Formulario di Elettromagnetismo

Teorema di Coulomb

E2. Sulla superficie ha solo la componente normale: σ~E = μ°

3. Il conduttore è equipotenziale: A,B interni

4. Tutte le cariche sono esterne al conduttore, non possono essere presenti cariche interne

ZQ = σ(x, y, z)dSS

5. La superficie esterna del conduttore è equipotenziale

6. Gabbia di Faraday: un conduttore cavo è in grado di isolare l'ambiente interno da un qualunque campo elettrostatico presente al suo esterno, per quanto intenso questo possa essere

7. Induzione completa: preso un conduttore cavo scarico e posto una carica Q su un conduttore interno, sulle pareti interne ed esterne del conduttore cavo si inducono 2 cariche q e qe con carica uguale in modulo a Q posta sul conduttore centrale

8. Potere delle punte: tutte le volte che un conduttore presenta delle punte o delle spigolosità, là si riscontrerà una elevata densità di carica e anche il campo

φ) = 0φ ~ q·a·sin θ

E (r, θ, φ) = µˆ θ θ34π r0

Campo elettrico: q p~ 2| −E(r, θ, φ)| = 3 cos θ 134π r0

Dielettrici Inserendo un materiale dielettrico nel condensatore, lacapacità elettrica diventa: SC = 0 r d

Cenni di fisica ato- Solidimica La presenza di una campo elettrico fa migrare in direzioniopposte le cariche positive e negative all’interno del mezzomateriale, originando così un dipolo elettrico:~·< p~ >= α E αcon =cost di polarizzazione per deformazioned d

LiquidiÉ già presente un momento di dipolo elettrico permanente ein presenza di un campo elettrico, i dipoli tendono a orien-tarsi nello stesso verso (non tutti allineati perfettamentedato che si tratta di un liquido e non di un solido con unpreciso impacchettamento cristallino):~·< p~ >= α E αcon =cost di polarizzazione per orientamentol l

entrambi i casi: ~∆p = ∆N < p~ >∆N dove è il n totale dei dipoli presenti e1 P< p~ >= p~kk∆N Polarizzazione ~ ~P = h(x, y, z) < p~ >= χ E(x, y, z)0 e χ dove h(x,y,z) è la densità di poli e è la suscettività elettrica del materiale ~• E Polarizzazione uniforme. Data da un uniforme, si viene a creare una distribuzione di carica solo sui 2 (+)(−) σ )elati (σ pp ~• E Polarizzazione non uniforme. Data da un non uni- forme, oltre alla distribuzione di carica superficiale si creano delle cariche di polarizzazione di volume (δ )p Si ha così una carica di polarizzazione indotta: Z Z Q = σ (x, y, z)dS + δ (x, y, z)dτ = 0 q p pS τ Polarizzazione uni- Le due distribuzioni si compensano dando origine ad una forme carica netta = 0  (+) dq p σ = = P p 0 dS 0 (−) dq p − −P σ = = p 0dS0 Polarizzazione non  ~| −divdq = P dτ uniforme p

tot∇δ(x, y, z) = P

Prima equazione di Nei mezzi materiali il campo elettrico è generato sia dalleMaxwell nei mezzi cariche elettriche che dalle cariche di polarizzazionemateriali ∇D = δ L~ ~ ~ ~D = E + P = E dove è il vettore di spostamento elettrico

Teorema di Gauss |Φ(D) = Qnei mezzi materiali S intS libera

Condizioni al contorno: 2D = D2 1t t 1~V

Corrente Elettrica Definendo la velocità delle cariche che si muovono all’in-d ~ ~· ·J = q n Vterno del conduttore e il vettore densità didcorrente elettrica:Z Zdq ~ ~~ · ·····I = J μ° dS = Φ(J)= q n V μ° dS = n Sd ndt S S

