Formulario Completo per l'esame di Metodi e Modelli Matematici della Fisica (Analisi Complessa+Funzionale)

R R→∞

0

n n

2πi

X X

2παi α

⇒ − ⇒

I e I = 2πi Res(f, z ) I = Res(z f, z )

j j

2παi

−

1 e

j=1 j=1 +∞

+∞ Z

Z oppure

Integrali del tipo:

• (α > 0)

I = f (x) sin αx dx

I = f (x) cos αx dx −∞

−∞ n

+∞

I Z Z

Pongo calcolo X

iθ iαz iαx

iαz iαz

−→

z = Re f (z)e dz = f (x)e dx = 2πi

f (z)e dz + Res(f e , z )

j

1 −∞

C

R j=1

2

| {z }

per Lemma Jordan

0

   

n n

Re Im

X X

iαz iαz

⇒ I(cos αx) = 2πi Res(f e , z ) I(sin αx) = 2πi Res(f e , z )

j j

   

j=1 j=1

+∞

Z con discontinua su

Integrali del tipo:

• f

I = f (x)dx R

−∞ +R

Z Z

I Z

Considero X

≡ + lim f (x)dx = 2πi Res(f, z )

+

f (z)dz f (z)dz

f (z)dz j

R→∞ 1

1 −R

C C

γ ε

R

2 2

| {z }

{z } {z }

| |

I

I I

1 2

π

Z

pongo iθ iθ iθ iθ

→

I : z = Re , dz = iRe dθ, I = i lim Re f (Re )dθ

1 1 svolgi il limite nell' integrale,

R→∞

0 vengono integrali di costanti.

0

Z

pongo ( è la singolarità su )

iθ iθ

iθ iθ → lim εe f (z + εe )dθ

I : z = z + εe , dz = iεe dθ, I = i z R

0

2 0 2 0

ε→0

π

n

X

⇒ − −

I = 2πi Res(f, z ) I I

j 1 2

j=1 +∞

Z

Integrali del tipo: ikx

• ∈

I = f (x)e dx (k R)

−∞ n

+∞

Z

I Z

Pongo calcolo X ikz

ikz ikx

iθ ikz

−→ + Res(f e , z )

f (z)e dz f (x)e dx = 2πi

z = Re f (z)e dz = j

1 −∞

C

R j=1

2

| {z }

per Lemma Jordan

0

( Se (uso la semicirconferenza superiore)

+

ikz

P

+2πi Res(f e , z ) k > 0

j

⇒ I = Se (uso la semicirconferenza inferiore)

−

ikz

P

−2πi Res(f e , z ) k < 0

j ∞

+∞ +∞

Z Z Z

Se è pari:

Relazioni utili: Se è dispari:

f f (x)dx = 2 f (x)dx f f (x)dx = 0

B B

−∞ −∞

0

Non scrivere solo "= 0 per il Lemma di Jordan": dimostra con dovute maggiorazioni perché è = 0.

B

NORME: 1 1

! !

n p p

b

Z

Discrete: Continue:

X p p

• ||~x || ≡ ||~x || ≡ |x | • ||f || ≡ |f | ||f || ≡ |f

|x | sup sup (x)|

dx

∞ ∞

p i p

i 1≤i≤n x∈[a,b]

a

i=0

SPAZI A POTENZA SOMMABILE:

Spazio delle successioni nite; Spazio delle successioni limitate; Spazio delle successioni convergenti a 0;

• ≡ • ≡ • ≡

l l l

∞

f 0 1

∞ ! p

Spazio delle successioni con norma -esima convergente: X p

• ≡ ≡ ∈ ⇐⇒ |x | ∞

l p ~x (x , x ...) l <

p 1 2 p i

i=0

Spazio delle funzioni limitate in ; Spazio delle funzioni continue in :

