Formulario di Analisi Funzionale per l'esame di Metodi e Modelli Matematici per la Fisica

Z

Integrali con la :

• δ(x) f (x)δ(g(x))dx

a

∞

Z −x

Es. I = e δ(cos(πx))dx

32

−

Calcolo la , la sommatoria comprende gli zeri di appartenenti a :

δ(g(x)) g [a, b]

B +∞ − −

π δ(x k 1/2)

1

X

0 ⇒

∈

⇒ = π δ(cos(πx)) =

k g (x ) = π sin πk +

cos(πx) = 0 x = k + Z,

n n

2 2 π

k=−2

k=−2

1 1

Se o sono zeri di , la va "tagliata a metà": −

a b g δ δ(g(a)) = δ(x a)

B 0

2 g (a) √

+∞ +∞

∞ ∞ ∞

3

Z Z Z

1 1 e

3 1 1 1

X X

−x −x −x

− − − −

=

I = +

e δ x + dx e δ x k dx + e δ x k dx

2π 2 π 2 2π π 2

3 32 32

− − −

k=−1 k=−1

2 {z }

| {z }

|

k=−2 k>−2 Z XZ

Sposto l'integrale sotto la sommatoria, calcolo l'integrale con la standard: X →

δ

B √

√ +∞ +∞

∞

3 3

Z

e 1 1 e 1 1

X X

−x −k−

− −

+ e δ x k dx = + e

I = 2

2π π 2 2π π

32

−

k=−1 k=−1

k=−1 k=−1

Calcolo la somma della serie (se o sono , uso le somme note):

∞

a b

B √

√ √

!

+∞

3 3 3

1

e 1 e 1 e e +1

X −k

√ √

e + e =

I = + + + e =

− −

2π 2π 1 1/e 2π e 1

π e π e

k=0 +∞ +∞

Z Z

La è un funzionale tale che

0 0 0

◦ − − −

δ f (x)δ (x x )dx = f (x)δ(x x )dx

0 0

−∞ −∞ 1

d

Proprietà: 0 0 0 0 0 0

• −δ − − − −

(x) = (−x) (x x ) = g(x )δ (x x ) g (x )δ(x x ) δ (g(x)) = δ(g(x))

Bδ Bg(x)δ B

0 0 0 0 0 dx g(x)

b b

Z Z d f (x)

Integrali con la : 0

0

• − δ(g(x))dx

f (x)δ (g(x))dx =

δ (x) dx g(x)

a a ∞

∞ ∞ 0

−

Z

Z Z ϕ(x) ϕ (x) ϕ(x) 1 ϕ(2)

d δ(x 2)

0 0

2 2 − − − −

− − δ(x 4)dx = dx = ϕ (2)

Es. I = ϕ(x)δ (x 4)dx = 2

dx 2x 2x 2x 4 16 2

0

0 0

. H DI HEAVISIDE: ( ≥

1 x 0

La è un funzionale tale che

◦ H H(x) = 0 x< 0 ( ≥

f (x) g(x) 0

Proprietà: 0 0

• −δ(x)

(x) = δ(x) + H(−x) = 1 H (−x) = H(g(x))f (x) =

BH BH(x) B B 0 g(x) < 0

b

Z

Integrali con la :

• H(x) f (x)H(g(x))dx

a

+∞ +2

Z Z (Considero l'intervallo di integrazione in cui

2

− ≥

Es. I = ϕ(x)H(4 x )dx = ϕ(x)dx g(x) 0)

−∞ −2

Riscrivere funzioni come combinazione di : sfrutta le loro proprietà.

