Formulario trigonometrico

Formule trigonometriche

In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli o della loro differenza, della metà, del doppio ecc. Si chiamano formule di: addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner.

Formule di addizione e sottrazione

Dimostriamo ora come si arriva alle formule di sottrazione del coseno e del seno, che sono quelle da cui si ricavano le altre in maniera immediata:

Disegniamo la circonferenza goniometrica di equazione x² + y² = 1. Per ipotesi gli angoli RÔS e QÔP sono congruenti e di ampiezza i segmenti RQ e PS sono congruenti perché corde uguali che sottendono archi uguali; si avrà quindi:

RQ² = PS²

Se le coordinate dei loro estremi saranno allora:

• R(1 ; 0)
• P(cos α ; sin α)
• Q(cos β ; sin β)
• S[cos(α−β) ; sin(α−β)]

Per la formula della distanza fra due punti è:

RQ² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)²

Analogamente:

PS² = [cos(α−β) − 1]² + [sin(α−β)]²

Quindi possiamo uguagliare le due relazioni ed ottenere in tal modo:

[cos(α) − cos(β)]² + [sin(α) − sin(β)]² = [cos(α−β) − 1]² + [sin(α−β)]²

Svolgendo i quadrati si otterrà:

cos(α−β)² + 1 − 2cos(α−β) + sin(α−β)² − 2sin(α−β) = cos α² + cos β² − 2cos α cos β + sin α² + sin β² − 2sin α sin β

Per il primo principio della trigonometria, risulta sin² + cos² = 1 e quindi diventa:

2 − 2cos α cos β − 2sin α sin β = 2 − 2cos(α−β)

Semplificando per due e cambiando i segni si ottiene alla fine la formula di sottrazione del coseno:

cos(α−β) = cos α cos β + sin α sin β

Ecco la formula di sottrazione del seno:

sin(α−β) = cos[90° − (α−β)], ricordando che sin θ = cos(90°−θ) possiamo scrivere:

sin(α−β) = cos[90° − (α−β)] = cos[(90° + β) − α]

Utilizzando la formula di sottrazione del coseno e ricordando le relazioni che intercorrono tra archi associati, può scriversi:

sin(α−β) = cos[(90° + β) − α] = sin[90° + β]cos α + cos[90° + β]sin α

Quindi la formula cercata è:

sin(α−β) = sin α cos β − cos α sin β

Le altre due formule si ricavano facilmente tenendo conto che è:

sin(α+β) = sin[α−(−β)] e cos(α+β) = cos[α−(−β)]

Formule di addizione

• sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β
• cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β

Per la tangente, che sappiamo essere il rapporto tra seno e coseno (secondo principio della goniometria), le formule sono:

• tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
• tan(α−β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α tan β)

Valide solo se è (α+β) ≠ 90° + k 180°, (α−β) ≠ 90° + k 180°, β ≠ 90° + k 180°, ed infine α ≠ 90° + k 180° per ogni intero k.