economia politica 1

SLUTSKY

Dato M, p e p , trovo x * e x *, se varia il prezzo del bene 1 e diventa p ’.1 2 1 2 1p′M + ΔM 1ΔM = p′ x* + p x* − M x * * = − x*; ora trovo x **:2 11 11 2p′ p1 2p′M 1SΔx = x* * −x* < 0 y* = − x*. adesso trovo y*:1 1 1 2p′ p1 2       ff RΔx = y* − x* *1 1 1S RΔx = Δx + Δx = variazione complessiva della domanda.1 11 S Rd x ( p ) d x ( p ) d x1 1 1 1 1= + x ( p )

Slutsky: 1 1d p d p dM1 1TEORIA DEL CONSUMATORE IN PRESENZA DI DOTAZIONIU′ p1 1=Condizione di ottimo: trovo x e lo sostituisco nel VB per trovare x .2 1U′ p2 2p x + p x = p w + p wVincolo di bilancio: 1 1 2 2 1 1 2 2 U′ p1 =Preferenze relative a bene di C: (U=c+logR) e (L=T-R) con trovo R e lo sostituisco nelU′ w2pC = wLVincolo di bilancio: trovo la curva Osostituendo a L =T-R —> .L∂L

Come varia L al variare di M = ∂MU′ p1 = pC =

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wLTrovo pC e R da e lo sostituisco nel VB: sostituisco L=T-R, mettendo R trovato primaU′ w2C* (=D del bene di consumo), Oe trovo se sostituisco C in R trovo , ossia R*. L=T-R*!

LDOMANDA AGGREGATA A Bx = x + xaggregata del bene 1

Si trova la D di x e x , dei beni A e B la D (x ) è .11 2 1 1 1

LA PRODUZIONE∂Y ∂YPML = PMK =e∂L ∂KPMLSMST = PMK Y = f (K, L) → Y′ = f (λ K, λ L)

Rendimenti di scala: con λ>1 o alternativamente∂f (λ K, λ L) λη = se è >1 sono crescenti, =1 costanti e <1 decrescenti.

λ ∂λ f (λ k, λ L)

Nelle funzioni Cobb-Douglas dipende da α+ β (>,=,< di 1).

COSTI PML wSMST = =

Sentiero di espansione del prodotto: data la funzione Y trovare e ricavare K (e L).

PMK r

Sostituire K (poi L) nella funzione Y e trovare L* (D condizionata) che sostituisco in K trovato e trovo K*.

PML wSMST = =

C(y) = wL + rK

Funzione di costo di LP: fare

trovare L* e K* sostituisco L* e K*PMK re trovo la funzione di costo di LP.dC(y)CMg =CMg di LP: dyC(y)CMe =CMe di LP: yNel BP il K è costante.C(y) = wL + rKCT di BP: trovo L* e lo sostituisco nella funzione Y.vincolo curva di costo di BP.Il è: wL+rK, dove sostituisco L* e trovo ladC(y)CMg =CMg di BP:Il dyC(y)CMe =CMe di BP:Il yMQuantità massima acquistabile: C(y) C(y') = wL (y') + rK(y')Variazione dell'output: stesso C(y) ma considerando il nuovo y'.per trovare la funzione di costoPML wSMST = =E ciente: se è e ciente se y=K=L.PMK r C(y) = wL + rK + 3(y - y')Se nel LP l'output si riduce e ogni L in meno costa 3 euro allora     ffi ffi C(y) = wL + rK + t ySe si hanno anche costi di trasporto t per unità trasportata:MONOPOLIO π = RT - C TPro tti monopolista: dove RT=p*q*Condizione di ottimo: CMg=RMg.dC(y)CMg =CMg: RMg= funzioni di D inversa lineari(C(y)=funzione