0

◦ δ, δ , H xδ(x)=0 xδ(x)=0

z }| { z }| {

Scrivere 00 0 0 0 00

|x| |x| − ⇒ |x| − − − ⇒ |x|

Es. = xH(x) xH(−x) = x H (x) +H(x) H(−x) x H (−x) = 2H(x) 1 = 2δ(x)

| {z } | {z } | {z }

−δ(x)

δ(x) 1−H(x)

Scrivere (funzione parte intera) X X

0 0

− ⇒ −

Es. [x] [x] = H(x k) [x] = δ(x k)

k∈Z k∈Z

SERIE DI FOURIER:

∞ ∞ +π +π +π

Z Z Z

1 1

1

X X

f (x) = c + f (x)dx c = f (x) cos nx dx s = f (x) sin nx dx

c cos nx + s sin nx c =

0 n n

n n 0 2π π π

−π −π −π

n=1 n=1

Se è pari Se è dispari La serie converge puntualmente e uniformemente a in

• • •

f s = 0 f c = 0 f (x) [−π, π]

n n −

+

f (x ) + f (x )

Se è discontinua in ma esistono i limiti in e , la serie converge puntualmente in a

− + 0 0

• ∈ ⇒

f x [−π, π] x x x

0 0

0 0 2

f (π) + f (−π)

Se la serie converge puntualmente in a

• 6 ⇒ ±π

f (−π) = f (π), 2

i

h

Coecienti di Fourier della derivata esima di : (k) k

• = (in)

k− f c f c [f ]

n n

Se ha derivate continue no all'ordine e la -esima , i coecienti decadono più velocemente di −k

• − ∈

f k 1 k L [−π, π] c , s n

1 n n

Serie di Fourier sviluppata in :

• (0, L)

∞ L L

Z Z

2πn 2 2πn

2πn 1

X

f (x) = c + c cos f (x)dx c = f (x) cos

x + s sin x c = x dx s = ...

0 n n

n 0 n

L L L L L

0 0

n=1

Relazione di Parseval

Parseval: Considerando due funzioni e con coecienti di Fourier e , si ha che

0 0 0

• f g c , c , s c , c , s

0 n n 0 n n

∞ ∞ ∞ ∞

+π +π

Z Z

Se

X X X X

0 0 0 2 2 2 2

−→ |f | |c | |s |

f (x)g(x)dx = 2πc c + π c c + π s s f = g (x)| dx = 2π|c + π + π

0 n n 0 n n

0 n n

−π −π

n=1 n=1 n=1 n=1

Per calcolare somme di serie trovate dai coecienti di Fourier

{z }

|

∞ ∞ !

Relazioni utili: (Fourier parte sempre da controlla l'indice della serie richiesta

X X − ⇒

a = a a n = 1, )

B n n 0

n=1 n=0 ∞

e calcola la somma di

), poni

se i coecienti si annullano per pari (ES. X

n − c

1 n = 2k + 1

n (−1)

B 2k+1

| {z } k=0

2k+1 −1=−2

(−1) ∞

e calcola la somma di

se i coecienti si annullano per dispari (ES. , poni X

n c

n (−1) + 1) n = 2k

B 2k

{z }

| k=1

2k

(−1) +1=2

n

cos nπ = (−1) sin nπ = 0

B B +π +π

Z Z

dx

In base esponenziale: Parseval:

X X

−inx

inx

• f (x) = f e f = e f (x)dx f (x)g(x)dx = 2π f g

n n n n

2π

−π −π

n∈Z n∈Z

TRASFORMATA DI FOURIER:

+∞ +∞

Z Z dk

La trasformata di è La trasformata di è tale che: ˆ

ˆ ˆ

−ikx ikx

◦ f (k)e

f (x) f (k) = f (x)e dx f f f (x) = 2π

−∞ −∞

+∞ +∞

Z Z dk

Teorema di Plancherel: ˆ

2

• |f (x)| dx = f (k) 2π

−∞ −∞ +∞

Z

Teorema di Convoluzione: Dato 0 0 0

• ≡ ∗ ≡ − ⇒

R(x) (F G) F (x x )G(x )dx R̂(k) = F̂ (k) Ĝ(k)

