Formulario Algebra lineare e geometria

Formulario

Esercizio 1

1.1) Eq. cart. di Ker(T), una base e la dimensione di Ker(T)

• (1,0,0,0) -> (x1, x2, x3)
• (0,1,0,0) -> (y1, y2, y3)
• (0,0,1,0) -> (z1, z2, z3)
• (0,0,0,1) -> (l1, l2, l3)

T:

( x1 y1 z1 l1 )
( x2 y2 z2 l2 )
( x3 y3 z3 l3 )

1. Ridurre a scala.
2. Scrivere le eq. cart. ker(t) (righe dove ci sono i pivots).
3. Porre i parametri liberi = alfa e beta.
4. Esplicitare le basi e scriverle.
5. La dimensione del ker è pari al numero dei vettori nella base.

1.2) Eq. param di Im(T), una base e la dimensione di Im(T)

1. Vado a prendere le colonne in T dove ci sono i pivot in T ridotta a scala, quelle sono Im(T).
2. Esempio: se ho due pivots in T ridotta a scala le basi di Im(T) sono i vettori colonna di T NON QUELLA RIDOTTA A SCALA!
3. L’eq. param. di Im(T) si fa facendo una combinazione lineare con i vettori colonna sopradescritti.
   • Esempio: a=alpha(x1)+beta(y1)
   • b=alpha(x2)+beta(y2) fino a quanti sono i pivot!
   • Io ho considerato c=alpha(x3)+beta(y3), rango 2!
4. La dimensione di Im(T) = rango di T.

1.3) Dire se T è iniettiva e/o suriettiva.

[Se Rg(T)=5 quindi quando si va da uno spazio più piccolo]

1. Sia T : R³ -----> R⁵ [è SURIETTIVA ad uno più grande non si ha la suriettività].
2. Se Ker(T)=0 è INIETTIVA.
3. Se è INIETT+SURIETT è BIIETTIVA.

1.4) L’immagine attraverso T del sottospazio U: x1+2x2-x4=0

1. Calcolare le basi di U.
2. Moltiplicare T (non ridotta) per le basi di U e mettere i risultati come vettori colonna di una nuova matrice A.
3. Determinare l’immagine della matrice risultante (A). (vedi punto 1.2)

1.5) Eq. del complemento ortogonale di Im(T)

1. Moltiplicare le colonne dove c’era Im(T).
2. Scrivere il sistema tra le equazioni per x1, x2, x3 se va da R⁴ ad R³.
3. {x € R³ / <x; (1, -1, 0)> = 0} che vengono (2 se dimIm(T)=2).

1.6) L’eq. cart., una base e la dimensione del sottospazio W=Ker(T) intersecato (U capovolta) con U

1. Fare il sistema tra le eq. cart. di Ker(T) e U e risolverlo esplicitando le basi.

Esercizio 2

1. Scrivere la matrice completa (Ac).
2. Calcolare il determinante con Sarrus di (A).
3. Discutere i valori del parametro per cui il sistema diventa compatibile e determinato.
4. Discutere i valori (andando a sostituire) per cui il sistema diventa indeterminato o impossibile.

Esercizio 2.1

1. Sostituire il valore che mi chiede nel risultato dello Step 3.

Esercizio 3

Formule

• F1) Stella di piani passante per P(x0, y0, z0) = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
• F2) Equazione di una retta passante per P(X0, Y0, Z0) e Q(X1, Y1, Z1)=[(X-X0)/(X1-X0)=(Y-Y0)/(Y1-Y0)=(Z-Z0)/(Z1-Z0)]
• F3) Stella di rette di centro P(X0, ...)