• ≡ • ≡ ||f ∞

L [a, b] C [a, b] [a, b] (x)|| <

∞ p,∞ p,∞

1

! p

b

Z

Spazio delle funzioni con norma -esima convergente: p

≡ ∈ ⇐⇒ |f ∞

• ≡ f f (x) L [a, b] (x)| dx <

L p

p p a ∞

+∞

Z Z

Vericare se appartiene allo spazio : (impropri)

p + p

∈ ⇒ |f ∞ ∈ ⇒ |f ∞

f L f L[R] (x)| dx < f L[R ] (x)| dx <

B p −∞ 0

INDIPENDENZA LINEARE:

Polinomi linearmente indipendenti se

• ⇐⇒

αP (x) + βP (x) + γP (x) + ... = 0 α, β, γ... = 0

1 2 3 i−1 · w

~

~v w

~ Ortonormalizzazione:

Ortogonalizzazione: per passare da base a : X i

i j

• {~v } { } − w

~ ~e =

w

~ w

~ = ~v j i

i i i i · || ||

w

~ w

~ w

~

j j i p

j=1

· · ·

~v w

~ ~v w

~ ~v w

~

Primi 3 vettori: 2 1 3 1 3 2

− − −

w

~ = ~v , w

~ = ~v w

~ , w

~ = ~v w

~ w

~

B B B

1 1 2 2 1 3 3 1 2

· · ·

w

~ w

~ w

~ w

~ w

~ w

~

1 1 1 1 2 2

b

Z

Se ho funzioni, passo da a : Prodotto scalare: indipendentemente da quale spazio

{f } {g } ·

f g = f (x)g(x)dx L [a, b]

i i i j p

a b

" #

2

∞ b +∞

±ax r

Z Z Z

e π 2

Relazioni utili: 2 2 b

−x ±ax −ax

n +bx+c +c

x e dx = n! xe dx = e dx = e

B B B 4a

2a a

−∞

0 a a

ordine dimensione

n←

TIPOLOGIE DI SPAZI: C ordine potenza sommabile

p←

SPAZIO VETTORIALE: Insieme dei vettori in cui è denita la somma e il prodtto scalare; n

∞ ∞

• Es. , , , l , L [a, b]

R C R p p

SPAZIO NORMATO: Spazio in cui ogni vettore ha denita la norma; np

n

• , l , L [a, b]

,

Es. C

C p p

∞

SPAZIO EUCLIDEO: Spazio in cui è denito il prodotto scalare; n n

• Es. , , l

R C 2

2 2

Spazio in cui ogni vettore ha denita una distanza da un altro vettore;

SPAZIO METRICO: n np

• Es. , , l , L [a, b]

C C p p

∞

SPAZIO DI BANACH: Spazio metrico completo, ossia con ogni successione di Cauchy convergente a un elemento; np

np

• ,

Es. C

R

SPAZIO SEPARABILE: Spazio che contiene un insime numerabile e denso. (Se è separabile, ammette una base ortonormale)

•

DISUGUAGLIANZE IMPORTANTI:

In spazi normati

: √

√ p

• ||x|| ||x|| ≤ • ||f ≤ − ||

p

< n||x|| (x)|| b a||f

∞ ∞ ∞

p p

1 1 1 1

! !

n n n

p q Z Z

Z 1 1

p q

Holder: Discreta Continua:

X

X X pk p p p

• • |f |f | |g|

x y < x y g|dx < dx dx p, q : + =1

k k k p q

k k k

1 1 1 1 1 1

! ! !

n n n

p p p Z Z Z

p p p

Continua:

Minkowksi: Discreta X X

X p p p p

|x | |x | |y | • |f |f | |g|

• + y < + g|dx < dx + dx

k k

k k

k k k

In spazi euclidei

: √

• ||f ≤ ||f || ||g|| • ||f || ≤ − ||

g|| b a||f

1 2 2 1 2

2 2

n n n b b b

Z Z Z

Cauchy-Schwartz: Discreta Continua:

