Formulario Elettromagnetismo

Formule elettrostatiche con dielettrici

Q ∆V = C ∆V

Energia del condensatore: U = 1/2 C^2 Q

Forza tra armature: F = 1/2 S(cond.piano)

Vettore polarizzazione: P = lim ∆τ → 0 ∆τ (momento dip. per unità di volume)

Emezzo isotropo e lineare: P = χ E

Suscettività dielettrica: χ = N(α + α') N(4πR + e def orien at 3 kTo(N = no. molecole per unità di volume)

Costante dielettrica relativa: ε = χ + 1

Vettore spostamento elettrico: D = ε E

Cariche di polarizzazione: σ = P n̂pol

∇ · E = 0 ; ∮ E dl = 0

∇ · D = ρ ; libΣ

Condizioni di

continuitá all’interfaccia fra due mezzi= E ; D = DEt1 t2 n1 n2Dielettrici densi −→−→−→ P= E +Campo di Lorentz : E m 3o− 1 Nαr =Formula Clausius-Mossotti : + 2 3r oEnergia elettrostatica 1 q q 11 i j = q VEnergia distribuzione discreta : U = i i2 4π r 2ij= ii,ji j (V potenziale di tutte le cariche = i)i 1Energia distribuzione continua : U = ρV dτ2 1 Q VEnergia sistema conduttori : U = i i2 i(V potenziale conduttore i con carica Q )i i−→ −→ 11 2·E D = EDensitá energia del campo : u = o r2 2Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno:−→ −→ 11 2·E D = Eu = o r2 22) Correnti stazionarie−→ −→ −→Densitá di corrente : j = nq v = ρ v−→ −→ ∂ρ∇ · − (ρ=densitá di carica)Equazione di continuitá : j = ∂t−→dq ·=Intensitá di

corrente : i = j n̂ dSdt Σ −→−→Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilitá)per elemento finito : V = R i l l1 = ρResistenza conduttore di sezione costante : R = sσ S SN resistenze in serie : R = R + R + ... + R1 2 N11 1 1=N resistenze in parallelo : + + ... +R R R R1 2 NLeggi di Kirchhoff - legge dei nodi : i = 0 kk i R = Vlegge delle maglie : k k kk kEffetto Joule(potenza P = dW/dt,W =energia): −→−→ ·in forma locale : dP = j E dτ2conduttore finito : P = V i = i R33) MagnetismoMagnetostatica nel vuoto −→ ×−→−→ v rµ o qCampo generato da una carica in moto : B = 34π r −→ −→×−→ µ dl roCampo generato da una corrente : B = i 34π r−→ iµ o τ̂-filo rettilineo indefinito : B = 2π r 2−→ Rµ o i-spira circolare ( sull’asse !) : B = k̂2 2 32 (R + z

1. Nspire ]-interno solenoide indefinito : B = µ i n [n =o L −→−→ −→×
2. Forza agente su una corrente : F = i dl B−→ −→−→
3. Forza su carica in moto(Forza Lorentz) : F = q v B
4. Equazioni della magnetostatica nel vuoto:−→ −→ −→∇· ·B =0 ; B n̂dS = 0 Σchiusa −→−→ −→ −→−→∇ × ·B = µ j ; B dl = µ io o conc
5. Dipolo magnetico −→1−→ −→ ×Momento dipolo distrib. correnti: m = r j dτ2−→Per una spira piana: m = i S n̂−→ ×−→−→ m rµ o
6. Potenziale Vettore : A = 34π r −→−→ ·−→−→ m3( m r )µ −→o −r[Campo : B = ]5 34π r r −→−−→ ·Energia dipolo in campo esterno : U = m

B−→ −→−→ ×Momento agente su dipolo in campo esterno : M = m B

Momento magnetico e momento angolare di una −→q−→ Lcarica q, massa m, in moto circolare uniforme: m = 2m