Modello Considero un elettrone in moto tra ioni di liti urtandoliDrude-Lorentz durante il suo movimento casuale. Aggiungendo un cam-po magnetico esterno, il moto appare sempre disordinato-ma è possibile notare un moto di deriva

dell'e in unadeterminata direzione:e~ ~−V = τ E τcon =tempo medio di volod me 1σ=conducibilità ρ=Legge di Ohm in Definita elettrica e =resistivitàσforma locale elettrica: ~ ~J = σ EEquazione di conti- ∂~∇ −J(x, y, z, t) = ρ(x, y, z, t)nuità della corrente ∂tLegge di Kirchoff Caso stazionario dell'equazione di continuità della corrente∂~ ~∇ J(x, y, z) = ρ(x, y, z) = 0 =⇒ Φ (J) =0S∂t• Legge dei nodi X i = 0kk• Legge delle maglie X ∆V = 0kkLeggi di Ohm 1. Prima legge di Ohm ·∆V = R I2. Seconda legge di Ohm LR = ρ SPotenza Elettrica Potenza elettrica dissipata per effetto Joule:2∆V2· ·W = I ∆V = R I = RDensità di potenza elettrica dissipata nel conduttore pereffetto Joule: dL ~ ~ 2· · ≥= E J = σ E 0w = ·dt dτForza Elettromotri- Considero una batteria e vi collego ai due poli un

filo conduttore in cui fluiscono continuamente le cariche. Affinché questo sia possibile, dato che il campo elettrostatico non compie lavoro e quindi non è in grado di spiegare come le cariche ritornino alla sommità del potenziale, è necessario introdurre il concetto di campo elettromotore (EMF):

E_{introdurre il concetto di campo elettromotore (EMF)} = ∮_C E · dl = 0

Campo magnetico:

1. Le sorgenti sono i bipoli magnetici (nord e sud)
2. Il campo magnetico è un vettore solenoidale
3. Seconda equazione di Maxwell: ∇ · B(x, y, z, t) = 0

Fenomenologia:

Considero un circuito sonda inserito all'interno di un campo magnetico:

∮_C F · dl = I ∮_C B · dl = q V B sin θ

Forza di Lorentz: F = q V B

Nel caso siano presenti sia il campo elettrico che quello magnetico:

F = F_elettrico + F_magnetico = q(E + V B)

Legge di Biot-Savart: dB(x, y, z) = (μ I)/(4π) (dF · ∆r)/|∆r|

Campo magnetico a distanza ∆r dal filo:

B = (μ I)/(4π) ∫ (dF · ∆r)/|∆r|

µ̂distanza r da un filo φ2πrpercorso da corren-te ICampo magentico 2µ IR0~B(z) = µ̂spira x32 22(z + R ) 2Campo magnetico µ In0~ −B(x) = [cos θ cos θ ]solenoide 1 22 = 0 θ = π)Nel caso di un solenoide infinito (θ e si ha1 2~B(x) = µ Inµ̂0 xPiù ci si allontana dall’asse del solenoide, più si assiste aduna deformazione delle linee di forza del campo magnetico.Tuttavia, dato che esiste una direzione preferenziale (assex) è possibile approssimare come segue:

 µ Inµ̂ r < R (Interno)

 0 x

 0 r>R (Esterno)

 ~k B.Moti di 1. Carica con velocità acariche in campi Si origina una Moto rettilineo uniforme dato che la caricaelettromagnetici non è sottoposta ad alcuna forza~⊥ B.2. Carica con velocità aLa forza di Lorentz che si origina è sempre perpendicolarealla velocità e quindi non ne modifica il modulo ma solola traiettoria

dando origine ad un Moto circolare uniforme mVρ = con un raggio pari a qB ~B.

Carica con velocità inclinata rispetto a Il moto risultante è dato dalla composizione dei moti dovuti alla componente parallela (rettilineo uniforme) e quella perpendicolare (circolare uniforme) originando così un 2πρp = Moto elicoidale e il passo dell’elica è pari a tan θ

Selettore di velocità Sottoponendo le cariche contemporaneamente ad un campo magnetico B e ad un campo elettrico E, permette di V selezionare solo quelle con una particolare velocità .

∆VE dV = =0 B B V

Spettrometro Le cariche caratterizzate da una velocità iniziale passa-0 di massa no, attraverso una fessura, in una zona in cui è presente ⊥B V un campo magnetico . La particella assume così 0 mVρ = un moto circolare con raggio di curvatura che la 0 qB porterà a decadere ad una distanza x dalla fessura 2mV0x = 2ρ = qB

Teorema di Ampere I X~~