Formulario di analisi modulo 1 - 2

Formattazione del testo con tag HTML

+Cx+ ln 3 x+ 13 9Dividiamo ogni volta che il numeratore è un polinomio di grado maggiore o uguale al denominatore 1∈dove a , b , c R e a ≠ 0Esempio 2 +a x bx+ cDistinguiamo 3 casi:Δ> 01) Δ=02) Δ< 03)1° caso: esistono due radici reali distinte del polinomio2 +a x bx+ c : x ≠ x1 22 ( ) ( )+ * -xa x bx+c=a* x-x x1 2 ( )1 1 1 A B= = * + somma di due logaritmi-xa x x-x( ) ( )*2 a* x-x x-x+bx +ca x 1 21 2Esempio:1 ¿2 +2x x-3∫ ¿2 +2x x-3=0√=-1±x 41,2=1 ¿-3x x1 22 +2 +3)(x-1)x x-3=( x1 1 A B= = +x+3 x-1( )( )+32 x x-1+2x x-3( ) + +3)A x-1 B( x Ax- A+ Bx+3 B=(x +3)( (x+x-1) 3)(x-1)( )A+ B x- A+3 B( -1)x+ 3)( xLe due frazioni sono uguali se e solo se:1=( ) +1=( )A+ B x- A+3 B cioè 0*x A+ B x- A+3 BPer il principio di

identità dei polinomi: A+B=0, -A+3B=1

A=-B+B+3, B=1

-1A=41B=4, -1*1*1*1*4=++3x*x-12+2x*x-3

-11=1/1/1=++34*x*4*x-12+2x*x-3-1

1| | | |+3+ +Cln(x)ln(x)-14/4

Il ragionamento è lo stesso se al numeratore abbiamo un polinomio di primo grado: +12*x*int(2)+2x*x-3

{2*x+1, A, B, A+B=2=+, =+3x*x-1-2*A+3B=1+2x*x-3

La risoluzione è la stessa del caso precedente

2° caso: esiste una radice doppia del polinomio 2+a*x*b*x+c: x^2+2( )+a*x*b*x+c=a*x*(x-1)^2

a=2, 2( )+b*x+c=a*x*(x-1)

1/1/1/1= = =x*(x-1)^2/a*(a+2( )+b*x+c)

x*(x-1)^2/a*(a+2( )+b*x+c)=+C-1*a*x*(x-1)

Potenza con esponente -1

Esempio -11/1/1/1/1= =+C+1*x^2+2( )+2+1*x*x+1*x^3

3° caso: il polinomio non ammette radici reali ma ammette due radici complesse α±

iconiugate [ ]2 2 2( )+ +a x bx+ c=a∗ x−α β1 ∗11 a=2 2 2( )+bx +c −α +a x x β1 1 1 1 1∫ ∫ ∫= ∗ = ∗ =¿[ ]a a2 2 2 ( )( )+ + 2a x bx+ c x−α β −αx2∗ +1β β( )1 x−α∗arctan +Cα∗β βEsempio1∫ 2 + +1x x2 + +1=0x x √√ √2−1 −1± −1± 1−4 3 i i 3= = =x ±1,2 2 2 2 2√−1 3=α =β;2 2 ( )2( ) √21 32 + +1= + +x x x 2 21 1∫ ∫= =¿( )2 2( ) √2+x +1x 1 3+ +x 2 2( )21 2 1∫ ∫[ ] = ∗ =¿√ ( )2( ) 3 2 121 +1+ xx+ √ √3 3( )2√ 3 2∗ 1+ √2 32( )2√ ( )32 2 2 1∫∗ = ∗arctan +Cx+√ √ √ √( )23 3 3 32 1+1+ x√ √3 3Integrali impropri di prima specieGli integrali impropri di prima specie sono integrali su intervalli illimitati,del tipoo ¿a ,+ ∞¿−∞ ¿? ¿? , a ,¿? e rappresentano una generalizzazione del concetto di integrale definito¿−∞,+ ∞segundo Riemann. Definiti mediante la nozione di limite possono presentare valorifiniti (convergere), infiniti (divergere) o non esistere. ¿f ¿Definiamo l'integrale improprio di prima specie della funzione su ila ,+∞¿[a , c]flimite dell'integrale definito di su c∫( ) ( )f x dx=¿ lim f x dxc→+ ∞ a+∫ ¿a fSe il limite al secondo membro esiste finito diremo che la funzione è integrabileimpropriamente su, o che l'integrale improprio converge al valore del limite, o ancora che esiste¿a ,+∞¿ .fl'integrale generalizzato di su ¿a ,+∞¿- Se il limite esiste ma è infinito diremo che l'integrale improprio diverge.- Se il limite non esiste diremo che

