Formulario corso Fondamenti di Automatica

Movimento dell’uscita:

Movimento libero dell’uscita Movimento forzato dell’uscita

5

Il movimento dello stato del sistema (dovuto a x(0)) dipende dagli

autovalori di A (s ) attraverso delle funzioni esponenziali.

i

e si chiama modo del sistema o modo di A o modo associato

st

all’autovalore s 6

Stabilità sistema LTI

Partendo dallo studio di e come si comportano gli elementi di questa

At

matrice che dipendono dai modi del sistema per t ≥ 0?

A —> n autovalori —> il generico autosalone lo chiameremo s

s può essere reale o complesso (s = + j).

1) se s è reale i modi del sistema valgono:

e —> se la molt.alg. = 1 o se molt.alg. > 1 e molt.alg. = molt.geom.

st

(t / k!) e —> se s ha molt.alg. > molt.geom. (k = m.a. - m.g.)

k st

2) se s è complesso i modi del sistema valgono:

t t

e cos , e sen —> se mot.alg. = molt.geom.

t t t t

(t / k!) e cos , (t / k!) e sen —> molt.alg. > molt.geom.

t t

k k

Criterio 1: un sistema LTI è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli

autovalori di A hanno parte reale < 0.

Criterio 2: un sistema LTI è instabile se almeno un autosalone di A

ha parte reale positiva.

Criterio 3: nel primo caso del reale e del complesso il sistema LTI è

semplicemente stabile.

Negli altri due casi, cioè se esistono autovalori con parte

reale nulla e molt.alg. ≥ molt.geom. allora diremo che se

molt.alg. = molt.geom. il sistema è semplicemente stabile,

altrimenti se molt.alg > molt.geom. il sistema sarà instabile. 7

Stabilità equilibrio sistema non lineare

Considerando il sistema linearizzato attorno alla condizione di equilibrio

,

(ū, ȳ) del sistema non lineare

1) Se A ha tutti gli autovalori con Re < 0 allora il sistema linearizzato è

,

asintoticamente stabile e allora stato di equilibrio, è

asintoticamente stabile per il sistema non lineare di partenza.

2) Se A ha almeno un autovalore con Re > 0 allora il sistema

linearizzato è instabile e allora è instabile anche per il sistema non

lineare.

3) In tutti gli altri casi non si può dire nulla sulle caratteristiche di

.

stabilità di 8

Stabilità e polinomio caratteristico sistemi LTI

Partendo da A e calcolando Det(s - A) otterremo:

s + p s + p s + … + p s + p

n n-1 n-2

1 2 n-1 n (s)

Ponendo questa uguale a zero ottengo = 0.

(s)

Possiamo scrivere come:

(s) = s + s + s + … + s +

n n-1 n-2

0 1 2 n-1 n

Se il sistema (2.01)(2.02) è asintoticamente stabile, allora i coefficienti

, i = 0, 1, …, n del polinomio caratteristico hanno tutti lo stesso segno

i

e sono diversi da zero.

Questa condizione è solo necessaria per sistemi con n > 2, mentre è

anche sufficiente per sistemi con n = 2.

Per avere una condizione necessaria e sufficiente per i sistemi n > 2 si

introduce il criterio di Routh.

Criterio di Routh

Partendo dal polinomio caratteristico

(s) = s + s + s + … + s +

n n-1 n-2

0 1 2 n-1 n

si costruisce la tabella di routh, una tabella con n-1 righe e una struttura

triangolare in quanto ogni due righe, con esclusione della prima se n è

pari, il numero di elementi diminuisce di uno.

Le prime due righe si costruiscono prendendo direttamente i coefficienti

del polinomio caratteristico: 9

Le righe successive alle prime due si costruiscono sulla base degli

elementi delle due righe precedenti e, avendo indicato con h , k e l gli

i i i

elementi di tre generiche righe consecutive si ha:

Il sistema (2.01)(2.02) è asintoticamente stabile se e solo se la tabella di

Routh relativa al suo polinomio caratteristico è ben definita e tutti gli

elementi della sua prima colonna sono diversi da zero e hanno tutti lo

stesso segno. 10

Trasformata di Laplace

f (t) —> F (s)

ℒ

F (s) = [f (t)] = ∫ f (t) e dt

-st

0 a ∞

Proprietà:

- è un operatore lineare

ℒ f F F

[f (t) + (t)] = (s) + (s)

1 2 1 2

- traslazione in s

ℒ [e f(t)] = F (s - a)

at

- derivazione in s

ℒ [t f(t)] = - (dF(s) / ds)

- ritardo in t

ℒ )]

[f (t - = e F(s)

-s

- derivazione rispetto a t

ℒ [ḟ (t)] = s F(s) - f(0)

Se avessi la trasformata della derivata seconda: s F(s) - s f(0) - ḟ(0)

2

- integrazione in t

ℒ [∫ f() d] = F(s) / s

0 a t 11

!

Antitrasformata di Laplace -1

F (s) —> f (t)

Nel tornare da F (s) alla funzione f (t) ci sono due teoremi che danno non

tutta la funzione f (t), ma informazioni puntuali su questa.

Teorema del valore iniziale

f (0) = lim sF(s)

s -> ∞

Se f (t) fosse discontinua in t = 0 allora il teorema mi restituirebbe f (0 ).

+

Teorema del valore finale

f (∞) = lim f (t) = lim sF(s)

t -> ∞ s -> 0 12

Sviluppo di Heaviside

Partendo da una trasformata razionale F(s) = N(s) / D(s) si vuole

dimostrare che è possibile antitrasformare quest’ultima.

Prendiamo come esempio:

In generale: 13

14

Trasformata di Laplace per equazioni differenziali

ẋ(t) = -x(t) + u(t) con u(t) = sca(t) e x(0) = 0

ℒ ℒ

[ẋ(t)] = [-x(t) + u(t)]

s X(s) - x(0) = - X(s) + (1/s)

—> X(s) = 1 / [s(s+1)]

Funzione di trasferimento

Partendo da:

ẋ (t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)

y (t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

e indicando con U(s), X(s) e Y(s) le trasformate di Laplace di u, x e y,

applico la trasformazione di Laplace alle equazioni.

s X(0) - x(0) = A X(s) + B U(s)

Y(s) = C X(s) + D U(s)

da cui risulta:

X(s) = (s - A) B U(s) + (s - A) x(0)

-1 -1

Y(s) = (C (s - A) B + D) U(s) + C (s - A) x(0)

-1 -1

Da queste è possibile vedere le componenti libere e forzate

rispettivamente del movimento dello stato e dell’uscita.

G(s) = C (s - A) B + D

La matrice p m: viene detta funzione di

-1

x

trasferimento. 15

Se avessimo condizioni iniziali nulle (x(0) = 0) allora:

Y(s) = G(s) U(s)

Per un sistema LTI la funzione di trasferimento sarà quindi:

G(s) = Y(s) / U(s) 16

Schemi a blocchi

Sono un metodo grafico per visualizzare modelli complessi.

Gli schemi a blocchi possono essere:

- In serie

Y (s) = G (s) U (s)

a a a

Y (s) = G (s) U (s)

b b b

Y(s) = G (s) Y (s) = G (s) G (s) U (s)

Da cui b a b a a

La funzione di trasferimento risulta:

G(s) = Y(s) / U(s) = G (s) G (s)

a b 17

- In parallelo

Y(s) = Y (s) + Y (s) = G (s) U (s) + G (s) U (s) = (G (s) + G (s)) U(s)

a b a a b b a b

La funzione di trasferimento risulta:

