerniere non consentono di trasportare momento all’interno della trave, nella cerniera il momento è sempre 0.
• Il taglio è la derivata del momento rispetto a x
  • T = dM/dx

PS. Il sistema di riferimento locale deve venire con me in qualunque nodo di cui vado a rimuovere. Deve essere coerente sempre con quello scelto.

Geometria delle Aree

1. Individuare un sistema di riferimento conveniente (asse x alla base superiore o inferiore e l'asse y come asse di simmetria).
2. Individuare gli assi baricentrici.
3. A seconda delle disposizioni dei baricentri scegliere se usare la somma o la sottrazione per risolvere il problema.

Somma (caso di 2 figure)

1. Trovare tutte le aree → A = A₁ + A₂
2. Trovare i baricentri parziali delle figure semplici e di conseguenza quelli totali.

Y_G = (S_x1 + S_x2) / A

X_G = (S_y1 + S_y2) / A

P.S. Per calcolare S_x1, S_x2, S_y1, S_y2 fare attenzione! La formula dice che:

S_x1 = Y_G1・A₁ → calcolato rispetto all'asse x scelto

S_y1 = X_G1・A₁ → calcolato rispetto all'asse y scelto

3. Trovare gli I_x0, I_y0 delle figure parziali.
4. Trovare I_{XG tot} e I_{YG tot}.

I_xG = I_xG1 + A₁ (Y_G - Y_G1)² + I_xc2 + A₂ (Y_G2 - Y_G)²

Dove Y_G, Y_G1, Y_G2 sono calcolati rispetto all'asse y scelto.

I_yG = I_yG1 + A₁ (X_G - X_G1)² + I_yc2 + A (X_G2 - X_G)²

Dove X_G, X_G1, X_G2 sono calcolati rispetto all'asse x scelto.

RETTANGOLO

x_G = a/2

y_G = b/2

I_X = ab³/12

I_Y = a³b/12

S_x = ab²/2

S_y = a²b/2

TRIANGOLO RETTANGOLO

I_x = ab³/12

I_y = a³b/12

I_XA = ab³/36

I_yG = a³b/36

x_G = a/3

y_G = b/3

CERCHIO

S_x = 0

S_y = 0

x = x cos θ

y = x sin θ

POLARE I_P = I_XG = I_YG = πD⁴/32

con D = 2x

DIAMETRALE I_d = πD⁴/64

CERCHIO CAVO

I_d = π/64 (D⁴ - d⁴)

I_p = π/32 (D⁴ - d⁴)

Reazioni

Q_A = f₂

-V_A - f₁ + V_C = 0

M_A + f₂ (b - ^b⁄₃) - f₁ ^a⁄₂ + V_C · a = 0

• V_A = -f₁ + V_C
• V_B = - V_A

Soddinino in empotre

1. V_B = -V_A
2. Q_B = -Q_A - f₂ = 0

M_A = -f₂ (b - ^b⁄₃)

V_C = (f₁ ^a⁄₂ - f₂ (b - ^b⁄₃) - M_A) ⁄ a

Diagrammi di sollecit.

0 < x < ²⁄₃ b

M_f = Q_A · x - M_A

T(x) = Q_A

N(x) = -V_A

²⁄₃ b < x < b

N(x) = V_A

T(x) = f₂ + Q_A

M_f = Q_A x + f₂ (x - ²⁄₃ b) - M_A

0 < x` < ^a⁄₂

T(x`) = -V_C

N(x`) = 0

M_f = V_C x`

^a⁄₂ < x` < a

T(x`) = -V_C + f₁

N(x`) = 0

M_f = V_C x` - f<sub>1</sub> (x` - ^a⁄₂)

Effetti per variazione di temperatura

Deformazione

Spostamenti

Legge di Hooke

1. σ_x = Eε_x

2. τ = Gγ

E = Modulo elastico - Modulo di Young

• per gli acciai = 210.000 MPa (N/mm²)

G = Modulo di elasticità tangenziale

• per gli acciai = 83.000 MPa (N/mm²)

Rigidità di un elemento trave per sforzo normale

K = EA / L

Rigidità per molla a torsione

K = (G · I_p) / L

Distribuzione delle τ dato il carico applicato

• I al raggio.
• Valore max al raggio esterno

τ_max = (M_t / I_p) · r_max

Galileo

Caso Piano

σ_eq = 2√[(σ / 2)² + τ²]

Trave Trazione

σ_eq = σ

Albero Trasmissione

σ_eq = τ

Tresca

Caso Piano

σ_eq = √(σ² + 4τ²)

Trave Trazione

σ_eq = σ

Albero Trasmissione

σ_eq = 2τ

Von Mises

Caso Piano

σ_eq = √(σ² + 3τ²)

τ = 0

Condizioni al Contorno

7)

• y₁(x=0) = 0
• (dy₁/dx)_x=0 = 0
• (dy₁/dx)_x=l = (dy₂/dx)_x=h Condizione di saldatura
• y₂(x=0) = h . (dy₂/dx)_x=h

8)

• y₁(x=0) = 0
• (dy₁/dx)_x=0 = 0
• (dy₁/dx)_x=l = (dy₂/dx)_x=h
• y₂(x=0) = (dy₁/dx)_x=l . h

9) Carico di Punta

• (dy/dx)_x=q = 0
• y(x=0) = 0

x=l

y=S

Aggiungi coseni.

G. Alfano - Appunti di Scienza delle Costruzioni

Figura 1.117: Trave a mensola con coppia all'estremità.

Figura 1.118: Trave a mensola con distorsione termica uniforme.

Figura 1.119: Trave appoggiata con forza trasversale in mezzeria.

Figura 1.120: Trave appoggiata con carico distribuito trasversale.

Determinare spostamenti nodali, le reazioni vincolari e le tensioni

in corrispondenza dei nodi di una trave continua, soggetta a F

1. Fissando un sistema di riferimento globale e quello locale.

h = 60 mm b = 30 mm E = 200000 MPa l = 1.2 m f = 3 kN

2. Proprietà della sezione:

J = ^b·h3 ⁄ ₁₂ = 540000 mm⁴

A = b·h = 1800 mm²

Si considererà solo il comportamento flessionale:

{ F₁ M₁ F₂ M₂ }_l = ^EI⁄_l³ [ 12 6l -12 6l ] [ v₁ ]                                     [ 6l 4l² -6l 2l² ] [ θ₁ ]                                  [ -12 -6l 12 -6l ] [ v₂ ]                                     [ 6l 2l² -6l 4l² ] [ θ₂ ]

↓

Matrice della trave definita dai nodi 1 e 2.