Formulario Completo per l'esame di Metodi e Modelli Matematici della Fisica (Analisi Complessa+Funzionale)

OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI: ( (

p 2 2

R = x = R cos θ

x + y

−iθ

iθ 2

≡ ≡ − · |z|

x + iy = Re z̄ x iy = Re z z̄ =

Bz B B B B

y y = R sin θ

θ = arctan x

n n inθ n

= R e = R (cos nθ + i sin nθ)

Bz √ √

√

θ θ

con

i (θ+2kπ)

n n ≤ ≤ −

n = z , z , ..., z z = + i sin (1 k n 1)

z = Re R cos

B n 1 2 k k k k

Ln 1 1

−iz −iz

z x+iy x iz iz −

(z) = ln(|z|) + i(θ + 2kπ) e = e = e (cos y + i sin y) cos z = (e + e ) sin z = (e e )

B B B B

2 2i

1 z + i

Ln

Ln Ln

p

p 2 2

− −i ± ± −

± + 2kπ arctan z =

z 1 + 2kπ arcsin z = iz 1 z

arccos z = z + B

B

B −

2i z i

FUNZIONI ANALITICHE: 2 2

∂ u

∂ u , allora è parte reale di una funzione analitica

Se hai una funzione tale che 2

• ∇ ≡ + = 0 u f = u(x, y) + iv(x, y)

u(x, y) u 2 2

∂x ∂y

. Z Z

∂u ∂u

cost oppure cost

−

v(x, y) = dx v(x, y) = + dy

∂y ∂x

Integrale lungo integrale lungo spezzata da a :

• ≡

γ z z

1 2

y

z x Z

Z Z Z 2

2 2 + i f (iy)dy

f (z)dz = f (z)dz = f (x)dx y

γ z x 1

1 1 {z }

| | {z }

z=x, dz=dx z=iy, dz=idy

Se circonda singolarità, spezza la curva in e :

• γ γ γ

1 2

Z Z I [integrale lungo spezzata] X

f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz = + 2πi Res(f, z )

j

γ γ γ

1 2

Il verso positivo è quello antiorario

antiorario.

z

Z 1 1

2 z

Relazioni utili: Ln Ln 2

− − −

dz = ( (z b) (z a))

B − − − z

(z a)(z b) b a 1

z 1

STUDIO SINGOLARITA'

:

Sviluppo in serie di Laurent centrata in (singolarità):

• f z

0 termini è singolarità eliminabile

 →

0 z

−1 0

+∞

+∞ 



se la parte principale ha termini è un polo

X

X X n

n n −

− − →

c (z z )

+

f (z) = c (z z ) = c (z z ) n z

n 0

n 0 n 0 0

termini è singolarità essenziale



−∞ −∞ 0 ∞ → z

 0

| {z }

{z }

| parte regolare

parte principale

Ordine polo: è l'esponente più alto della parte principale.

Se Laurent è dicile, calcola il limite in :

• z

0

è singolarità eliminabile

 →

l z

0



 è un polo

|f ∞ →

lim (z)| = z 0

z→z

0 è singolarità essenziale

 6 ∃ → z

 0

Ordine polo: è il più piccolo valore di per cui p

− 6

p lim f (z)(z z ) = l = 0

0

z→z

0

Può essere utile usare il teorema de l'Hopital

l'Hopital: ponendo , svolgo il limite p

−

z z = t lim t f (t + z )

0 t→0 0

Ordine polo: se è del tipo e se è uno zero di ordine per , è un polo di ordine per .

h(z) ⇒

f z p g z p f

0 0

g(z)

Calcolo Residui:

• 1. della serie di Laurent in (utile per singolarità essenziali);

Res(f, z ) = c z

−1

0 0

2. Se in ho un polo di ordine ,

z n

0 n−1

d

1 per

n

− ⇒ −

(f (z)(z z ) ) n = 1 Res(f, z ) = lim f (z)(z z )

Res(f, z ) =

0 0 0 0

n−1 z=z

−

(n 1)! dz z→z

0 0

3. Se è un polo semplice per e è del tipo h(z) h(z )

⇒ 0

z f f Res(f, z ) =

0 0 0

g(z) g (z )

0

4. Residuo all'innito: n

1 1 (relazione utile quando è dicile trovare

X

∞) −

∞) f , 0 Res(f, = Res(f, z )

Res(f (z), = Res i il residuo di una certa singolarità)

2

z z i=1

Per funzioni del tipo: studia separatamente e

z−π/2 π π

• ⇒ ∈

+ kπ (k Z)

cos z 2 2

Se sono poli di ordine è un punto di accumulazione per poli di ordine

π ∞

+ kπ n, z = n.

