Formulario di Analisi Complessa per l'esame di Metodi e Modelli Matematici per la Fisica

Operazioni con i numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati nella forma z = x + iy, dove x e y sono numeri reali, e i è l'unità immaginaria. La rappresentazione polare di un numero complesso è z = R(cos θ + i sin θ), dove R è il modulo (|z|) e θ è l'argomento del numero complesso, calcolato come θ = arctan(y/x).

Il coniugato di un numero complesso z è indicato con z̅ e ha la forma z̅ = x - iy. Questo è utile per calcolare il modulo, dato che |z|² = z · z̅.

Le potenze dei numeri complessi possono essere calcolate utilizzando la formula di De Moivre: zⁿ = Rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)). Inoltre, le radici di un numero complesso possono essere espresse come R^(1/n)(cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)), con k che varia da 0 a n-1.

Per i logaritmi complessi, abbiamo ln(z) = ln(|z|) + i(θ + 2kπ), dove k è un intero. Questo rappresenta l'argomento multi-valuato del numero complesso.

Funzioni analitiche

Una funzione complessa f(z) è analitica se è differenziabile in ogni punto del suo dominio. Per una funzione f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), le condizioni di Cauchy-Riemann devono essere soddisfatte: ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Integrale lungo una curva

L'integrale di una funzione complessa lungo una curva γ è dato da: ∫_γ f(z) dz. Se la curva circonda una singolarità, il residuo contribuisce all'integrale con 2πi Res(f, z_j), dove Res indica il residuo della funzione al punto z_j.

Studio delle singolarità

Le singolarità di una funzione complessa possono essere classificate in diverse categorie:

• Singolarità eliminabili: se la parte principale della serie di Laurent è zero.
• Polo: se la parte principale ha un numero finito di termini non nulli.
• Singolarità essenziale: se la parte principale ha infiniti termini.

L'ordine di un polo è l'esponente più alto della parte principale. Se il calcolo della serie di Laurent è complesso, si possono utilizzare le formule dei residui per semplificare il problema.