di costo); per le è = alla funzionedylineare con q moltiplicato per 2) Sp = CMgQuantità socialmente ottima: è dove la curva di funzione di D inversa interseca il CMg: etrovo q , se lo sostituisco nella funz di D inversa trovo p .S Sp40p*p S Qq* 40q S 3Perdita netta: area del triangolo rosso;Surplus del consumatore in monopolio: area del triangolo rosa, ossia area tra curva di D e il p* di mercatoSurplus monopolista o surplus produttore in monopolio: rettangolo giallo,Surplus del consumatore in rst best: triangolo verde.Quantità di rst best: produzione di q* in corrispondenza di p*=CMgsurplus del produttoreQuando la curva di CMg è una retta uscente dall'O: il o surplus del monopolista è ilptrapezio blu. compreso tra la curva di CMg e il p* di mercato40 CMgp*p S Qq* 40q S 3Quantità e Prezzo socialmente ottimo: funzione di D inversa p(q)=… con 2q si eguaglia al CMg, trovo qdi monopolio; sostituendolo nella funz di D inversa

(q) trovo il p di monopolio.

Prezzo e quantità di monopolio: condizione di ottimo è CMg=RMg da cui ricavo p* e q*.

SS = SC + SPSurplus sociale: Surplus del consumatore + surplus del produttore.

Se ci sono solo CF il CMg=0.

Se CMg=2q CMg è una retta crescente passante per l’origine.

fi fi fi

TEORIA DEI GIOCHI

Portiere e rigorista battaglia dei sessi: non esiste eq. di Nash in strategie pure, quindi si cerca in strategie miste:

2q 1-q

p 60,30 60,40

1-p 20,70 100,0

Partendo dal G1:

pq - p(1 - q) → 60q + 60(1 - q)

A. (1 - p)q + (1 - p)(1 - q) → 20q + 100(1 - q)

B. Eguaglio:

60q + 60(1 - q) = 20q + 100(1 - q)

E trovo q.

Ragionamento analogo per G2:

q p + q(1 - p) → 30p + 70(1 - p)

A. (1 - q)p + (1 - q)(1 - p) → 40p + 0(1 - p)

B. Eguaglio:

30p + 70(1 - p) = 40p + 0(1 - p)

E trovo p.

Eliminazione iterata delle strategie dominate: se elimino una colonna devo

Considerare i valori per il G2, se considero una riga devo considerare i valori per il G1

Dilemma del prigioniero: esiste un unico eq. di Nash ed è la coppia di playo in cui entrambi deviano.

C DCD EQ. DI NASH

Backward induction (leader e follower): si controlla quali playo convengono alla 2 poi quelli che convengono alla 1, l'eq è quello dove entrambe sono sottolineati.

Cournot: q = qse hanno stesse funzioni di costo 1 2π = RT - C T π = pQ - C T Q = q + q→ con 1 2∂π1 = 0 → q = ? π = p(Q)q - C T 11 1 ∂q1∂π 2 = 0 → q = ? π = p(Q)q - C T2 2 2∂q2

Metto a sistema q e q, sostituisco q in q e trovo q, sostituisco nella q e trovo q.

C 2C1 2 2 1 1 2

Trovo il p e i pro tti usando il p, ma la q per π e q per π.

C 1 1 2 2

Stackelberg: q < q1 2

Trovo q e q come in Cournot, nei π sostituisco al posto di q ciò che si ha in q, sempli co e faccio la

2C1 2 1 2∂π1 = 0 → q = ?

derivata: trovando così q. Sostituisco q nella q iniziale e trovo q. Con le dovute ^1S _1S ^2C _2S1∂q1 sostituzioni trovo poi p e π e π. ¹ ₂Multa: duopolio collusivo —> calcolo i π (di monopolio): RMg=CMg da cui trovo Q, dalla quale posso ^M _M1q = q = Q ricavarmi q e q sapendo che sono per definizione; trovo il p (con Q) e π ; sapendo che ^M _M1 ² ₂l'eq. di duopolio collusivo non è un eq. stabile dato che 1 delle 2 imprese ha incentivo a deviare, prendendo q (per es) trovo che: se l'impresa 1 produce q, all'azienda 2 conviene produrre la funzione di reazione ^1M1q, quindi calcolo q e trovo q*. Il mercato produce q diverse e ha anche i p diversi —> calcolo il p* ^2C _2C ² utilizzando al posto di Q: (q +q*). Trovato il p*, si calcolano i π*:π*=p*(q*)-CT. La multa deve essere: ^1M ₂ ² ₂Mπ* - Mu ≥ π da cui mi ricavo quanto deve essere </> la Multa. ² ₁q = q = QBertrand: 1 ² ₂fi fi ff ff fip =

