Formulario completo Matematica Generale

E

Certo: p=1,

o = ∅

E

p=0,

Impossibile:

o Aleatorio: 0<p<1

o essere scomposto ulteriormente, cioè coincide con un punto dello

Semplice: quando non può

o Ω;

spazio è dato dal raggruppamento di eventi semplici.

Composto: quando

o

Dati due eventi A e B, essi si dicono

∩ = ∅

A B

incompatibili o disgiunti:

o ∩ ≠ ∅

A B

compatibili:

o ∪ = Ω

∩ = ∅ A B

A B

complementari: ,

o

Definizione classica di Laplace

f

=

p a condizione che tutti i casi siano equiprobabili

n

Proprietà fondamentali

( )

∅ =

p 0

( )

Ω =

p 1 f

≤ ≤ → ≤ ≤ → ≤ ≤

0 f n 0 1 0 p 1

n

()

( ) ( )

= = −

c

p A p A 1 p A

Definizione frequentista (Legge dei Grandi Numeri o Legge Empirica del Caso)

f

( ) lim

=

p A n

→ ∞

n

Legge della somma per eventi incompatibili

( ) ( ) ( )

∩ = ∅ → ∪ = +

A B p A B p A p B .

Legge della somma per eventi compatibili

( ) ( ) ( ) ( )

∩ ≠ ∅ → ∪ = + − ∩

A B p A B p A p B p A B .

Probabilità Condizionata

( )

∩

p A B

( ) =

p A \ B ( )

p B

Formulario di Matematica 5 /23

Legge del prodotto per eventi indipendenti (probabilità composta)

( ) ( ) ( )

→ ∩ = ⋅

p A B p A p B

A e B indipendenti .

Legge del prodotto per eventi non indipendenti

( ) ( ) ( )

→ ∩ = ⋅

p A B p A p B A

\

A e B non indipendenti .

Formula di Bayes

( ) ( )

⋅

p H p E \ H

( ) = i i

p H \ E ,

( ) ( )

∑

i n ⋅

p H p E \ H

i i

1

Distribuzione binomiale o di Bernoulli

 

n −

 

= k n k

p p q .

 

,

n k k

 

Speranza matematica o valor medio

∑ n

=

M ( X ) x p .

i i

1

Formulario di Matematica 6 /23

Goniometria

+ =

2 2

sin cos 1

x x π

sin x π

= ∀ ≠ +

tan x x k

cos 2

x

cos x π

= ∀ ≠

cot x x k

sin x π

1

= ∀ ≠

cot x x k

tan 2

x

α β α β α β

± = ∓

cos( ) cos cos sin sin

α β α β α β

± = ±

sin( ) sin cos cos sin

α β

±

tan tan

α β

± =

tan( ) α β

∓

1 tan tan

α α

−

1 cos

= ±

sin 2 2

α α

+

1 cos

= ±

cos 2 2

α α α

−

sin 1 cos

= =

tan α α

+

2 1 cos sin

α α α

=

sin 2 2 sin cos

α α α α α

= − = − = −

2 2 2 2

cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1

α

2 tan

α =

tan 2 α

− 2

1 tan



2 t

α =

sin 

+ 2

1 t  α

− 2 

1 t

α =

=

cos tan

t



+ 2 2

1 t 



2 t

α =

tan 

− 2

1 t  α

± tan

α =

sin α

+ 2

1 tan

1

α = ±

cos α

+ 2

1 tan

Formulario di Matematica 7 /23

Formule di Postaferesi

+ −

p q p q

+ =

p q

sin sin 2 sin cos

2 2

+ −

p q p q

− =

p q

sin sin 2 cos sin

2 2

+ −

p q p q

+ =

p q

cos cos 2 cos cos

2 2

+ −

p q p q

− = −

cos p cos q 2 sin sin

2 2

Formule di Werner

1 [ ]

( ) ( )

= + − −

cos sin sin sin

a b a b a b

2

1 [ ]

( ) ( )

= − − +

sin sin cos cos

a b a b a b

2

1 [ ]

( ) ( )

= + + −

cos cos cos cos

a b a b a b

2

Formulario di Matematica 8 /23

Angoli Noti

Rad Deg Sin Cos Tg Ctg

°

0 0 0 0

1 non esiste

π − +

6 2 6 2

° − +

15 2 3 2 3

12 4 4

π − +

2 2 2 2

°

22 30 ' − +

2 1 2 1

8 2 2

π 1 3 3

°

30 3

6 2 2 3

π 2 2

°

45 1 1

4 2 2

π 1

3 3

°

60 3

3 2

2 3

3 + −

2 2 2 2

π 67°

30 ' + −

2 1 2 1

8 2 2

5 + −

6 2 6 2

π ° + −

75 2 3 2 3

12 4 4

π °

90 0 0

1 non esiste

2

Formulario di Matematica 9 /23

Archi associati

Rad Sin Cos Tg Ctg

x cos x tan cot

x x

sin x

π − − − −

x cos x tan x cot x

sin x

π −

+ cos x

−

x tan cot

x x

sin x

− − −

x cos x

− tan x cot x

sin x

π − −

cos x

− − tan cot

x x

2 x sin x

π − cos x cot tan

x x x

sin x

2

π + − −

cos x − cot tan

x x x

sin x

2

3 −

π − cos x − cot tan

x x x

sin x

2

3 −

π + − −

cos x cot tan

x x x

sin x

2

Trigonometria

Triangolo qualsiasi

AREA

1 1 1

γ α β

= = =

S ab sin bc sin ac sin

2 2 2

= − − −

( )( )( )

