Formulario Elettromagnetismo

FISICA GENERALE II

FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO

1) Elettrostatica

= = costante dielettrica assoluta ; = costante dielettrica relativa

o r r 1

Nel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)

r

−

→ q q

1 1 2

Legge di Coulomb nel vuoto : F = r̂

2

4π r

o −

→

−

→ −

→

−

→ d F

F o E =

Campo elettrostatico : E = q dq −

→

−

→

P ·

− 2 E dl

) V (P ) =

Potenziale : forma integrale :V (P 1 2 P

−−→

−

→ −

→

1

− − ∇

forma differenziale : E = grad V = V

Conservativitá del campo elettrostatico

−

→

−

→ ·

Forma integrale : E dl = 0

−

→ −

→

∇ ×

Forma differenziale : E = 0

Campo elettrostatico e potenziale generati da :

−

→ 1 1

q q

-carica isolata puntiforme : E = r̂ V =

2

4π r 4π r

−

→ q

q 1

1 i i

r

ˆ V =

-distribuzione discreta di carica : E = i

2

4π r 4π r i

i

i

−

→ ρdτ ρdτ

1 1

-distribuzione continua di carica : E = r̂ V =

2

4π r 4π r

Ω Ω

Dipolo elettrico −

→ ·−

→ −

→

1 1

p r 1

−

→

− · ∇ )

Potenziale : V = = p (

3

4π r 4π r

−

→

−

→ ·−

→

−

→ p

1 3( p r ) −

→ −

r

Campo : E = [ ]

5 3

4π r r −

→

−−

→ ·

Energia del dipolo in un campo esterno : U = p E

−

→ −

→ −

→ −

→

−

→

− ∇ ∇ ·

Forza agente su un dipolo costante: F = U = ( p E )

−

→

−

→ −

→ ×

Momento meccanico agente : τ = p E

Multipoli

Il potenziale generato da una distribuzione di carica, a grande distanza dalle cariche,

puó venir espresso tramite uno sviluppo in serie i cui primi termini sono :

−

→ ·−

→

1 Q 1 p r

V = + + .....

3

4π r 4π r

−

→

(Q carica totale e p momento di dipolo della distribuzione)

−

→ q x , q y , q z )

distribuzione discreta : p = ( i i i i i i

i i i

1

−

→

distribuzione continua : p = ( ρ x dτ , ρ y dτ , ρ z dτ )

Legge di Gauss −

→ Q

int

·

Forma integrale : (Σ superficie chiusa)

E n̂ dS =

Σ

o

−

→ −

→ ρ

∇ ·

Forma differenziale : E =

o

Conduttori

−

→

• = 0

E int

•conduttore è sempre equipotenziale −

→ σ

•campo in vicinanza di un conduttore(Teorema di Coulomb): E = n̂

o

2

σ

dF

•forza =

per unitá di superficie su un conduttore : dS 2

o

Equazione del potenziale elettrostatico

ρ

2 −

∇ V =

Equazione di Poisson :

o

2

∇

Equazione di Laplace : V = 0 (dove ρ = 0)

Condensatori Q

Definizione di capacitá : C = ∆V

S

Capacitá cond. piano : C = d L

Capacitá cond. cilindrico : C = 2π log(r /r )

est int

r r

int est

Capacitá cond. sferico : C = 4π −

r r

est int

Condensatori in parallelo : C = C + C + ... + C

1 2 N

1

1 1 1

=

Condensatori in serie : + + ... +

C C C C

1 2 N 2

1 Q

1 1

2

Q ∆V = C ∆V

Energia del condensatore : U = =

2 2 2 C

2

Q

Forza tra armature : F = 2S

(cond.piano)

Dielettrici −

→

−

→ ∆ p

Vettore polarizzazione : P = lim

∆τ →0 ∆τ

(momento dip. per unitá volume) −

→

−

→ χ E

mezzo isotropo e lineare : P =

o 2

p

1

3

o

Suscettivitá dielettrica : χ ]

= N[α + α ] N[4πR +

e def orien at 3 kT

o

(N = no. molecole per unitá di volume)

Costante dielettrica relativa: = χ + 1

r −

→ −

→ −

→

−

→ E + P = E

Vettore spostamento elettrico : D =

−

→ o o r

·

Cariche di polarizzazione : σ = P n̂

pol −

→ −

→

− ∇ ·

: ρ = P

pol

2

Equazioni dell’elettrostatica in presenza di dielettrici

−

→

−

→ −

→ −

→

∇ × ·

E =0 ; E dl = 0

−

→

−

→ −

→ ·

∇· D n̂dS = Q

D = ρ ; lib

Σ

Condizioni di continuitá all’interfaccia fra due mezzi

= E ; D = D

E

t1 t2 n1 n2

Dielettrici densi −

→

−

→

−

→ P

= E +

Campo di Lorentz : E m 3

o

− 1 Nα

r =

Formula Clausius-Mossotti : + 2 3

r o

Energia elettrostatica

1 q q 1

1 i j = q V

Energia distribuzione discreta : U = i i

2 4π r 2

ij

= i

i,ji j

(V potenziale di tutte le cariche = i)

i 1

Energia distribuzione continua : U = ρV dτ

2

1 Q V

Energia sistema conduttori : U = i i

2 i

(V potenziale conduttore i con carica Q )

i i

−

→ −

→ 1

1 2

·

E D = E

Densitá energia del campo : u =

o r

2 2

Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno:

−

→ −

→ 1

1 2

·

E D = E

u = o r

2 2

2) Correnti stazionarie

−

→ −

→ −

→

Densitá di corrente : j = nq v = ρ v

−

→ −

→ ∂ρ

∇ · − (ρ=densitá di carica)

Equazione di continuitá : j = ∂t

−

→

dq ·

=

Intensitá di corrente : i = j n̂ dS

dt Σ −

→

−

→

Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilitá)

per elemento finito : V = R i l l

1 = ρ

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