Formulario Algebra lineare e geometria

FORMULARIO

Esercizio 1)________

|(1,0,0,0)->(x1,x2,x3) | 1.1) eq. cart. di Ker(T),una base e la dimensione di Ker(T)

|(0,1,0,0)->(y1,y2,y3) | ( x1 y1 z1 l1 ) Step 1 : ridurre a scala.

|(0,0,1,0)->(z1,z2,z3) | T: | x2 y2 z2 l2 | Step 2 : scriv le eq. cart ker(t)(righe dv ci sn i pivots)

| ( x3 y3 z3 l3 ) Step 3 : porre i parametri liberi = alfa e beta

|(0,0,0,1)->(l1,l2,l3)

Step 4 : esplicitare le basi e scriverle . Step 5 : La dim del ker è pari al numero dei vettori nella base

1.2) eq. param di Im(t) una base e la dim di Im(t)

Step 1 : vado a prendere le colonne in T dove ci sono i pivot in T ridotta a scala xk qll è Im(t)

Step 2 : esempio : se ho due pivots in T ridotta a scala le basi di im(t) sono i vettori colonna

di T NON QUELLA RIDOTTA A SCALA !

Step 3 : l’eq. param. di Im(t) si fa facendo una combinzione lineare con i vettori colonna sopra

descritti. ESEMPIO a=alpha(x1)+beta(y1)

b=alpha(x2)+beta(y2) fino a quanti sono i pivot!io ho considerato

c=alpha(x3)+beta(y3) rango 2!

Step 4 : LA DIMENSIONE DI Im(T) = RANGO DI T

1.3) Dire se T è iniettiva e/o suriettiva . [ Se Rg(T)=5 Quindi quando si va da uno spazio più piccolo]

Step 1) Sia T : R^3 ----->R^5 [è SURIETTIVA ad uno più grande non si ha la suriettività . ]

Se Ker(T)=0 è INIETTIVA Se è INIETT+SURIETT è BIIETTIVA

1.4)L’immagine attraverso T del sottospazio U : x1+2x2-x4=0

Step 1 : Calcolare le basi di U Step 2 : Moltiplicare T (non ridotta) per le basi di U e mettere i

risultati come vettori colonna di una nuova matrice A

Step 3 : Determinare l’Immagine della matrice risultante (A) .(vedi punto 1.2)

1.5) eq. del complemento ortogonale di Im(t) |Step 1 : Moltiplicare le colonne dove c’era Im(t)

Step 2 : scrivere il sistema tra le equazioni | per x1 x2 x3 se va da r4 ad r3 ....

{x € R^3/<x;(1,-1,0)>=0}]

che vengono ( 2 se dimIm(t)=2) [(ImT)_|_=

1.6) L’eq. cart., una base e la dim del sottospazio W=Ker(T)intersecato(Ucapovolta)con U.

Step 1 : fare il sistema tra le eq.cart di Ker(T) e U e risolverlo esplicitando le basi .

Esercizio 2)

Step 1 : Scrivere la matrice completa (Ac) . Step 2 : Calcolare il determinante con Sarrus di (A)

Step 3 : Discutere i valori del parametro per cui il sistema diventa compatibile e determinato

Step 4 : Discuto i valori (andando a sostituire ) per cui il sistema mi diventa indeterminato o imp.

2.1) Step 5 : Sostituisco il valore che mi chiede nel risultato dello Step 3.

Esercizio 3) FORMULE:

F1) STELLA DI PIANI PASSANTE PER P(x0,y0,z0) = a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

F2) EQ. DI UNA RETTA PASSANTE PER P(X0,Y0,Z0) E Q(X1,Y1,Z1)=

[(X-X0)/(X1-X0)=(Y-Y0)/(Y1-Y0)=(Z-Z0)/(Z1-Z0)]

F3) STELLA DI RETTE DI CENTRO P(X0,Y0,Z0) DATO UN VETTORE DIRETTORE (l,m,n)=

[(X-X0)/(l)=(Y-Y0)/(m)=(Z-Z0)/(n)].

F4) FASCIO PROPRIO DI PIANI DI ASSE R (LIBRO)= (ax+by+cz+d)+k(a’x+b’y+c’z+d’)=0

F5) FASCIO IMPROPRIO DI PIANI (PIANI PARALLELI)= ax+by+cz+k=0

F6) CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITà TRA DUE RETTE = (L*L’)+(M*M’)+(N*N’)=0

alpha :ax+by+cz+d=0 =>

F7) SCRIVERE LA RETTA PER P(X0,Y0,Z0) |

{x=x0+mu(a);y=y0+mu(b);z=z0+mu(c)}

{x=x0+mu(x1-x0);y=y0+mu(y1-y0);z=z0+mu(z1-z0)}

F7)SCRIV LA RETTA PER P E Q =>

F7) SCRIVERE UN PIANO PER P(X0,Y0,Z0) | ALLA RETTA R(l,m,n)=> l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0.

F8) FASCI PROPRI DI RETTE (rette complanari passanti per un punto P)=> intersez tra libro e piano

F9) FASCI IMPROPRI DI RETTE => intersez tra un fascio improprio di piani con un’altro piano nn ap.

F10)DISTANZA P(X0,Y0,Z0)--Q(X1,Y1,Z1) => RADICEQUADRATA[(X1-X0)^2+(Y1-Y0)^2+(Z1-Z0)^2]

r :

F11)DISTANZA P(X,Y,Z)--r(l,m,n) => risolvere il sistema tra r ed il piano passante per P e |

[r ; l(x-x0)+m(y-y0)-n(z-z0)=0]

F12)DISTANZA P(X0,Y0,Z0)--alpha(ax+by+cz+d) => [(|ax0+by0+cz0+d|)/Radquad(a^2+b^2+c^2)]

F13)DISTANZA alpha-beta=> Step 1: prendo 1 pt P di alpha,faccio la dist P-beta(F12)sse alpha//beta