CMgp= D agg inversa P(Q):∂C(q)

CMg = da cui trovo q . Trovato q , trovo q , Q, p e i pro tti1 1 2∂q

Concorrenza perfetta:

In eq. la funz. di D e di O si intersecano —> D = O

Funzione di O erta inversa : P(Q)

Funzione di Domanda inversa: P(Q)

Funzione di O aggregata: numero delle imprese per la funzione di O di una singola impresa.

BREVE PERIODO

O=D trovo Q* da cui ricavo P*

Se si ha un Pmin (Pmin>p) ssato, per calcolare lo squilibrio: data la curva di O si sostituisce il Pmin e sitrova la Q nella curva di D e la Q nella curva di O; la di erenza tra le due Q trovate è lo squilibrio

Se lo Stato impone una t* si aggiunge +t nella funzione di O da cui trovo Q’ e ricavo l’intervallo di t(compreso tra 0 e il valore trovato); sostituisco Q’ nella funz di D e trovo P’.

ΔpI =Incidenza della tassa: Δp=P nale - P inizialet dG )G = Qt = 0

Gettito sempli co e poi da cui ricavo il valore di t.dt

Se ho funzione di costo C(Q) e la funzione di D

1. Aggregata inversa P(Q) → per trovare P e Q in concorrenza perfetta devo: ∂C(q)CMg = Q' = S(P) = P da cui ricavo Q' (di una sola impresa) → ∂q
2. Nel BP CMg > CVMe !SEMPRE! S(P) = O aggregata che è = nP (n=num di imprese). Pongo D=O e trovo P* che sostituisco nella funz di D e trovo Q*
3. Calcolo PQ' ossia i RT poi calcolo i CT tenendo conto della Q' (non della Q complessiva). 801° Valore della D es: 80+.. SC EP* SP(80 - P*)Q* SC = 2(P*)Q* Q* SP = 2
4. Se si hanno le funzioni di utilità: ∂U p1 1SMS = = → x = ? ∂p2 2p1x + p2x = M sostituisco al posto di x il valore trovato e trovo x, ossia la funzione di D(P). 1 1 2 2 2 1 1
5. D aggregata = D(P) + D(P)1 2 O aggregata = O(P) + O(P)1 2 P = CMg → trovo P e la curva di O → [S(P)]. NEL BP quindi trovo il CMg e lo eguaglio al p da cui mi ricavo la funzione di O (S(P))
6. L'eq.= D=O trovo Q*' (Q di eq. per ogni impresa) e P* poi moltiplico

Q’n e trovo la Q* complessiva.

LUNGO PERIODO CMg=p

Condizione in concorrenza perfetta:

CMg=CMe

Per trovare O aggregata si pone: e trovo Q' di ogni singola impresa. (—>P=min CMe)

CMe(Q)

CMe = Q

Sostituisco Q’ nel CMg(Q’) di LP da cui ricavo il P* e poi sostituisco P* nella Q(P)=funz di D aggregata etrovo la Q* che è la Q complessivamente prodotta.

P=CMg=CMe —> CMg=CMe e trovo Q’, di ogni singola impresa.

p=CMg —> sostituisco a q la Q’ trovata etrovo il P*. Sostituisco P* nella funzione di D e trovo la Q* di equilibrio aggregata.

Se so quanto produce una singola impresa e quanto è la q complessiva posso ricavare il n di imprese: