Formulario e esercizi Impianti Industriali M

DISTRIBUZIONE NORMALE E BINOMIALE

NORMALE - GAUSSANA

Si analizza un campione ristretto per fare una previsione dell'universo che voglio studiare.Calcolo una media del campione:

Dovej = Pedice del tipo di risposta;P = Numero totale di risposte di tipo diverso;F_j = Numero di risposte j-esime (tutte dello stesso tipo j);

Calcolo la deviazione standard del campione:

Identificato il comportamento del campione possiamo dire che l'universo si comporta tra 2 estremi (max e min) che sono:

Dove = intervallo di confidenza

ESEMPIO:

Indagine sul numero di smartphone acquistati all'anno dagli studenti; Risposte possibili: 0, 1, 2, 3, 4 o più.

Si vuole studiare un universo di N = 5.000.000 di individui conoscendo il prezzo di vendita (p =230 €/pz) con una precisione del 95%.

→ Pr{1,7 − 0,08674 ≤ M ≤ 1,7 + 0,08674} ≈ 95% → Pr{1,6133 ≤ M ≤ 1,78674}

→ → 8.066.500 ≤ M ≤ 8.933.500 €8.066.500 · P ≤ M ≤ 8.933.500 · P

185.529.500 € ≤ M ≤ 205.470.500 €

DISTRIBUZIONE NORMALE E BINOMIALE

BINOMIALE

Per descrivere fenomeni per cui la risposta è limitata a due scelte (Sì/No, 1/0, ecc).

probabilità di trovare

ⁿC_a = ^n!⁄_{(n - a)! · a!} p^a · q^n-a

a volte su n osservazioni

Dove:a = n° risposte positive;n = n° risposte totali (osservazioni);p = probabilità di accadimento dell'evento positivo;q = probabilità di accadimento dell'evento negativo = 1 - p;

ESEMPIO:

Dado con “puntata”: Calcolare la probabilità che esca la faccia che mi interessa 5 volte su 10 tiri in totale.

p = ^a⁄_n = ¹⁄₆ → probabilità che esca la faccia che mi interessa;

q = 1 - p = ⁵⁄₆ → probabilità che esca una faccia che non sia quella che mi interessa;

a = 5 → voglio che esca la faccia che mi interessa per 5 volte su n tiri totali;

n = 10 → n° di tiri totale

P_n(a) = ^n!⁄_{(n - a)! · a!} p^a · q^n-a

^n!⁄_{(n - a)! · a!} = ^10!⁄_{(10 - 5)! · 5!} = ^{10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!}⁄_{5! · 5!} = ^{10 · 9 · 8 · 7 · 6}⁄_5! = 30,240 ⁄ 120 = 252

→ P_n(a) = 252 · ( ¹⁄₆ )⁵ · ( ⁵⁄₆ )¹⁰⁻⁵ ≈ 0.013024 = 1,30%

Questa proprietà è utilizzata anche nelle indagini campionarie.

^α⁄_n = n° di risposte positive sul totale (probabilità accadimento evento positivo percentuale)

M ( ^α⁄_n ) = p → M(a) = p · n

σ² ( ^α⁄_n ) = ^{p · q}⁄_n → σ²(a) = p · n · q

Pr ( ^{p’ − p’ · q’⁄_n−1}k ≤ p ≤ p’ + ^{q’ · q’}⁄_n−1 k)

Dove:p’ = valor medio campione;p = valor medio universo;

ESERCIZIO (CORRELAZIONE)

1. DETERMINAZIONE RETTA DI CORREL. E DOMANDA PER 2020:

DATI:

RETTA CORRELAZIONE:

Y = a + b(x - x̄) = 543,71 + 28,71(X - 21,14) =

DOVE:

a = ∑(y_i / m = (300 + 423 + 545 + 544 + 654 + 650 + 630) / 7 = 543,71

x̄ = ∑(x_i / m = (12 + 18 + 22 + 21 + 24 + 25 + 26) / 7 = 21,14

b = ∑(y_i - ȳ)(x_i - x̄) / ∑(x_i - x̄)² = 4044,23 / 140,86 = 28,71

DOMANDA:

• Y₂₀₁₃ = 543,71 + 28,71(12 − 21,14) = 281,20
• Y₂₀₁₄ = 543,71 + 28,71(18 − 21,14) = 453,48
• Y₂₀₂₀ = 543,71 + 28,71(23 − 21,14) = 593,04

PREVISIONE DELLA DOMANDA

ESEMPIO:

Si vuole effettuare un'indagine di previsione per correlazione, di lievito per pizza dell'azienda "Cuoci e Mangia". Si vede che il lievito venduto è legato al numero di persone a casa in ferie.

Avendo noti i dati di vendite qui a fianco:

a = ȳ = 200

b = Σ[(x_i - x̄)(y_i - ȳ)] / Σ[(x_i - x̄)₂]

= 9.052.320 / 9.750.800.000

= 0,000928367

y = 200 + 0.00093 · (x - 214.800)

FMS

N° MACCHINE

^N°macc = _{Σⁿi=1 Qi · ti} / _{N · t · h · η · 60}

Dove:i = indice prodotto = 1,...,n;t_i = tempo ciclo macchina [min/pz];Q_i = volume produttivo [pz/anno];N = gg lavorativi anno [gg/anno];t = turni al giorno [turni/gg];h = durata turno [h/turno];η = efficienza macchina;

N° PALLET

^N°in+out pallet = Σⁿ_{i=1 Qi} / _CAPi · N°_piazzi [n° pallet/anno]

Dove:N°_piazzi = numero piazzamenti del prodotto i – esimo [n° piazzamenti/pz];Q_i = volume produttivo prodotto i – esimo [pz/anno];CAP_i = capacità pallet i – esimo [pz/pallet];

TEMPO CARICO E SCARICO TOTALE

T_{in+out tot} = N°_{in+out pallet} · T_in+out [min/anno]

Dove:T_in+out = tempo carico e scarico [min/pallet];

N° OPERATORI PER CARICO E SCARICO

^N°op in+out = ⌈_{Tin+out tot} / _{N · h · ηop · 60}⌉

Dove:N = gg lavorativi anno [gg/anno];h = durata turno [h/turno];η_op = rendimento operatore = 0,85;

N° OPERATORI PER PIAZZAMENTI

^N°op piazz = ⌈_{Tpiazz tot} / _{Tdisp 1 operatore}⌉ = ⌈_{Σⁿi=1 Qi · N°pzi · Tpl} / _{(N · h · ηop · 60)}⌉

Dove:T_pl = tempo piazzamento del prodotto i – esimo;