Fondamenti di automatica
Un sistema dinamico a tempo continuo costituisce un modello matematico di un oggetto fisico il quale interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo t: le variabili di ingresso e le variabili di uscita.
Variabili di ingresso e uscita
Variabili di ingresso: rappresentano le azioni che vengono compiute sull'oggetto in esame da agenti esterni che ne influenzano il comportamento.
Variabili di uscita: rappresentano quanto del comportamento dell'oggetto stesso è di interesse.
Rappresentazione di stato
\(\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))\) equazione di stato (1.01)
y(t) = f(x(t), u(t)) trasformazione d’uscita (1.02)
L’equazione di stato è un’equazione differenziale, mentre la trasformazione d’uscita è un’equazione algebrica.
x(t) si dice movimento dello stato
y(t) si dice movimento dell’uscita
L’equazione di stato definisce in modo unico l’evoluzione dello stato x(t) per t > t0, in corrispondenza di ogni terna costituita da un istante iniziale t0, una funzione di ingresso u(t), t>t0, e una condizione iniziale x(t0) = x0.
Classificazione sistema dinamico
- Sistemi varianti o invarianti nel tempo: Un sistema si dirà invariante nel tempo se nella f o nella g non vi è presenza esplicita della t. Se invece è presente il tempo t, il sistema si dirà variante.
- Sistemi lineari o non lineari: Un sistema è lineare quando sia f che g sono lineari in x(t) e u(t). In questo caso potremo scrivere il sistema nella seguente forma: \(\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)\), y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t). Un sistema è non lineare se le equazioni del sistema non sono lineari e non assumono la forma sopra riportata.
- Sistemi propri e strettamente propri: Un sistema è strettamente proprio se la funzione g non dipende dall’ingresso u e avremo quindi y(t) = g(x(t)). Il sistema, altrimenti, si dice proprio.
- Sistemi monovariabili o multivariabili (SISO o MIMO): Un sistema è SISO (single input single output) quando è dotato di una sola variabile di ingresso u e una sola uscita y. Un sistema è MIMO (multi input multi output) altrimenti.
- Sistema autonomo: Un sistema è autonomo quando non esiste l’ingresso u.
Equilibrio
Per i sistemi stazionari di equazioni (1.01) e (1.02) soggetti a ingressi costanti u(t) = 𝜇, il movimento dello stato corrispondente, se esiste, è costante e lo stesso vale per il movimento d’uscita, anch’esso costante.
x(t) = ȳ
y(t) = ȳ
Gli stati di equilibrio devono soddisfare l’equazione x(t) = 0. Questa equazione può avere una, tante o nessuna soluzione, ma in ogni caso a ciascuna di esse corrisponde un’uscita di equilibrio ȳ calcolabile mediante la relazione.
Noto l’ingresso costante u(t) = 𝜇, t ≥ 0 e avendo il sistema LTI:
\(\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)\) (2.01)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (2.02)
dove LTI sta a intendere sistema dinamico lineare a tempo invariante, pongo \(\dot{x} = 0\) => Ax + B𝜇 = 0 => Ax = -B𝜇
Da ora in poi assumo . Ora dico che esiste se Det(A) ≠ 0 e se è vero che Det(A) ≠ 0 allora vuol dire che esiste un unico stato di equilibrio = -A-1B𝜇
ȳ = C + D𝜇 = -CA-1B𝜇 + D𝜇 = (-CA-1B + D)𝜇
Nel caso in cui Det(A) = 0 avremo due casi: o esisteranno ∞ e ∞ ȳ oppure nessuno dei due.
La matrice A è chiamata matrice dinamica del sistema LTI
La matrice B è chiamata matrice di ingresso
La matrice C è chiamata matrice di uscita
Formule di Lagrange
Noto x(0) = x0 e u(t)
Movimento libero dello stato
Movimento forzato dello stato
Movimento del...
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