Sviluppo di Maclaurin e Taylor
Sviluppo di Maclaurin
ex = 1 + x + x2⁄2! + x3⁄3! + ... + xn⁄n! + O(xn) x → 0
log(1+x) = x - x2⁄2 + x3⁄3 - x4⁄4 + ... + (-1)n xn⁄n + O(xm) x → 0
sin x = x - x3⁄3! + x5⁄5! - x7⁄7! + ... + (-1)n-1 x2n+1⁄(2n+1)! + O(x2n+1) x → 0
cos x = 1 - x2⁄2! + x4⁄4! - x6⁄6! + ... + (-1)n x2n⁄(2n)! + O(x2n+1) x → 0
sh x = ex - e-x⁄2 = x + x3⁄3! + x5⁄5! + ... + x2n+1⁄(2n+1)! + O(x2m+2)
ch x = ex + e-x⁄2 = 1 + x2⁄2! + x4⁄4! + x6⁄6! + ... + O(x2m+4)
(1+x)α = 1 + α x + α (α - 1)⁄2! x2 + α (α - 1)(α - 2)⁄3! x3 + ... + α⁄m xm + O(xn)
α⁄n = α (α-1)(α-2)...(α-n+1)⁄m!
α⁄m = α1⁄m!(m-n)!
Sviluppo di Taylor
∮a (x) = Σi=0n b(i) (x0)⁄i! (x-x0)i + Rn(x)
Serie
Condizione necessaria alla convergenza:
lim n→+∞ an = 0
Termini positivi:
an ≥ 0 del. n→+∞
∑n=0+∞an diverge a +∞ oppure converge
Serie geometrica:
∑n=0+∞ 1/r n 1 1+x +∞ |x| < 1 irregular lim → 1 |x| = 1
Serie armonica generalizzata:
∑n=0+∞ 1/nα +∞ n < 1 diverge n > 1
Criteri di convergenza
Criterio del confronto
0 ≤ an ≤ bn del.n→+∞ allora
- ∑n=0+∞ bn < +∞ allora ∑n=0+∞ an < +∞
- ∑n=0+∞ an = +∞ allora ∑n=0+∞ bn = +∞
Criterio del confronto asintotico
Se an > 0, bn > 0 del.n→+∞ lim n→+∞ an/bn = l ∈ ℝ , l ≠ 0
Criterio del rapporto
∑n=0 del.n→+∞ an +∞ 1
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