Formulario di Algebra 1

Trasformazione lineare

Ker(T) = nucleo di T

Im(T), insieme di tutte le immagini dei vettori del dominio

Sottospazio e operazioni

Per qualunque sottospazio, si ha:

• Ker(T : Rⁿ = R^m )
• Ker(T) : {(x₁, x₂, x₃, x_n) ∈ Rⁿ | x₁ + 2x₃ + x₁ = 0}

_span (u₁, u_n)

A [m x n]

U è sottospazio di V, allora:

dim Ker(T) + dim Im(T)

Tipi di funzioni

• T : R^m
• Iniettiva
• Suriettiva
• Biettiva

Ker(T) = {0}

Im(A) = R

R è quadrata

R eq max

Ker(T) = {x ∈ Rⁿ | Ax = 0} ∈ Rⁿ

Im(T) = _span(u₁, ..., u_n) ∈ R^m

Spazio vettoriale

Spazio vettoriale sull'asse di A

Im (A^t) = _span (a₁, ..., a_m) ∈ Rⁿ

dim (Ker T) = n - 2

dim (Im T) = rg

dim (Ker T) = n - m

Im(A^t) = _span(a^-1, ..., a^m) ∈ R³

rg(A) = n

rg(A) = m

Determinanti e sistemi lineari

(1 2) (1 3)

(1 0 1) (2 1 0)

(0 1 0) (1 2 2)

Dimensione di _oppez T

Ker T = [(1)] (1 2 0)

SCHMBA _diniotta

_{p {1}} p

SCE &subscset;≠∅ allora

(T) = (im) (A)

1D * W = cov supset^V

Complemento ortogonale

H = W^-⊄(α+1)/ α (W) W^-

WE SI S : {y x₁, X₂, x₃, z substite= k^{[z]for homo}}

x : (_{x1, X2, ^s (x)⁺}(x₁, x₂,...)

Sistema lineare

Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema è compatibile SE rg(A) = SE

Condizione necessaria e sufficiente: distinguersi in una delle det(A) ≠ 0

Controimmagine del V se V ∊ Im(T)

(T ^x V)

(1 2 2)

(4 2 4)

(5 5 0)

(0 4 2)

SE = 2? T = Z^ye

Geometrie

Parallelismo

EQ. parametrica di rettia

• x = tk + x^a _O
• 2z = int/4y2t/x

A && t++ int = 1: ≤ reticolare^geom

PARS O ZA circ «»

Trasformazione lineare

span (u₁, u₂) ℝ^m

A [w x y z]

Funzioni iniettive, suriettive, biettive

• Iniettiva
• Suriettiva
• Biettiva

ker⁡(T)={0}

Im⁡(A)=ℝ^m

rg⁡(A)=m

n° rg max rg⁡(A)=n

rg (A)=m

dim (ker⁡T)=m-2

dim (Im⁡T)=rg

dim (ker⁡T)=m-n-2

Sistema lineare

Compatibile se rg⁡(A)=rg⁡(A*)!

Condizione necessaria e sufficiente affinché il rango della matrice sia massimo

Geometria

Parallelismo

Perpendicolarità

EQ. parametrica retta

• x = et + x_o
• y = wt + y
• z = ut + z

Retti per 2 punti

• x-x_o
• y-y_o
• z-z_o