−∞

Proprietà: Se Se

ˆ ˆ

ika iax

• ⇒ ⇒ −

f (x) = g(x + a) f (k) = e ĝ(k) f (x) = e g(x) f (k) = ĝ(k a)

B B x

Z

dg(x)

Se Se

ˆ ˆ −1

n

⇒ ⇒

f (x) = f (k) = (ik) ĝ(k) f (x) = g(x)dx f (k) = (ik) ĝ(k)

B B

dx −∞

∞ ∞

Z Z

Se è pari: Se è dispari:

ˆ ˆ

f (x) f (k) = 2 f (x) cos(kx)dx f (x) f (k) = 2i f (x) sin(kx)dx

B B

0 0

+∞ +∞ n

Z Z d

Se Se

ˆ ˆ

−ikx −ikx

n n n

⇒ ⇒ δ(k)

f (x) = c f (k) = c e dx = 2πcδ(k) f (x) = x f (k) = x e dx = 2π(i)

B B n

dk

−∞ −∞

(

+∞ +

−ikx −

+2πiRes(f, z ) k > 0

Z

1 e

Se ˆ j

⇒

f (x) = f (k) = dx =

B −

2 2 2 2

x + a x + a −2πiRes(f, −

z ) k < 0

−∞ j

+∞ √

Z 2

Se 2 2 k

ˆ −

−ikx

x x

⇒

f (x) = e f (k) = e dx = πe

B 4

−∞ +∞ +∞ +∞

Z Z Z

Se è limitata:

ˆ ˆ −ikx −ikx |f ∞

∈ ⇒ | |f e dx = (x)| dx <

f (x) L [R], f (k) f (k)| = f (x)e dx < (x)|

B 1 −∞

−∞

−∞ −∞ | {z }

f (x)∈L [R]

1

d

Per trovare uso il metodo delle Derivate il calcolo dei Residui, gli integrali Gaussiani o una combinazione dei 3.

ˆ

• f (k) ,

dk 2

+∞ +∞

2 2 2

√ √

Z

Z 1 d d 1 k

2 2

2 2 2 k k

ˆ −ikx −ikx − −

2 x x

2 x ⇒ − −

Es. f (x) = x e f (k) = x e dx = e dx = π e = π e

4 4

2 2

−i dk dk 2 4

−∞ −∞

FUNZIONALI LINEARI: Z

Funzionali che convergono alla di Dirac: Se allora

◦ −

−−−→ − −−−−→

δ f δ(x x ) F (φ) = f (x)φ(x)dx φ(x )

n 0 n n 0

n→∞

n→∞ n→∞

R

Z Z dy

deve essere della forma: con tale che

• − − =1

f f (x) = np(n(x x )) p p(n(x x ))dx = p(y)

n n 0 0 n

R R

sin x

1

1

Funzioni utilizzate per (metti sempre il fattore di normalizzazione)

2

−x

√

• p(x) : e

B B

B 2

π(1 + x ) πx

π

Studiare convergenza debole di al variare del parametro

• F α :

n

Z 2 2

−n

α x

Es. F = n e φ(x)dx

n R  ≤

0 0 α< 1

2 2

−n x √

√ 

√

Z

Z ne

ne 

2 2

−n α−1

α−1 x α−1 √ −−−−→

φ(x)dx =

π πn φ(0)

F = n ne φ(x)dx = n π φ(0) α =1

n π n→∞

R

R  ∞ α> 1



| {z }

δ(x)

MATRICI: ∗ ∗ ∗

  



a a a a a a

11 12 13 11 21 31

Forma di una matrice : Matrice aggiunta: † ∗

† ∗ ∗ ∗

• × ≡ • ≡

a a a a a a

3 3 Â a = a

Â

21 22 23

  

 12 22 32 ji

ij

∗ ∗ ∗

a a a a a a

31 32 33 13 23 33



 



−

a λ a a

11 12 13

Autovalori: viene un'equazione e trovo i vari

ˆ −

• − ≡ a a λ a

det[ Â λ I] det = 0