Formulario trigonometrico

Applicazioni delle formule trigonometriche

Vediamo ora qualche applicazione di queste formule: vogliamo ricavare il seno di 75°.

sin 75° = sin(30°+45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45° = (1/2) * (sqrt(2)/2) + (sqrt(3)/2) * (sqrt(2)/2) = (1/2) + (sqrt(6)/4) = (2 + sqrt(6))/4

Ora troviamo la tangente di 105°.

tan 105° = tan(60°+45°) = (sqrt(3) + 1)/(sqrt(3) - 1) = (sqrt(3) + 1) * (sqrt(3) + 1) / ((sqrt(3) - 1) * (sqrt(3) + 1)) = (3 + 2sqrt(3)) / (2 - sqrt(3))

Queste formule permettono di calcolare le funzioni del doppio di un angolo; si ricavano con le formule di addizione.

Calcoliamo il seno di un angolo pari a 2α.

sin(2α) = 2sinαcosα

Per il coseno si procede analogamente:

cos(2α) = cos²α - sin²α

Fonte: www.matematicamente.it

Formule trigonometriche C. Enrico – F. Bonaldi

cos(α+α) cos cos sin sin cos

Veniamo a tangente e cotangente ed applichiamo sempre le rispettive formule di addizione:

αα − 21 cot2 tan αα == cot 2tan 2 αα− 2 2 cot1 tanα α

La prima è valida se ≠ 90° + k 180°, la seconda ha significato per ≠ k 180°

Ed ora qualche esempio; le applicazioni di queste formule per determinare le funzioni di angolo sono ben poche, al contrario risultano molto utili e di grande ausilio nella risoluzione delle equazioni e disequazioni trigonometriche.

1. Dimostriamo che il coseno dell'angolo di 90° è nullo:

1 12 290° = = 45° − 45° = − = 0cos cos(45°+45°) cos sin 2 2

2. Dimostriamo che 120° ha lo stesso seno di 60° perché angoli supplementari:

3 1 3120° = 2 60° 60° = ⋅ ⋅ =sin sin cos 2 2 2 2

3. Calcoliamo tan 60°:

3⋅2°2 tan 30 3tan 60° = tan (30°+30°) = = = 3.1−

^°21 tan 30 1- 33) Si vogliano calcolare le radici dell'equazione:1cos 2x + 2 sin (90^°-x) – = 02si ottiene www.matematicamente.itFormule trigonometriche C. Enrico – F. Bonaldi 5________________________________________________________________________________12 2cos x - sin x + 2 cos x – = 02trasformando tutto in coseno1 32 2 2cos x - (1-cos x) + 2 cos x – = 0, quindi 2 cos x + 2 cos x – = 02 22x + 4 cos x - 3 = 04 cos − ± +2 4 12da cui cos x = ;41 e quindi x = ± 60° + k 360°prima soluzione: cos x = 23seconda soluzione: cos x = impossibile perché deve essere -1 ≤ cos x ≤ 12Di conseguenza l'unica soluzione vale ± 60° + k 360°.FORMULE PARAMETRICHEEsprimono seno e coseno di un angolo in funzione razionale della tangente dell'angolo metà.Dalle formule di duplicazione, è noto che2α = 2 α αsin sin cos2 2α − α2α = sincos cos 2

2α + α

Dal primo principio della goniometria vale l'espressione sin cos = 1; operiamo la sostituzione in entrambe le formule

α α2 sin cosα =sin 2 α α+2 2sin cosα α−2 2cos sinα =cos 2 α α+2 2sin cos

Calcolando con la proprietà distributiva ed essendo la tangente il rapporto seno/coseno, supponendo α sempre che sia ≠ 90° + k 180°, ricaviamo:

α2 tanα =sin 2 α+ 21 tan www.matematicamente.itFormule trigonometriche C. Enrico – F. Bonaldi 6________________________________________________________________________________α− 21 tanα =cos 2 α+ 21 tan αα α le formule diventano

Sostituendo ora 2α con e di conseguenza con 2α2 tan 2α =sin α+ 21 tan 2α21 - tan 2α =cos α+ 21 tan 2α

Oppure, se si pone tan uguale al parametro t (da cui il nome "formule parametriche"),

2 2tα =sin +

21 t 21 - tα =cos + 21 t αvalide specificamente sempre se il denominatore è diverso da zero, cioè se è ≠ 180° + k 360°

FORMULE DI BISEZIONE

α, α αServono, noti i valori di sin cos e tan a calcolare i valori delle funzioni trigonometrichedell'angolo metà, cioè:

α α α, cos e tansin 2 2 2Si ricavano dalle formule di duplicazione del coseno, cioè da:

2 2α = 2 α 1 .2α = 1 - 2 cos -cos sin α αPonendo in queste formule al posto di si ottiene :

