Formulario di meccanica

CINEMATICA

• VELOCITA': ^v(t) = ^{d r} / _{dt uT}
• ACCELERAZIONE: ^a(t) = ^{d v} / _{dt uT} + ^v2 / _{r uN}

• ACC. TANGENTE: ^a_T = ^dv / _{dt uT}
• ACC. NORMALE: ^a_N = ^v2 / _{r uN}
• ACC. TOTALE: |^a_tot| = √(|^a_T|² + |^a_N|²)

MOTO RETTILINEO

^a(t) = a_{o ux}

^v(t) = (v_o + a_ot) _ux

^r(t) = (l_o + v_ot + 1/2 a_ot²) _ux

MOTO PARABOLICO

^a(t) = { 0 _ux -g _uy}

^v(t) = { (v_o cos θ) _ux (v_o sin θ - gt) _uy }

^r(t) = { (l_o + v_o cos θ t) _ux (y_o + v_o sin θ t - 1/2 gt²) _uy }

TRAETTORIA: y(x) = tg θ x - 1/2 ^x2 / _vo²cos²θ

ALTEZZA MASSIMA: { y_max = 1/2 ^{v_o2 sin2θ} / _g t_max = _{vosin θ} / _g }

GITTATA: { G = ^{v_o2 sin(2θ)} / _g t_L = 2 t_max = 2 ^{v_osin θ} / _g }

Moto Circolare

• Descrizione scalare
  • θ(t) = θ₀
  • ω(t) = ω₀ + α₀t
  • θ(t) = θ₀ + ω₀t + ½α₀t²
  • a(t) = d_on
  • v(t) = V₀ + a_ct
  • s(t) = s_o + V₀t + ½a_ot²
• Descrizione vettoriale
  • ω⃗(t) = (ω₀ + α₀t) û_τ
  • α⃗(t) = α₀û_τ + ω₂mû_n
• Descrizione cartesiana
  • x(t) = r cos(θ(t))
  • y(t) = r sin(θ(t))
  • v⃗(t)=
    • v_x = -r sin(θ(t)) ω(t)
    • v_y = r cos(θ(t)) ω(t)
  • a⃗(t)=
    • a_x = -r (sin θ·α + ω₂cos θ)
    • a_y = r (cos θ·α− ω₂sin θ)

considera il moto come periodico

Acc. Centripeta: L_c = V²_t = ω²

Periodo: T = 2π/ω

Frequenza: L = 1/t = ω/2π

Moto Armonico

• x(t) = A cos(ωt + φ₀)
• v(t) = dx/dt = -Aω sin(ωt + φ₀)
• a(t) = dv/dt = -ω²x(t)

Moto Rettilineo Smorzato Esponenzialmente

• â(t) = -K v⃗(t)
• v(t) = v₀ e^-t/τ
• s(t) = x₀ + v₀τ (1 - e^-t/τ)

LAVORO ED ENERGIA

LAVORO

L = ∫_Γ F⃗ · dn⃗

δL = F⃗ · dn = F_t dn

• θ = 0° → L > 0 : LAVORO MOTORE
• θ = 90° → L = 0 : LAVORO NULLO
• θ = 180° → L < 0 : LAVORO RESISTENTE

POTENZA

POTENZA MEDIA: <P> = L / Δt

POTENZA ISTANTANEA: P = δL / dt = F⃗ · v⃗

ENERGIA

ENERGIA CINETICA : E_K = 1/2 m v²

TEOREMA DELLE FORZE VIVE / DELL'ENERGIA CINETICA:

S.R.D.F. INERZIALE : ΔE_K = ᾱ → ½ m Δv² = ∫_Γ R⃗ · dn⃗

S.R.D.F. NON INERZIALE : ΔE_K = ᾱ (R̄^*) + L^DINAMICHE

ENERGIA POTENZIALE : ΔU = -∫_Γ F⃗ · dz⃗

valida solo per forze conservative

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE : ΔU_P = mg Δh

ENERGIA POTENZIALE ELASTICA : ΔU_EL = ½ k Δx²

ENERGIA MECCANICA : E_M = ΔU + E_K

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA:

ΔE_M = L_NC = ΔU + ΔE_K

con L_NC lavoro forze NON conservative

Corpo Rigido

• Corpo rigido: insieme di più punti materiali la cui distanza tra due punti qualsiasi resta costante → corpi indeformabili

Proprietà:

• il centro di massa è in posizione fissa rispetto agli altri punti;
• un corpo rigido possiede sei gradi di libertà (3 per il centro di massa, 3 l'orientamento del corpo nello spazio);
• le forze interne non compiono lavoro.

Moto nello spazio:

• solo traslazione: moto le eq. del moto del CM

  _Ek = ₁/₂ m _v²_CM

  _F^E = m _am = d_p/dt , _p = m _vCM

• solo rotazione: tutti i punti descrivono un moto circolare

  _M^E = d_L/dt

• roto-traslazione

  _VP = _V0 + _ω x _OP

  _F^E = d_p/dt , _M^E = d_L/dt

• Equilibrio statico: _F^E = _φ e _M^E = _φ (corpo fermo non rotante)

• Centro di massa

  _rCM = ∫ r dm / ∫ dm = 1 / M ∫ r dm

  _dV = dm

  d^*kg/_*m³

  se _ρ costante: M = _ρ V

  se _ρ non costante: M = ∫_{V ρ} dV