2

SERIE DI POTENZE:

Sviluppare in serie di Laurent in :

• z

0

(1) vedi in che dominio è richiesto (se o ), (2) raccogli e isola la parte con , (3) usa serie note.

|z − | −

z < a > a (z z )

0 0

1

1

1 uso la serie:

in : con

X X

2n n

−

|z| − |z|

= z f =

z = 0, < 1 f = = z

Es. < 1

0

2 2

− − −

z 1 1 z 1 z |z−1|<2

z }| { n

1 1 1 1 1 1 (−1)

in : X n−1

−

|z − (z 1)

Es. z = 1, 1| < 2 f = = = =

0

2 n+1

− − − − − −

z 1 (z 1)(1 + z) (z 1)(2 + z 1) z 1 2 1 + (z 1)/2 2

Calcolare Raggio di convergenza :

• R

a 1

1 criterio radice:

criterio rapporto: n+1 p

n |a |

= lim = lim n

R a R

n→∞ n→∞

n

Relazioni utili: n n n

1 1

k n

n+1 n k

−−−−→ −−−−→

+ 1)! = (n + 1)n! (n + 1) e =

= (n + 1)(n + 1) 1+

B(n B B B n+1

n n +1 e

n→∞ n→∞

n

Discutere convergenza della serie:

• converge puntualmente solo in

 →

0 z

0



 converge puntualmente converge uniformemente in

R = ∞ → ∀z ∈ −

[z k, z + k], k > 0

C, 0 0

converge puntualmente in converge uniformemente in , non converge in

 |z − | − |z − |

→ z < l, [z k, z + k] k < l z > l

l

 0 0 0 0

Criterio di Abel:

-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in

− −R −

z z = [z R, z + R),

0 0 0

-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in

− −

z z = +R (z R, z + R],

0 0 0

-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in

− ±R −

z z = [z R, z + R].

0 0 0

(Devo vedere manualmente cosa succede in e )

− −R −

z z = z z = +R

0 0

INTEGRALI COI RESIDUI:

+∞

Z

Integrali del tipo: con continua su

• I = f (x)dx f R

−∞ +R

Z

I Z

Considero X

≡ f (z)dz + lim f (x)dx = 2πi Res(f, z )

f (z)dz j

R→∞

1 −R

C

γ R

2 | {z }

| {z }

dimostro che tende a 0 I

}| {

z Riassumendo:

π

Z Z Z

1 π -pongo

|f |dz| ≤ −−−−→

f (z)dz < (z)| Rdθ = 0 iθ iθ

z = Re , dz = iRe dθ

k k−1

R R R→∞

1 1 -scrivo

C C 0 π iθ iθ

R

R R i Re f (Re )dθ

2 2 0

-uso disuguaglianza di Darboux

2π

Z

Integrali del tipo:

• I = f (cos θ, sin θ)dθ

0

 1 −1

cos θ = (z + z )

2

 I f (z)

 lungo la circonferenza di raggio (dove calcolo i residui).

Pongo iθ −1

1 ⇒ −i

−→ − I = dz R = 1

z = Re sin θ = (z z )

2i z

idz

 −

dθ =

 z

∞

Z

Integrali del tipo: con continua su

α +

• I = x f (x)dx f , (0 < α < 1)

R

0 n

2πi

-Metodo veloce: verica che x→∞ X

α+1 α

−−−−→ ⇒

x f (x) 0 I = Res(z f, z )

j

2παi

−

1 e

x→0 j=1

-Metodo completo (consigliato): n

R 0

I Z Z Z X

α α 2παi α

α

≡

z f (z)dz lim x f (x)dx + z f (z)dz + e lim x f (x)dx = 2πi Res(f, z )

j

R→∞ R→∞

C R

γ 0 R j=1

| {z } | {z }

| {z } 2παi

I −e I

I

2 π

Z 2π

Dimostro che pongo scrivo uso Darboux

iθ iθ α+1 iθ(α+1) iθ

→ → |I | −−−−→

I = 0, z = Re , dz = iRe dθ, i R e f (Re )dθ, < 0

2 2 k−α−1

R R→∞

0

n n

2πi

X X

2παi α

⇒ − ⇒

I e I = 2πi Res(f, z ) I = Res(z f, z )

j j

2παi

−

1 e

j=1 j=1 +∞

+∞ Z

Z oppure

Integrali del tipo:

• (α > 0)

I = f (x) sin &a