Formulario di Analisi Funzionale per l'esame di Metodi e Modelli Matematici per la Fisica

Norme e spazi vettoriali

Norme

1 1! !n p pbZDiscrete: Continue: X p p • ||~x || ≡ ||~x || ≡ |x | • ||f || ≡ |f | ||f || ≡ |f|x | sup sup (x)|dx ∞ ∞p i pi 1 ≤ i ≤ n x ∈ [a, b] ai=0

Spazi a potenza sommabile

• Spazio delle successioni finite
• Spazio delle successioni limitate
• Spazio delle successioni convergenti a 0

• ≡ • ≡ • ≡ l l l ∞f 0 1 ∞ ! p Spazio delle successioni con norma -esima convergente: X p • ≡ ≡ ∈ ⇐⇒ |x | ∞ l p ~x (x , x ...) l <p 1 2 p ii=0

Spazio delle funzioni

Spazio delle funzioni limitate in; Spazio delle funzioni continue in: • ≡ • ≡ ||f ∞ L [a, b] C [a, b] [a, b] (x)|| <∞ p,∞ p,∞

1! pbZ Spazio delle funzioni con norma -esima convergente: p ≡ ∈ ⇐⇒ |f ∞• ≡ f f (x) L [a, b] (x)| dx < L pp p a ∞+∞ Z Z

Verifica appartenenza allo spazio

Verificare se appartiene allo spazio: (impropri) p + p ∈ ⇒ |f ∞ ∈ ⇒ |f ∞f L f L[R] (x)| dx < f L[R] (x)| dx <B p −∞ 0

Indipendenza lineare

Polinomi linearmente indipendenti se • ⇐⇒ αP (x) + βP (x) + γP (x) + ... = 0 α, β, γ... = 0

1 2 3 i−1 · w~~v w~

Ortonormalizzazione

Ortogonalizzazione: per passare da base a: X ii j • {~v } { } − w~ ~e =w~ w~ = ~v j ii i i i · || ||w~ w~ w~j j i pj=1 · · ·~v w~ ~v w~ ~v w~

Primi 3 vettori: 2 1 3 1 3 2 − − −w~ = ~v , w~ = ~v w~, w~ = ~v w~ w~

B B B1 1 2 2 1 3 3 1 2 · · ·w~ w~ w~ w~ w~ w~1 1 1 1 2 2bZ

Prodotto scalare

Se ho funzioni, passo da a: indipendentemente da quale spazio {f } {g } · f g = f (x)g(x)dx L [a, b] i i i j pa b

Relazioni utili

• 2 2 b−x ±ax −axn +bx+c +cx e dx = n! xe dx = e dx = e
• B B B 4a 2a a−∞ 0 a a
• Ordine dimensione n ←

Tipologie di spazi

• Spazio vettoriale: Insieme dei vettori in cui è definita la somma e il prodotto scalare; n ∞ ∞ • Es. , , , l, L [a, b] R C R p p
• Spazio normato: Spazio in cui ogni vettore ha definita la norma; n pn • , l , L [a, b], Es. CC p p ∞
• Spazio euclideo: Spazio in cui è definito il prodotto scalare; n n • Es. , , l R C 22 2
• Spazio metrico: Spazio in cui ogni vettore ha definita una distanza da un altro vettore; n np • Es. , , l, L [a, b] C C p p ∞
• Spazio di Banach: Spazio metrico completo, ossia con ogni successione di Cauchy convergente a un elemento; np np • , Es. CR
• Spazio separabile: Spazio che contiene un insieme numerabile e denso. (Se è separabile, ammette una base ortonormale) •

Disuguaglianze importanti

In spazi normati: √√ p • ||x|| ||x|| ≤ • ||f ≤ − ||p< n ||x|| (x)|| b a||f ∞ ∞ ∞ p p 1 1 1 1! !n n np q Z Z Z 1 1 p q

Holder: Discreta Continua: XX X pk p p p • • |f |f | |g|x y < x y g|dx < dx dx p, q : + =1k k k p qk k k 1 1 1 1 1 1! ! !n n np p p Z Z Z p p p

Continua: Minkowski: Discreta X XX p p p p |x | |x | |y | • |f |f | |g| • + y < + g|dx < dx + dx k kk kk k k

In spazi euclidei: √• ||f ≤ ||f || ||g|| • ||f || ≤ − ||g|| b a||f 1 2 2 1 22 2 n n n b b bZ Z Z

Cauchy-Schwartz: Discreta Continua

X X X ¯ 22 2 2 • |x | |y | • |f | |g| x̄ y < f gdx < dx dxk k k k a a ak k k

Delta di Dirac

(bZ f (x) a < x < b La è un funzionale tale che 0 0 −◦ f (x)δ(x x )dx = δ 0 ∪0 x < a x > b0 0a 1

Proprietà: n • − − = δ(−x) = δ(x) δ(x) = 0 x ) = g(x )δ(x x ) Bδ(x) Bδ(ax) Bx Bg(x)δ(x 0 0 0 |a| +∞+∞ −Z dk δ(x x )nX 0ik(x−x ) 6 − e = (g(x ) = 0 g (x ) = 0)x ) = Bδ(g(x))Bδ(x 0 n n0 0|g2π (x )|n−∞ −∞bZ

Integrali con la delta di Dirac

• δ(x) f (x)δ(g(x))dxa ∞ Z −x Es. I = e δ(cos(πx))dx 32 − Calcolo la, la sommatoria comprende gli zeri di appartenenti a: δ(g(x)) g [a, b] B +∞ − −π δ(x k 1/2)1 X0 ⇒∈⇒ = π δ(cos(πx)) =k g (x ) = π sin πk +cos(πx) = 0 x = k + Z, n n2 2 πk=−2k=−21 1

Se o sono zeri di, la va "tagliata a metà"

−a b g δ δ(g(a)) = δ(x a) B 02 g (a) √+∞ +∞∞ ∞ ∞3 Z Z Z1 1 e3 1 1 1X X−x −x −x− − − −=I = +e δ x + dx e δ x k dx + e δ x k dx 2π 2 π 2 2π π 23 32 32− − −k=−1 k=−12 {z }| {z }|k=−2 k>−2 Z XZSposto l'integrale sotto la sommatoria, calcolo l'integrale con la standard: X