X X X ¯ 2

2 2 2

• |x | |y | • |f | |g|

x̄ y < f gdx < dx dx

k k k k a a a

k k k

DELTA DI DIRAC: (

b

Z f (x ) a < x < b

La è un funzionale tale che 0 0

−

◦ f (x)δ(x x )dx =

δ 0 ∪

0 x < a x > b

0 0

a 1

Proprietà: n

• − −

= δ(−x) = δ(x) δ(x) = 0 x ) = g(x )δ(x x )

Bδ(x) Bδ(ax) Bx Bg(x)δ(x 0 0 0

|a| +∞

+∞ −

Z dk δ(x x )

n

X 0

ik(x−x ) 6

− e = (g(x ) = 0 g (x ) = 0)

x ) = Bδ(g(x))

Bδ(x 0 n n

0 0

|g

2π (x )|

n

−∞ −∞

b

Z

Integrali con la :

• δ(x) f (x)δ(g(x))dx

a

∞

Z −x

Es. I = e δ(cos(πx))dx

32

−

Calcolo la , la sommatoria comprende gli zeri di appartenenti a :

δ(g(x)) g [a, b]

B +∞ − −

π δ(x k 1/2)

1

X

0 ⇒

∈

⇒ = π δ(cos(πx)) =

k g (x ) = π sin πk +

cos(πx) = 0 x = k + Z,

n n

2 2 π

k=−2

k=−2

1 1

Se o sono zeri di , la va "tagliata a metà": −

a b g δ δ(g(a)) = δ(x a)

B 0

2 g (a) √

+∞ +∞

∞ ∞ ∞

3

Z Z Z

1 1 e

3 1 1 1

X X

−x −x −x

− − − −

=

I = +

e δ x + dx e δ x k dx + e δ x k dx

2π 2 π 2 2π π 2

3 32 32

− − −

k=−1 k=−1

2 {z }

| {z }

|

k=−2 k>−2 Z XZ

Sposto l'integrale sotto la sommatoria, calcolo l'integrale con la standard: X →

δ

B √

√ +∞ +∞

∞

3 3

Z

e 1 1 e 1 1

X X

−x −k−

− −

+ e δ x k dx = + e

I = 2

2π π 2 2π π

32

−

k=−1 k=−1

k=−1 k=−1

Calcolo la somma della serie (se o sono , uso le somme note):

∞

a b

B √

√ √

!

+∞

3 3 3

1

e 1 e 1 e e +1

X −k

√ √

e + e =

I = + + + e =

− −

2π 2π 1 1/e 2π e 1

π e π e

k=0 +∞ +∞

Z Z

La è un funzionale tale che

0 0 0

◦ − − −

δ f (x)δ (x x )dx = f (x)δ(x x )dx

0 0

−∞ −∞ 1

d

Proprietà: 0 0 0 0 0 0

• −δ − − − −

(x) = (−x) (x x ) = g(x )δ (x x ) g (x )δ(x x ) δ (g(x)) = δ(g(x))

Bδ Bg(x)δ B

0 0 0 0 0 dx g(x)

b b

Z Z d f (x)

Integrali con la : 0

0

• − δ(g(x))dx

f (x)δ (g(x))dx =

δ (x) dx g(x)

a a ∞

∞ ∞ 0

−

Z

Z Z ϕ(x) ϕ (x) ϕ(x) 1 ϕ(2)

d δ(x 2)

0 0

2 2 − − − −

− − δ(x 4)dx = dx = ϕ (2)

Es. I = ϕ(x)δ (x 4)dx = 2

dx 2x 2x 2x 4 16 2

0

0 0

. H DI HEAVISIDE: ( ≥

1 x 0

La è un funzionale tale che

◦ H H(x) = 0 x< 0 ( ≥

f (x) g(x) 0

Proprietà: 0 0

• −δ(x)

(x) = δ(x) + H(−x) = 1 H (−x) = H(g(x))f (x) =

BH BH(x) B B 0 g(x) < 0

b

Z

Integrali con la :

• H(x) f (x)H(g(x))dx

a

+∞ +2

Z Z (Considero l'intervallo