Formulario di Analisi Complessa per l'esame di Metodi e Modelli Matematici per la Fisica

SERIE DI POTENZE:

Sviluppare in serie di Laurent in :

• z

0

(1) vedi in che dominio è richiesto (se o ), (2) raccogli e isola la parte con , (3) usa serie note.

|z − | −

z < a > a (z z )

0 0

1

1

1 uso la serie:

in : con

X X

2n n

−

|z| − |z|

= z f =

z = 0, < 1 f = = z

Es. < 1

0

2 2

− − −

z 1 1 z 1 z |z−1|<2

z }| { n

1 1 1 1 1 1 (−1)

in : X n−1

−

|z − (z 1)

Es. z = 1, 1| < 2 f = = = =

0

2 n+1

− − − − − −

z 1 (z 1)(1 + z) (z 1)(2 + z 1) z 1 2 1 + (z 1)/2 2

Calcolare Raggio di convergenza :

• R

a 1

1 criterio radice:

criterio rapporto: n+1 p

n |a |

= lim = lim n

R a R

n→∞ n→∞

n

Relazioni utili: n n n

1 1

k n

n+1 n k

−−−−→ −−−−→

+ 1)! = (n + 1)n! (n + 1) e =

= (n + 1)(n + 1) 1+

B(n B B B n+1

n n +1 e

n→∞ n→∞

n

Discutere convergenza della serie:

• converge puntualmente solo in

 →

0 z

0



 converge puntualmente converge uniformemente in

R = ∞ → ∀z ∈ −

[z k, z + k], k > 0

C, 0 0

converge puntualmente in converge uniformemente in , non converge in

 |z − | − |z − |

→ z < l, [z k, z + k] k < l z > l

l

 0 0 0 0

Criterio di Abel:

-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in

− −R −

z z = [z R, z + R),

0 0 0

-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in

− −

z z = +R (z R, z + R],

0 0 0

-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in

− ±R −

z z = [z R, z + R].

0 0 0

(Devo vedere manualmente cosa succede in e )

− −R −

z z = z z = +R

0 0

INTEGRALI COI RESIDUI:

+∞

Z

Integrali del tipo: con continua su

• I = f (x)dx f R

−∞ +R

Z

I Z

Considero X

≡ f (z)dz + lim f (x)dx = 2πi Res(f, z )

f (z)dz j

R→∞

1 −R

C

γ R

2 | {z }

| {z }

dimostro che tende a 0 I

}| {

z Riassumendo:

π

Z Z Z

1 π -pongo

|f |dz| ≤ −−−−→

f (z)dz < (z)| Rdθ = 0 iθ iθ

z = Re , dz = iRe dθ

k k−1

R R R→∞

1 1 -scrivo

C C 0 π iθ iθ

R

R R i Re f (Re )dθ

2 2 0

-uso disuguaglianza di Darboux

2π

Z

Integrali del tipo:

• I = f (cos θ, sin θ)dθ

0

 1 −1

cos θ = (z + z )

2

 I f (z)

 lungo la circonferenza di raggio (dove calcolo i residui).

Pongo iθ −1

1 ⇒ −i

−→ − I = dz R = 1

z = Re sin θ = (z z )

2i z

idz

 −

dθ =

 z

∞

Z

Integrali del tipo: con continua su

α +

• I = x f (x)dx f , (0 < α < 1)

R

0 n

2πi

-Metodo veloce: verica che x→∞ X

α+1 α

−−−−→ ⇒

x f (x) 0 I = Res(z f, z )

j

2παi

−

1 e

x→0 j=1

-Metodo completo (consigliato): n

R 0

I Z Z Z X

α α 2παi α

α

≡

z f (z)dz lim x f (x)dx + z f (z)dz + e lim x f (x)dx = 2πi Res(f, z )

j

R→∞ R→∞

C R

γ 0 R j=1

| {z } | {z }

| {z } 2παi

I −e I

I

2 π

Z 2π

Dimostro che pongo scrivo uso Darboux

iθ iθ α+1 iθ(α+1) iθ

→ → |I | −−−−→

I = 0, z = Re , dz = iRe dθ, i R e f (Re )dθ, < 0

2 2 k−α−1

R R→∞

0

n n

2πi

X X

2παi α

⇒ − ⇒

I e I = 2πi Res(f, z ) I = Res(z f, z )

j j

2παi

−

1 e

j=1 j=1