Formulario Fisica II

Formule di elettrostatica

QSfera ⃗ = ^E n2π ϵ4 R0σ⃗

Conduttore = ^E nϵ 0q

Accelerazione di una carica ⃗⃗ =a Em

Lavoro B∫⃗ ⃗⃗ ⃗= → =dW q E · d s

Tensione ⃗Di una carica = −dW = − ⃗dU q E · d s0q q

Di un sistema finito 1 1∑ ∑i j= =U q Vsys i iπ ϵ2 4 r r 2i≠ j 0 i j i

Di una carica nq qrispetto al sistema finito ∑ ∑0 i= =U q Vq 0 iπ ϵ4 r0 =i 1 i0 i= +U U UTotale e sys q 0

Di un sistema continuo B∫ ∫⃗ ⃗Δ = − =U q E · d s V dq0 A

Differenza di potenziale***Integrale del campo elettrico B∫ ⃗ ⃗Δ =V −V =−V E · d sB A A ΔdU UDa energia potenziale = → Δ =dV Vq q0 0q 1 1

Di una carica Δ = ( − )V π ϵ4 r r0 B Aq

Di un sistema finito 1 ∑ iΔ =V π ϵ4 r0 i i1 dq

Di un sistema continuo ∫Δ =V π ϵ4 r0

Teorema del gradiente B∫ ⃗Δ = ∇V V·d sA 1

Conservazione dell’energia 2+ =

→ + =E U cost . mv q V cost .k e 02*Quantità scalare, campo elettrico normale alla superficie.**Per calcolare i campi elettrici di piani e fili infiniti, basta: racchiudere una porzione di filo in un cilindro di raggio r e altezza h e applicare Gauss, oppure costruire un cilindro sulla superficie infinita, di altezza h nella direzione del campo uscente e applicare Gauss con la normale parallela all'asse del cilindro. Per il campo del filo finito, si intende come R la distanza a cui calcolo il campo elettrico.***La differenza di potenziale all'interno di un conduttore è uguale a quella della superficie esterna del conduttore. Se pongo una sfera carica all'interno di un conduttore sferico cavo, il potenziale della sfera interna sarà esclusivamente uguale a quello sulla sua superficie.Dipolo elettrico: ⃗ ⃗Momento di dipolo =p q aPotenziale* -rr ( ϕ)p cos ⃗ ^q p · r2 1( = = =V P) π ϵ 2 24 r r π ϵ π ϵ4 r 4 r0 1 2 0 0Campo

elettrico² ( ϕ)² p cos p sin ^⃗ = ^ + ϕE r³ 3π ϵ π ϵ⁴ r⁴ r₀ 0⃗ ⃗ ⃗Momento meccanico = (⃗ −⃗ ) = ⃗M r r x F p x E² 1ϕ ϕLavoro del momento³ ∫ ∫⃗ϕ⃗= = − ϕ) ϕW M · d pE sin( dϕ ϕ0 0⃗Energia potenziale ( ϕ) = −⃗ = −U p · E pE cos(ϕ)e*Dimostrazione: 2 2 2 2a a a a² 2 2 2 2 2 2 2- definisco: = + +( ) = −az + = + +( + ) = + +r x y z− r ; r x y z r az1 22 4 2 42 1 2 1 1 1az a az a az az2 2da cui: = (r (1− + )) = (r (1+ + )) ≃ = (1− ) = ( )2 2 2 2r ; r r r ; r r 1+1 2 1 22 2 2 2 2 2r 4 r r 4 r r rr az r azαusando il limite avrò: .= − = +r ; r(1+ = α +1x) x 1 22 2 r 2 2 rz r rInfine, detto .= → = −a ϕ); = + (ϕ) → −r = ( ϕ)cos(ϕ) r cos( r a cos r a cos1 2 2 1r 2 22 2a a2 2 2- poiché a « r si ha: , per a ≈ 0.= (r −az+ )(r +az + ) ≃ =r r r r r1 2 1 24 4 δ δV 1 V ^−⃗ −⃗ ^

^{Definendo: ⃗ = ⃗ → = ^ + ϕ ϕ) → =− ^ − ϕdV E ·d s dV E ·( r dr rd E r δϕδ r r⃗}

Con , ortogonale al piano formato da p ed E.= − ϕ) ^M pE sin( z

Legge di Gauss: ∫Calcolo del flusso ⃗superficie aperta Φ = ^E · n dSS∮Calcolo del flusso ⃗superficie chiusa Φ = ^E · n dSS dSAngolo solido* θdScos 0Ω= =d 2 2r r θq dS q dS cos qFlusso con angolo solido Φ = ^ ^ = = Ωd r n dπ ϵ π ϵ π ϵ4 4 42 2r r0 0 0qLegge di Gauss carica puntiforme Φ ( =S) ϵ 01Legge di Gauss sistema finito ∑Φ ( = ( )S) qϵ i interna0 idqLegge di Gauss sistema continuo ∫Φ ( =S) ϵ 0VρI equazione di Maxwell ⃗∇ =· E ϵ 0 ρLegge di Poisson 2∇ = −V ϵ 0*Con S superficie ortogonale ad r.0→ Corrente elettricaCondensatori: q SCapacità = = ϵC 0Δ V dqd.d.p. in funzione di C Δ =V C= Δq C VCarica in funzione di C

