Formulario di analisi modulo 1 - 1

Suriettività delle funzioni

Una funzione f : X → Y è suriettiva se per ogni elemento y ∈ Y del codominio esiste almeno un elemento del dominio x ∈ X tale per cui f(x) = y.

Esempi:

• La funzione f : R → R definita come f(x) = x^2 non è suriettiva perché non tutti i numeri reali hanno una radice quadrata reale.
• La funzione g : R → R definita come g(x) = x + 2 è suriettiva perché per ogni numero reale y esiste un numero reale x tale che g(x) = y.

Una funzione biettiva (o biunivoca) è una funzione f : X → Y che è contemporaneamente suriettiva e iniettiva.

Una funzione invertibile è una funzione per la quale è possibile definire una nuova funzione che percorre al contrario la legge di f. In termini pratici, una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

Per definizione, una funzione è invertibile se ammette un' inversa. In altri termini, una funzione f è invertibile se esiste una funzione g tale che g(f(x)) = x per ogni x nel dominio di f.

cui legge individua la corrispondenza inversa rispetto a f. Se tale funzione esiste, allora essa è unica e viene indicata con il simbolo f^-1.

Funzione invertibile (definizione Brandolini):

Supponiamo che sia invertibile:

se f : X → Y è una funzione, allora la sua inversa è f^-1 : Y → X tale che f^-1(f(x)) = x per ogni x ∈ X.

Noto il grafico di f:

GR(f) : {(x,y) ∈ R² | y = f(x), x ∈ R}

Il grafico di f^-1 è la curva simmetrica di GR(f) rispetto alla retta y = x:

GR(f^-1) : {(y,x) | y = f(x) → x = f^-1(y), x,y ∈ R}

Grafico di f:

GR(f) : {(x,y) | y = f(x), x,y ∈ R}

Grafico di f^-1:

GR(f^-1) : {(y,x) | x = f^-1(y), x,y ∈ R}

Funzioni pari e dispari

Una funzione pari è una funzione tale per cui f(-x) = f(x), e che quindi assume valori simmetrici rispetto all'asse delle ordinate;

una funzione dispari è una funzione tale per cui f(-x) = -f(x) e che quindi assume valori simmetrici rispetto all'origine.

Consideriamo una funzione f e immaginiamo di rappresentare il dominio su una retta orientata, avendo

Cura di indicare il valore. Con questa premessa diremo che:

• È una funzione pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se vale la proprietà
• È una funzione dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se soddisfa la proprietà
• Nel caso non dovesse sussistere alcuna delle precedenti condizioni, diremo che la funzione considerata non è né pari né dispari, quindi asimmetrica.

Funzione limitata superiormente e inferiormente, massimo e minimo:

Data la funzione f : X → Y, f è limitata superiormente se f(x) lo è, cioè:

∀ x ∈ X, ∃ L ∈ R t.c. f(x) ≤ L

Inoltre, L è chiamato maggiorante di f(x)

Data la funzione f : X → Y, f è limitata inferiormente se f(x) lo è, cioè:

∀ x ∈ X, ∃ M ∈ R t.c. f(x) ≥ M

Inoltre, M è chiamato minorante di f(x)

se : f x lo è , cioè :{ }( )∃l ∈ ∀ ∈R t . c . f x ≥l , x X inoltre l è chiamato minorante di f( ) ( )∈m=min f m=minimo di f x , se il minorante f xxQuindi ( ) ( )∃ ∈ ∀ ∈x́ X t . c . m=f x́ ≤ f x , x XNotazioni: ( )=maxM f , x́= punto dimassimo sulle ascisse( )m=min f , x́= punto diminimo sulle ascisse' ( )s=¿ f s è l estremo superiore di f x , ovvero il più piccolo dei magg .x ' ( )i=inf f iè l estremo inferiore di f x , ovvero il più grande dei min .x¿ =+∞f se f non è limitato superiormentex =-∞inf f se f non è limitato inferiormentexFunzioni monotone:La monotonia di una funzione è una proprietà che riguarda l'andamento di crescita e decrescita della funzione, e che può essere riferita al suo dominio o ad un intervallo contenuto in esso.⊆ ⊆f : x R→ y R ( ) ( )∀ ∈ <

