Formulario Fisica Generale II (Parziale II)

Formulario Fisica 2 – Parziale 2

Relazione costitutiva condensatore q=CV

Capacità di un condensatore:

• a facce piane parallele: C = ^ε₀S/_d
• sferico: C = 4πε₀ ^R1R2/_R2-R1
• cilindrico: C = ^{2πε₀ L}/_ln(R2/R1)

Condensatori in serie: ¹/_Ceq = ∑ⁿ/_i=1 ¹/_Ci Condensatori in parallelo: C_eq = ∑ⁿ/_i=1 C_i

Energia elettrostatica: U_e = ¹/₂ C = ^q2/_2C = ¹/₂ qV

Densità energia del campo elettrico: u_e = ¹/₂ ε₀ E² ⇒ u_e = ∫_V 1/2 ε₀ E² dV

Energia elettrostatica condensatore sferico: U_e = ^q2/_{8πε0 R}

Energia elettrostatica condensatore a facce piane parallele: U_e = ^q2d/_2ε0S

Ohm (macro): V = RI dove ρ = ¹/_σ (R = resistenza, ρ = resistività, σ = conducibilità)

Ohm (micro): j = σE (= densità di corrente) I = ∫_S j – ds^- (I=corrente)

Resistenze in serie: R_eq = ∑ⁿ/_i=1 R_i Resistenze in parallelo: ¹/_Req = ∑ⁿ/_i=1 ¹/_Ri

Potenza elettrica: P = R_eq I² = VI

F.e.m. = ∮E^- dl^- (E=campo elettromotore) Potenza: P = f.e.m.*I

d.d.p. ai capi di una resistenza esterna R a una f.e.m. con resistenza interna r. ΔV = Ri = f.e.m – ri

Circuiti RC - (E.f.e.m.) - τ = RC (costante di tempo)

Carica di un condensatore:

q(t) = CE * (1 – e^-t/RC), V_C(t) = ^q(t)/_C = E(1 – e^-t/RC), i(t) = ^dq/_dt = ^E/_R e^-t/RC , V_R(t) = Ri(t) = Ee^-t/RC

Lavoro compiuto dal generatore: W_gen = ∫⁰_qa dq = CE²

Potenza erogata dal generatore: P_gen = P_R(t) + P_C(t)

Scarica di un condensatore:

q(t) = q₀ e^-t/RC, V_C(t) = ^q(t)/_C = V₀ e^-t/RC = V₀ e^-t/RC = V_C ^-t/_RC

i(t) = ^-dq/_dt = q₀ ¹/_RC e^-t/RC = ^V_C/_R

Potenza istantanea dissipata su R: P_R(t) = Ri² = ^V2₀/_R e^-2t/RC

Energia dissipata: W_R = ∫^∞₀ P_R(t) dt = ^CV2₀/₂ = ^q2₀/_2C

Corrente di spostamento in un condensatore: i_s = ε₀ ^dΦ(E)/_dt (i_c = corrente di conduzione del circuito)

Corrente nel circuito: i = i_c + ε_cdΦ(E)/_dt densità di corrente totale nel circuito: j^- = j^-_c + ε₀ ^cdΦ(E)/_dt

1° principio di Kirchhoff: ∑i_k = 0 2° principio di Kirchhoff: ∑_k R_k i_k = ∑_k f.e.m._k.

Formulario Fisica 2 – Parziale 2

Relazione costitutiva condensatore q=CV

Capacità di un condensatore:

• a facce piane parallele: C = ε₀ ^S/_d
• sferico: C = 4πεε₀ ^R1R2/_R2-R1
• cilindrico: C = 2πεε₀ ^L/_ln(R2/R1)

Condensatori in serie:

Condensatori in parallelo:

Energia elettrostatica: U_e = ¹/₂ C² = ¹/₂ qV

Densità energia del campo elettrico: u_e = ¹/₂ ε₀E² ⇒ u_e = ∫_v 1/2 ε₀E²dV

Energia elettrostatica condensatore sferico: U_e = ^q2/_8πεε0R1

Energia elettrostatica condensatore a facce piane parallele: U_e = ^q2d/_2ε0S

Ohm (macro): V = RI dove ρ = ¹/_σ (R = resistenza, ρ = resistività, σ = conducibilità)