l'integrale improprio è oscillante, oppure che non esiste. ¿∞ ¿, Nel caso in cui il dominio di integrazione sia e nelle ipotesi delladefinizione che abbiamo appena visto, scriveremob b∫ ∫( ) ( )f x dx= lim f x dxc→-∞-∞ cCome calcolare gli integrali impropri di prima specieIl metodo per calcolare gli integrali impropri, o meglio per studiarne la convergenza ecalcolarne il valore in caso di convergenza, viene fornito direttamente dalladefinizione.Per prima cosa dovremo scrivere il limite che abbiamo visto nella definizione ecalcolare l'integrale definitoc∫ ( )f x dxa cilui valore dipenderà dal parametro . Fatto ciò, basterà semplicemente calcolareo-∞cil limite per che tende a ).+ ¿∞+∞ c( ) ( )ln x ln x∫ ∫ =¿dx= lim2 2x xc →+∞1 1Tramite l'integrazione per parti avremo:[ ]cc ( ) ( ) ( )ln x ln x ln c-1 1∫ =

₋ =1_{− −}x x c c²x 11 c ( )ln x∫ =1limQuindi 2xc →+∞ 1Integrali impropri di seconda specieGli integrali impropri di seconda specie sono integrali su intervalli limitati, del tipo[a [o],b a , b], che costituiscono una generalizzazione dell'integrale definito diRiemann poiché riguardano l'integrazione di funzioni non necessariamente limitate.→R [a , c]¿Sia una funzione che sia integrabile in ogni intervallo chiuso e limitatoa,b¿f : ¿a< c f ¿con . Chiamiamo integrale improprio di seconda specie di su ila,b¿seguente limite: c∫−¿ ( )c →b f x dxab∫ ( ) ¿f x dx=lim¿aIl limite può essere finito, infinito, o addirittura non esistere:f- Se il limite esiste ed è finito, diremo che la funzione è integrabile in senso¿ ¿improprio su , oppure che l'integrale improprio è convergente.a , b¿- Se il limite esiste ma

è infinito, diremo che la funzione f non è integrabile, impropriamente su [a,b] o equivalentemente che l'integrale improprio di [a,b] seconda specie è divergente.

- Se il limite non esiste allora affermeremo che l'integrale improprio di f su [a,b] non esiste, o equivalentemente che è oscillante.

- Se la funzione è definita nell'intervallo (a,b), cioè se l'insieme è aperto a sinistra, continua a valere la nomenclatura che abbiamo scritto in precedenza, sostanzialmente l'unica cosa che cambia è:

∫_a^b f(x) dx → ∫_c^b f(x) dx = lim_a→c ∫_a^b f(x) dx

Come calcolare gli integrali impropri di seconda specie:

∫₁^+∞ dx √(1-x²)

In questo caso dobbiamo assegnare la ∞ al termine 1 in quanto il limite di x tendente a +∞ della funzione tende a ∞.

Dalla definizione di integrale improprio:

∫_c¹ ∫_c¹ 2(1-x²) dx = 1-x²

dx=¿√ 1−x1 12 2 −¿ ¿c → 11 1∫ ¿dx=lim√ 1−x ¿12[ ] c−1 +1−( ) 21−x =¿−1 +1 12 2c[ ]√ √ √−2 =1−x 2−2 1−c12

Di conseguenza possiamo calcolare il limite dell'integrale improprio come√ √ √−¿c → 1 2−2 1−c= 21 =¿ ¿dx lim√ 1−x ¿c∫−¿ ¿c→ 1 12¿lim¿

Calcolo della media integrale a,b

La media integrale di una funzione in un intervallo generico si calcola con:b1 ∫( )[ ] ( )=M f , a ,b f x dxb−a a

Come determinare gli estremi relativi ed assoluti di una funzione(f x)

1) Determinare l'insieme di definizione di(x)f

2) Valutare il comportamento di agli estremi dell'insieme di definizione(x)fcalcolando limiti o valori di negli estremi se l'insieme di definizione èchiuso (f ' x)

3) Calcolare e studiarne

Il segno 4) Solo in presenza di particolari condizioni come radice o valore assoluto, vedere(f x)cosa succede in punti in cui non è derivabile

Esempio 2( )=x-ln ( -3)f x ⁡ x √ √2 21) Dominio = ∪-3>0 >3 ← >x → x → x 3 x 3¿2) √ √[ ]∪ ¿D=¿-∞ ,- 3 3 ,+∞( )2 ( )=-∞-3 =-∞→lim x-ln x inf fx →-∞ ¿ ( )√ ( )2 f-3 =+ =+∞x →- 3 x