Precessione (di Larmor) in campo esterno:qBω =L m

Potenziale vettore −→ −→ −→∇ ×Definizione : B = A −→ −→2 −µ∇ jA =Equazione del potenziale : o −→ ×−→−→ µ m ro

Potenziale generato da un dipolo : A = 34π r

Proprietá magnetiche della materia −→−→ ∆ mVettore magnetizzazione : M = lim∆τ →0 ∆τ(momento dipolo per unitá di volume) −→ −→−→ 1 χ B = χ Hmezzo isotropo e lineare : M = µ 1 + χo4 2 2 2mNZe < r > N −µ oSuscettivitá magnetica: χ = χ + χ + µm dia par o o6m 3 kTe−→−→

_−→ 1 MVettore campo magnetico H : H = χ_−→ −→ −→−→ −→ −→ H + µ M = µ HRelazione fra B e H : B = µ µo o o r: µ = χ + 1 −→r ×= M n̂Correnti di magnetizzazione : jsup −→ −→∇ ×= M: jvolEquazioni della magnetostatica nei mezzi materiali −→−→ −→ −→−→∇ × ·H = j ; H dl = ilibere conc−→ −→ −→∇· ·B =0 ; B n̂dS = 0ΣchiusaCondizioni di continuitá all’interfaccia fra due mezzi= H ; B = BH t1 t2 n1 n2Circuiti magneticiLegge di Hopkinson : F = RΦF = Ni (forza magnetomotrice)l1 (Riluttanza)R = µ SRiluttanze in serie : R = R + R + ... + R1 2 N1 11Riluttanze in parallelo : + + ... +=R R R R1 2 N4) Campi variabiliCampi quasi-staticiLegge di Faraday-Neumann −→−→−→ ddΦ − ·· − = B n̂dS Forma integrale : E dl = dt dt Σ−→−→ −→ ∂ B∇ × − Forma locale : E = ∂t Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti :Φ = M i ; Φ = M i ; M = M2 12 1 1 21 2 12 21 Coefficiente di autoinduzione :Φ = Li 2n l S Induttanza solenoide : L = µ o Energia magnetica 1 Φ i Energia sistema circuiti : U = k k2 k 2−→ −→ 11 1 B2·H B = µDensitá energia del campo : u = µ H =o r2 2 2 µ µo r1 2Li Energia induttore : U = 2 55) Circuiti elettrici Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori :≡ [i [I]i = i cos(ωt + φ) exp (iφ) exp (iωt)] =o o(iωt) ˜˜ iφe ; I = i eI = Io o odq q Circuito RC : R + = Vdt C− Carica C : q = CV (1 exp (−t/τ ) ; τ = RCexp (−t/τ )Scarica C : q = qodi Circuito RL : L + R i = Vdt V

• Extracorrente chiusura: i = (1 exp (-t/τ) ; τ = L/RRV exp (-t/τ)
• Extracorrente apertura: i = R2d 1i di
• Circuito RLC serie: L + i = V+ R2dt dt C 1√F
• Frequenza di risonanza: ω = 2πν =r r LC
• Impedenze complesse:
• resistenza: Z = R
• capacità: Z = iωC
• induttanza: Z = iωL
• Onde elettromagnetiche
• Equazioni di Maxwell
• Forma differenziale:
• ∇· D = ρ
• ∮ D · n̂ dS = Q
• ∇· B = 0
• B = 0
• ∂ B/∂t = -∇ × E
• E = E dl = B n̂ dS
• Forma integrale:
• ∮ B · dl = μ0 (j + ε0 ∂ E/∂t) · n̂ dS
• ∂ D/∂t + ∇ × H = 0
• D = ε0 E + P
• ∮ H · dl = I + Γ

_Σ∂t ∂t _Σ−→−→ ∂ DDensitá corrente di spostamento : j = ∂t−→−→Legge di Ohm(per conduttori) : j = σ ECaratteristiche generali propagazione per onde2∂ φ12 −∇ φ =0Equazione delle onde (3D) : 2 2