2α α2 2α = 1-2 α = 2cos sin ; cos cos - 1 da cui :

2 2 www.matematicamente.itFormule trigonometriche C. Enrico - F. Bonaldi 7________________________________________________________________________________α α α α- +1 cos 1 cos2 2= ; =sin cos2 2 2 2da cui infine si ricavano le formule di bisezione :

α αα α- +1 cos

1 cos± ±= ; =cossin 2 22 2 αdividendo poi membro a membro le due eguaglianze e supponendo quindi che sia cos diversoαda –1 e quindi diverso da 180° + k 360°, si ottiene:αα −1 cos±=tan α+1 cos2Bisogna fare attenzione nella scelta del segno davanti alla radice:ne va sempre preso uno solo e, per decidere quale, bisogna conoscere il quadrante in cui cade ilα,secondo lato dell’angolo eliminando così ogni incertezza.Con queste formule si possono ad esempio trovare i valori delle funzioni trigonometriche di angoli45°come 22°30’ essendo 22°30’ = oppure di 15°.2 −3 1Ad es. per sin 15° si ottiene : −2 2Si propone un semplice esercizio :α α α α7α e che 270°<α<360° calcolare sin , cos , tan : dunque saràsapendo che cos = 4 2 2 2 2compreso tra 135° e 180° e quindi si devono prendere i segni...1 3 3

3α α αAltro es. : sapendo che è: sin 3α = e che : 90°< 3α < 180° calcolare sin , cos , tan .3 2 2 2

Per svolgere questi esercizi è utile ripassare le formule relative ai radicali doppi.

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FORMULE DI PROSTAFERESI(parola che deriva dal greco e significa: somma e sottrazione)

Come dice il nome, permettono di trasformare in prodotto , la somma o differenza dei seni di2 angoli e la somma o differenza dei coseni di 2 angoli.

Consideriamo le formule :

sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α−β) = sin α cos β – cos α sin β

e sommando prima membro a membro e poi sottraendo sempre membro a membro le 2 formule sopra indicate si ottiene :

sin(α+β) + sin(α−β) = 2 sin α cos β

^[1](α−β) = 2 α βsin(α+β) – sinαcosβsinα
Analogamente, partendo da:
= α β α βcos(α+β) cosαcosβ – sinαsinβ
= α β + α βcos(α−β) cosαcosβ sinαsinβ
si ottiene:
(^α+β) + = 2 α βcosαcos(α−β) cosαcosβ [2]
(^α−β) = − 2 α β(α+β) cosαsinβcosα
Per dare una forma più semplice alle [1] e [2] poniamo :
α+β = p
α−β = q
α,βe ricaviamo in funzione di p e di q ottenendo :
(^α+−β) = p
(^α−β) = q
β = α = 2
Sostituendo queste nelle [1] e [2] si ottengono finalmente le formule di prostaferesi :
(^α+−β) = 2sin p sin q sinαcosβ
(^α−β) = 2sin p – sin q cosαsinβ

2cos(p)cos(q)cos(cos(2)+(-p)q)pq= -2sincos(p)–cos(q)sin(2)

Esempio: risolvere l’equazione: sin(4x)–sin(2x)–sin(x) = 0

Applichiamo le formule di prostaferesi al primo e secondo addendo: 2cos(3x)sin(x)–sin(x) = 0 da cui: sin(x)(2cos(3x)–1) = 0 da cui deriva: sin(x) = 0 e quindi x = k180°+1 da cui 3x = ±60°+k360°cos(3x) = 2 le soluzioni sono pertanto: x = k180°, x = ±20°+k120°

Altro esempio: risolvere l’equazione: sin(x)+sin(2x)+sin(3x) = 0

Applichiamo le formule di prostaferesi al primo e terzo addendo ottenendo: 2sin(2x)cos(x)+sin(2x) = 0 da cui: sin(2x) = 0 da cui: 2x = k180° e quindi x = k90°+1– e quindi x = ±120°+k360°2cos(x)+1 = 0 cui segue: cos(x) = 2

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Esercizio da svolgere: 7cos(2x)+cos

5x - cos x = 0 (la soluzione è: x = 25.71° + k 51.42°; x = ± 40° + k 240°) 2 FORMULE DI WERNER Si può osservare che dalle [1] e [2] si ricavano queste formule: 1α β = [ ]sin sin cos(α-β) - cos(α+β) 2α β = [ + ]cos cos cos(α+β) cos(α-β) 2α β = [ + ]sin cos sin(α+β) sin(α-β) 2α β = [ - ]cos sin sin(α+β) sin(α-β) che trasformano un prodotto di funzioni trigonometriche in una somma algebrica. Esempio: risolvere la seguente equazione