S p p a p b p c

CORDE α

= 2 sin

AB r

SENI

a b c abc

= = = =

2 R

α β γ

sen sen sen 2 S

PROIEZIONI

γ β

= +

a b cos c cos

γ α

= +

b a cos c cos

β α

= +

c a cos b cos

CARNOT / COSENO α

= + −

2 2 2

a b c 2

bc cos β

= + −

2 2 2

b a c 2 ac cos γ

= + −

2 2 2

c a b 2 ab cos

Triangolo rettangolo

β γ

= =

b a sin a cos

γ β

= =

c a sin a cos

β γ

= =

b c tan c cot

γ β

= =

c b tan b cot

Formulario di Matematica 11 /23

Geometria analitica

Punto e Retta

= + + + =

; 0

y mx n ax by c

a c

= − = −

,

m n

b b

( ) ( )

, , ,

P x y P x y

1 1 1 2 2 2

( ) ( )

− = −

:

r y y m x x

P 1 1

1 = +

:

r y m x k

P fisso

// 1 1

1 − −

y y x x

=

1 1

:

r

P P − −

y y x x

1 2 2 1 2 1

⇔ =

//

r s m m

r s 1

⊥ ⇔ = −

r s m r m s

( ) ( )

2 2

= − + −

P P x x y y

1 2 1 2 1 2

+ +

ax by c

1 1

=

( , )

dist P r

1 +

2 2

a b

Formulario di Matematica 12 /23

Coniche

Circonferenza

γ + + + + =

2

x y ax by c

: 0

2 ( ) ( )

2 2

→ − + − = 2

C x y r x x y y r

( , );

0 0 0 0

γ

∈ ⇔ =

P x y PC r

( ' , ' )  a

= −

 x 0 2



 = −

a x

2 0 

 b

= − → = −

b y

2 y



 0

0 2



 = + −

2 2 2

c x y r

 

0 0 2 2

a b

= + −

 r c

 4 4

Parabola Ρ = + +

Ρ = + +

2 2

: :

y ax bx c x ay by c > → > →⊂

> → > → ∪

0 0

y k a x k a

0 0

=

=

( , ); : ( , ); :

F x y d y k F x y d y k

0 0 0 0 < → < →⊃

< → < → ∩

0 0

y k a x k a

0 0

∈ Ρ ⇔ =

∈ Ρ ⇔ =

( ' , ' ) ( , ) ( , ) ( ' , ' ) ( , ) ( , )

P x y dist P F dist P d P x y dist P F dist P d



 1 1 − ∆



 1

b =

=

a a



 =

= −

x x



 −

−

2 2 2 2

y k x k

0 0



 2 4

a a

0 0 

 

 − ∆  

 

x y

1 b

=

= = −

→

→ =

0 0

b b

y y

 

  0 0

−

− 4 2

k y a k x a

 

 

0 0 − − ∆

− − ∆  

  1 1

+ −

+ −

2 2 2 2 2 2

x y k x y k =

=

k k

 

  =

= 0 0 0 0

c c

4 a 4 a



 

 −

−

2 2 2 2

y k x k



 0 0

− ∆

− ∆  

 

b 1 1 b

−

−  

 

, ,

F F

2 a 4 a 4 a 2 a

 

  − − ∆

− − ∆

1 1

=

=

: :

d y d x

4 a 4 a

∆

∆

   

b b

− −

− −

   

V , V ,

2 a 4 a 4 a 2 a

   

b b

= − = −

A : x A : y

2 a 2 a

∆ = − ∆ = −

2 2

( b 4 ac ) ( b 4 ac )

Formulario di Matematica 13 /23

Ellisse

2 2 2 2

x y x y

Ε + = Ε + =

: 1 : 1

2 2 2 2

a b a b

( ) ( ) ( ) ( )

− −

F c F c F c F c

, 0 ; , 0 0

, ; 0

,

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − − −

A a B a C b D b A a B a C b D b

, 0 ; , 0 ; 0

, ; 0

, , 0 ; , 0 ; 0

, ; 0

,

( ) ( )

∈ Ε ⇔ + = ∈ Ε ⇔ + =

P x y PF PF a P x y PF PF a

' , ' 2 ' , ' 2

1 2 1 2

= − > > = − > >

2 2 2 2 2 2

b a c a c a b c b c

0

, 0

,

< <

b a a b

c c

= < = <

e e

1 1

a b

Iperbole

2 2 2 2

x y x y

Ι − = Ι − = −

: 1 : 1

2 2 2 2

a b a b

( ) ( ) ( ) ( )

− −

,

0 ; ,

0 0

, ; 0

,

V a V a V b V b

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

− ∈ − ∈

,

0 ; ,

0 0

, ; 0

,