Ohm (micro): j = σE =¹/_ρ E (densità di corrente) I = ∫_S j·ds^- (I=corrente)

Resistenze in serie:

Resistenze in parallelo:

Potenza elettrica: P = R_eqI² = VI

F.e.m.= ∮ E^-dl^- (E=campo elettromotore) Potenza: P = f.e.m.*I

d.d.p. ai capi di una resistenza esterna R a una f.e.m. con resistenza interna r. ΔV = Ri = f.e.m – ri

Circuiti RC – (E+f.e.m.) τ = RC (costante di tempo)

Carica di un condensatore:

q(t) = CE * (1 – e^{- t/RC} ), V_c(t) = ^q(t)/_C = E(1 – e^{- t/RC}), i(t) = ^dq/_dt = ^E/_R e^{- t/RC}, V_R(t) = Ri(t) = Ee^{- t/RC}

Lavoro compiuto dal generatore: W_gen = ∫₀^q_o dq = CE²

Potenza erogata dal generatore: P_gen = P_R(t) + P_C(t)

Scarica di un condensatore:

q(t) = q₀ e^{- t/RC}, V_c(t) = ^q(t)/_C = V₀ e^{- t/RC} = V₀ e^{- t/RC}, i(t) = ^-dq/_dt = ^q₀/_RC e^{- t/RC} = ^V₀e/_R = ^V_C/_R

Potenza istantanea dissipata su R: P_R(t) = Ri² = ^V_C2R/_2C = ^2t/_RC

Energia dissipata: W_R = ∫₀^∞ P_R(t) dt = ^CV2/_2C = ^q2/_2C

Corrente di spostamento in un condensatore: i_s = ^ε₀φ(E)/_dt (i_C = corrente di conduzione del circuito)

Correnti nel circuito: i = i_C + ^ε₀φ(E)/_dt densità di corrente totale nel circuito: j^- = j_C^- + ε₀φ(E)

1^o principio di Kirchhoff: ∑_k i_k = 0 2^o principio di Kirchhoff: ∑_k R_ki_k = ∑_k f.e.m._k

Carica di un condensatore (circuito RC con V):

Assumiamo che all'inizio il condensatore C sia scarico. Nel circuito non passa corrente fin quando l'interruttore è aperto. Se al tempo t=0 viene chiuso l'interruttore, inizia a passare corrente nel circuito ed il condensatore comincia a caricarsi. Notare che, durante la carica, la corrente non può passare attraverso il condensatore, perché lo spazio fra le due armature (isolante) è un circuito aperto. La carica è trasferita, lungo i fili, sulle armature dal campo elettrico prodotto dalla batteria V_A, fino a quando il condensatore è completamente carico. La d.d.p. del condensatore cresce man mano che le armature si caricano fino a raggiungere un valore uguale alla d.d.p. prodotta dalla batteria (V_A). A questo punto sulle armature del condensatore ci sarà la carica massima e la corrente che gira nel circuito sarà zero. Per un qualsiasi istante temporale dopo la chiusura dell'interruttore possiamo scrivere:

-^q⁄_C - iR = 0

Al tempo t=0, quando l'interruttore viene chiuso, la carica presente sulle armature del condensatore è zero e quindi la corrente i₀ che gira nel circuito è al massimo ed eguale a:

i₀ = V^V⁄_R

Al tempo t=0 la d.d.p. prodotta dalla pila è tutta ai capi della resistenza. Quando il condensatore è carico al suo valore massimo Q_max, la corrente è zero e la d.d.p. della batteria è identica alla d.d.p. ai capi del condensatore. La carica Q_max massima del condensatore è quindi:

Q_max = CV

Scarica di un condensatore (circuito RC senza V)

Assumiamo che all'inizio il condensatore C sia carico. Nel circuito non passa corrente fin quando l'interruttore è aperto. Se al tempo t=0 viene chiuso l'interruttore, inizia a passare corrente nel circuito ed il condensatore comincia a scaricarsi. La carica Q₀ è la massima carica portata dal condensatore. Quando il circuito è chiuso passa corrente dalla resistenza e la carica sulle armature comincia a diminuire.

Per un qualsiasi istante temporale dopo la chiusura dell'interruttore possiamo scrivere:

-^q⁄_C - iR = 0