Riassunto Analisi 1 e 2

+

×

-

÷

Sviluppi di Maclaurin

• e^x = 1 + x + ^x2/_2! + ^x3/_3! + ... + ^xn/_n! + o(xⁿ) x → 0
• ln(1+x) = x - ^x2/₂ + ^x3/₃ - ... + ... o(xⁿ) x → 0
• sin x = x - ^x3/_3! + ^x5/_5! - ... + ... o(x²ⁿ⁺¹) x → 0
• cos x = 1 - ^x2/_2! + ^x4/_4! - ... + ... o(x²ⁿ) x → 0
• sinh x = e^x = ^x3/_3! + ^x5/_5! + ... o(x²ⁿ⁺¹)
• cosh x = ^x2/_2! + ^x4/_4! + ... o(xⁿ)
• (1+x)^α = 1 + α x + ^α(α-1)/_2! x² + ^{α(α-1)(α-2)}/_3! x³ + ... + ... α^xn/m! + o(xⁿ)

α = ^{α(α-1)(α-2)...(α-n+1)}/_m!

(α _n) = ^{α! x!}(α-n)!_(-n)!

Sviluppo di Taylor

Equazioni Differenziali

1^o ordine omogenee:

y'₁(x) = a(x) y(x)

Soluzione: y(x) = Ce^A(x)

1^o ordine non omogenee:

y'₁(x) = a(x) y(x) + b(x)

Soluzione: y(x) = Ce^A(x) + y₂(x)

• K(x) = -∫ b(c) e^-A(x) dx (v: A(x) = 0 )

1^o ordine metodo ad hoc:

y'(x) = a y(x) + b(x)

• a(x) costante, non dipende da x quindi è scritto come a b(x) polinomio/monomio...

Soluzione: y(x) = Ce^ax + y₂(x)

• b(x) polinomio:
• y₂(x) della forma di un polinomio dello stesso grado di b(x); Per ex:...
• b(x)= 3xⁿ → y₂(x) = a_nxⁿ + ...
• Sostituendo y₂(x), si trova b e y₂(x).
• N.B.: parametro esponenziale

• b(x) = A x cosx
• y₂(x) = a sin ... + b cos ... argomenti uguali...

TEOREMA DI CONVERGENZA PUNTUALE SULLA SERIE DI FOURIER

Sia f una funzione periodica regolare e bilatera su R, allora la serie di Fourier di f converge a se x è un punto di continuità allora

SERIE DI FOURIER IN FORMA COMPLESSA

₀ = _n +

= 2_n

SERIE IN FOURIER

a₀ = T ^{T _{T T}}

a_k = T ^{T _T} ( )_N

b_k = T ^{T _T}

T: periodo di f

INSIEME APERTO

Un insieme E