G(s) = Y(s) / U(s) = G (s) + G (s)

a b

- In retroazione

Y(s) = G (s) (U(s) - Y (s)) = G (s) (U(s) - G (s) Y(s))

a b a b

Per la valutazione della funzione di trasferimento del sistema bisogna

dividere in retroazione positiva e retroazione negativa: 18

Per quanto riguarda la retroazione negativa, la funzione di trasferimento

vale:

G(s) = Y(s) / U(s) = G (s) / (1 + G (s) G (s))

a a b

Per la retroazione positiva invece:

G(s) = Y(s) / U(s) = G (s) / (1 - G (s) G (s))

a a b 19

Cammini e cancellazioni

Un cammino è una linea continua che si crea partendo da una freccia e

muovendosi nello schema a blocchi lungo frecce e attraverso blocchi,

per finire ad un’altra freccia.

Cammini speciali:

- un cammino che parte da una freccia e termina alla freccia finale

senza toccare più di una volta la stessa freccia.

- un cammino che parte da una freccia e termina alla stessa freccia

senza toccare più di una volta le altre.

Per quanto riguarda le cancellazioni può capitare che nello studio della

stabilità ci si trovi a valutare stabile un sistema che non lo è.

Questo avviene se vi è presenza di cancellazioni ovvero semplificazioni

che possono potare all’eliminazione di un termine che, nel caso in cui

non fosse soggetto a queste, potrebbe risultare cruciale per l’analisi di

stabilità. 20

Stabilità dei sistemi in serie

Considerando un sistema in serie con due sottosistemi con funzione di

trasferimento rispettivamente pari a:

G (s) = N (s) / D (s) e G (s) = N (s) / D (s)

a a a b b b

La funzione di trasferimento sarà pari a:

Il denominatore, a meno di cancellazioni è quindi pari al prodotto dei

denominatori delle funzioni di trasferimento dei due sottosistemi.

Un sistema serie di due sottosistemi è asintoticamente stabile se e solo

se lo sono i due sistemi originari ovvero se i poli di G (s) e G (s) hanno

a b

parte reale negativa. 21

Stabilità dei sistemi in parallelo

Considerando gli stessi G (s) e G (s) del calcolo della stabilità per

a b

sistemi in serie otterremo:

Il denominatore, a meno di cancellazioni è quindi pari al prodotto dei

denominatori delle funzioni di trasferimento dei due sottosistemi.

Un sistema serie di due sottosistemi è asintoticamente stabile se e solo

se lo sono i due sistemi originari ovvero se i poli di G (s) e G (s) hanno

a b

parte reale negativa. 22

Stabilità dei sistemi in retroazione

Considerando gli stessi G (s) e G (s) del calcolo della stabilità per

a b

sistemi in serie otterremo:

I poli del sistema retroazionato non dipendono solo dai poli de due

sottosistemi G (s) e G (s).

a b

I poli del sistema complessivo (detti anche poli in anello chiuso) sono le

radici dell’equazione

D (s) + N (s) = 0 —> 1 + L(s) = 0

L L

Con D (s) = D (s) D (s)

L a b

N (s) = N (s) N (s)

L a b

L(s) = G (s) G (s)

a b

Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile se e solo se le radici

di queste equazioni hanno parte reale negativa.

Per i sistemi retroazionati positivamente valgono le stesse definizioni e

dovrò trovare i poli con:

D (s) - N (s) = 0 —> 1 - L(s) = 0

L L 23

Risposta allo scalino

Scrivendo la funzione di trasferimento come:

dove = guadagno

= pulsazione naturale dei poli

n

Ɉ (xi) = smorzamento dei poli

Ipotizzo G(s) asintoticamente stabile.

Possiamo scrivere la trasformata di Laplace come:

Y(s) = G(s) U(s) = G(s) / s

Caso 1 0 < Ɉ < 1 ovvero i due poli sono complessi coniugati

Antitrasformando Y(s) ottengo y(t).

L’uscita (è la risposta allo scalino) è oscillante smorzata verso il

.

guadagno

Il sistema si dice underdamped (sotto smorzato).

Caratteristiche:

• y(0)