Capacità per alcuni condensatori: - Condensatore sferico: C = 4πϵR - Condensatore cilindrico: C = (2πϵl) / ln(R2/R1) - Condensatore a facce piane parallele: C = ϵ0A/d Collegamento in parallelo: - Capacità equivalente: Ceq = C1 + C2 + ... + Cn Collegamento in serie: - Capacità equivalente: 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + ... + 1/Cn Lavoro ed energia: - Lavoro di carica: W = ∫Vdq - Energia elettrostatica: U = (1/2)C(V^2) - Densità di energia: u = (1/2)ϵE^2 Condensatori con dielettrici: - Costante dielettrica relativa: ϵr = ϵ/ϵ0 - Campo elettrico: E = V/d - Legge di Gauss: ∮E⃗dA = Q/ϵ0i=E · dS ϵ ϵ₀ rS V Potenziale 0=V ϵ r S Capacità = ϵ = ϵ_C C r 0 r 0 d Energia 2= ϵ ϵ τU Ee 0 r2 Densità di energia 2= ϵ ϵu Ee 0 r2 Regime transitorio (carica) Carica − /t RC( = ξ ( )q t) C 1−e= ξq C Carica massima 0d.d.p. (q t) −t / RC(t ) = = ξ (1−e )V C Corrente (t)dq ξ −t / RC) = =i( t edt R Regime transitorio (scarica) Carica −t / RC( =q t) q e0 d.d.p. q(t)q −t / −t /RC RC0(t ) = = =V e V e0C C Corrente (t)dq ξ −t / RC) = =i( t edt R τ = RC Costante di tempo Corrente di spostamento ϕ(d E)= ϵi s dt ⃗ Densità di corrente i d E di spostamento ⃗ s= = ϵj s S dt Resistori: ρ d Resistenza ∫= = ρR dhS Sd Resistività ρ = ρ (1+ α Δ t)20Δρ Coefficiente termico α= ρ Δ T20=V R Legge di Ohm ∫ ∫Lavoro = =W Vdq ' VIdt(spostamento di cariche) q t Potenza dissipata 2dW V2= = = =P VI RIdt R Collegamento in

serie∑Resistenza equivalente =R Req ii ∑d.d.p. totale = ( + … + ) = =V R R I R I R I1 n i eqi= … = ≡I I IIntensità di corrente 1 nPotenza totale 2= + … + =P P P R Itot 1 n eqCollegamento in parallelo1 1Resistenza equivalente ∑=R Rieq i= … = ≡V V Vd.d.p. totale 1 n1 1 1 VIntensità di corrente ∑=( +…+ )V = =I VR R R Ri1 n i eqPotenza totale 2V= + … + =P P Ptot 1 n R eq∮Legge di Ohm generalizzata ⃗= =f . e . m. E · dS R IeqSRegime transitorio (carica)d.d.p. sulla maglia )q(tξ = + = (t ) +V V Rir c Cd.d.p. sul resistore −t / RC( ) = ξV t eRLavoro del generatore q 0∫ 2= ξ = ξW dq C0= +P P PPotenza totale tot c RRegime transitorio (scarica)d.d.p. sulla maglia )q(t+ = ⇒ = − (t )V V 0 Ric R Cqd.d.p. sul resistore −t / −t /0 RC RC= − = −VV e eR 0CPotenza dissipata su R 2V −2 /2 0 t RC= =P Ri eR REnergia totale dissipata 2 02∞

_∞V q_∫ ∫ −2t /0 RC= = =W P dt e dtR R 2 C0 0Corrente elettrica: Stazionaria⃗vVelocità di deriva d Δ Q dQIntensità di corrente ⃗∫= = = ^I lim ; I j· n dSΔ t dtΔ →t 0 Snqv SDensità di corrente I⃗ d ^= =j nS S=I ICondizione stazionarietà* 1 2⃗Campo elettrico in funzione di j ⃗ = ρE jRegime transitorioCorrente sul circuito ϕ(d E)= + = + ϵi i i ic s c dtDensità di corrente sul circuitoLeggi di Kirchhoff∑Ai nodi =I 0kk∑ ∑ ∫Alle maglie ⃗ξ = → Δ = ⃗ =R I V E · d r 0k k kk k*La corrente che entra nella superficie 1 deve essere uguale a quella che esce dalla superficie 2.→ ElettromagnetismoForza magnetica (di Lorentz)⃗ ⃗Su una carica in moto = ⃗F q v x B ⃗II legge di Laplace* ⃗ ⃗ ⃗ ⃗= ⃗ ) → =F L( nSq v x B d F id l x B∫Su un filo rettilineo ⃗ ⃗ ⃗ ⃗= ) =