¿f crescente se x , x ∈ X , x ≤ f(x1) ≤ f(x2) ≤ f(x1) ≤ f(x2) ( ) ( )∀ ∈ < ¿ff strettamente decrescente se x , x ∈ X , x > f(x) > f(x1) > f(x2) > f(x1) > f(x2)f è detta monotona se è crescente o decrescente.f è detta strettamente monotona se è strettamente crescente o decrescente.f non è monotona se è contemporaneamente crescente e decrescente, a meno che non applichiamo la dovuta restrizione (prendiamo in considerazione una singola porzione del piano dove la funzione è o crescente o decrescente).Stabilire se una funzione è periodica o meno:Una funzione periodica, in accordo con il significato periodico, dell'aggettivo è una funzione che ripete il comportamento che presenta su un certo intervallo periodicamente su tutto il proprio

dominio.Diremo che , con un insieme illimitatosia inferiormente che superiormente, è una funzioneperiodica se esiste un numero reale , chechiameremo periodo, tale che per ogni risulti

ESEMPIO:Consideriamo la funzione senoche è una funzione periodica di periodo . Per vederloponiamoe, grazie alla formula di sommazione degli archi per il seno

Di conseguenza abbiamo

Per verificare l'uguaglianza deve essereil che si verifica nel caso banale in cui oppure nelcaso . La prima soluzione va evidentemente scartata, percui concludiamo che il periodo della funzione considerata è.

Operazioni con le funzioni:

⊆f : x R→ R⊆g : y R→R ( ) ( )=f ( ) ( )∈ ∈+ +f ± g : x X ∩Y → f g x x g x R( ) ( ) ( ) ( )∈ ∈=ff × g : x X ∩Y → f × g x x × g x ROsservazioni:

1. +gSe f , g sono PARI → f PARI f × g PARIf ÷ g PARI

2. +Se f , g sono DISPARI → f g DISPARI f × g PARIf ÷ g PARI

1. Se f è PARI, g DISPARI → f guna PARI, una DISPARIf × g DISPARIf ÷ g DISPARI
2. f, g CRESCENTI → f g CRESCENTI+f, g DECRESCENTI → f g DECRESCENTI
3. Funzioni composte: ⊆f : X → R ⊆g : Y → R ˆ = funzione g f composta ∈ ˆ)g f : x X → (g f
4. ESEMPIO: ∈ → log x R 2 ∈ ¿ ¿f : x 0, +∞ ¿0, +∞ ¿ 2 ∈ ∈ ¿g : x R → x( )=R
5. Cod f( ) =¿ ¿Dom f 0, +∞ ¿0, +∞ ( )=R ( )=¿Dom g Cod g ( ) ( )∘g f possibile perchè il Cod f è contenuto nel Dom g2 2( )( )= ( )=log x= y → g y y → g x log x2 2( ) ( )∘f g non possibile perchè il Cod g non è contenuto nel Dom f¿[∉]0, +∞ 0, +∞¿¿Per rendere possibile applichiamo la dovuta restrizione:∘f g¿( )' =¿Cod g ¿ ¿0, +∞Quindi:' 2( )( )g∘ f : log x2' 2 2( ) ( )=log

( )=log∘ = =2f g : x y → g y y → g x x log x2 2 2

Numeri complessi

Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali:{ }2( ) ( )∈ ∈=a , b R a , b t . c . a , b RL'insieme dei numeri complessi viene indicato con , e unCnumero complesso viene scritto come .z=( ) ∈Ca , b

Definiamo in due operazioni interne:C( ) ( )=(a+c+ )a , b c , d , b+d( ) ( )=( )+bca , b × c , d ac−bd , ad

Valgono 7 proprietà (guarda dagli appunti di giorno 2 novembre).Dato che valgono queste 7 proprietà, ( è un CAMPO.¿C ,+, ×

Come scrivere la forma algebrica e quella trigonometricadi un numero complesso:Osserviamo che:( ) ( )=( )b , 0 × 0, 1 0 , bz=( ) =( ) ( ) =( ) ( ) ( )=a+ib+ +a , b a , 0 0 , b a , 0 b , 0 × 0,1

Forma algebrica di zRicordando che:( )a=ℜ z Parte reale di z '( )b=ℑ z Coefficiente dell immaginario di zi=( )0, 1 Unità immaginariaNotazione:2 =( ) ( )= (−1, )=−1i 0,1

,− → 1−i 2 ,−2 π 16 ,−2 π ×1=164In quanto −2 π=2 π=1Per trovare il risultato effettivo della potenza bisogna utilizzare laformula di De Moivre.nϑ+isin ¿cos nϑ ¿modulo ×Esempi più comuni :=−22 π &