Fondamenti di telecomunicazioni - esercizi

Risposta impulsiva, spettri e conversione

• Risposta impulsiva rete lineare e legame con la funzione di trasferimento
• Spettri di fase e di ampiezza di un impulso rettangolare
• Calcolare lo spettro di un segnale PAM con codice AMI
• Descrivere i 3 passi della conversione A/D
• Protocollo ALOHA: espressione del throughput normalizzato
• Esercizio dei 100000 flussi
• Condizione necessaria e sufficiente perché la funzione x(t) assuma i valori x₀ (...) + completamento
• Spettri di fase e di ampiezza di un'oscillazione modulata a prodotto
• CSMA-CD: espressione del throughput in funzione del parametro a
• Conversione D/A
• Segnali PAM: definizione e calcolo dei due spettri
• Modulazione/demodulazione a prodotto e modulazione QAM. Formula di Carson
• Funzione di trasferimento e caratteristiche di ampiezza e fase di una rete RC
• Esercizio codice polinomiale
• Esercizio sulla trasmissione e probabilità
• Risposta impulsiva rete lineare e legame con la funzione di trasferimento
• Spettri di fase e di ampiezza di un impulso rettangolare
• Calcolare lo spettro di un segnale PAM con codice AMI
• Descrivere i 3 passi della conversione A/D
• Protocollo ALOHA: espressione del throughput normalizzato
• Esercizio dei 100000 flussi
• Condizione necessaria e sufficiente perché la funzione x(t) assuma i valori x₀ (…) + completamento
• Spettri di fase e di ampiezza di un'oscillazione modulata a prodotto
• CSMA-CD: espressione del throughput in funzione del parametro a
• Conversione D/A
• Segnali PAM: definizione e calcolo dei due spettri
• Modulazione/demodulazione a prodotto e modulazione QAM. Formula di Carson
• Funzione di trasferimento e caratteristiche di ampiezza e fase di una rete RC
• Esercizio codice polinomiale
• Esercizio sulla trasmissione e probabilità

Operazione di campionamento

I valori X_n = X(t_n) sono detti valori campionati, gli istanti di lettura t_n istanti di campionamento e T = ¹/_f frequenza di campionamento.

La successione dei valori campionati costituisce serie temporale X_n = X(nT), n = ..., -1, 0, 1, ...

Ricostruzione della forma d'onda

Quando la conoscenza dei soli valori campionati consente di ricostruire l'intera forma d'onda?

Senza condizioni, mai.

Osserviamo però che, in virtù di:

X_s(ω) = ¹/_T ∑ X(ω - kω₀)

La conoscenza dei valori campionati equivale a quella della ripetizione periodica della trasformata X(ω) di X(t) con periodo ω₀ = ^2π/_T.

La trasformata di X(ω) si può vedere in modo come in figura, avendo ω_m la massima pulsazione a cui è avvevabile lo spettro di X(t).

Come si vede bene, la conoscenza della ripetizione periodica di X(ω) non consente in genere di risalire a X(ω) e quindi a X(t). È sufficiente che i diversi termini di X(ω + kω₀) occupino bande distinte per poter risalire da X_s(ω) a X(ω).

Tale situazione avviene quando ω_m ≤ ω₀ - ω_m,   ω₀ ≥ 2ω_m.

Riferendoci alle frequenze f₀ ≥ 2f_m.

In conclusione, quando la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della massima frequenza di X(t), la conoscenza dei valori campionati individua in maniera unica la funzione originaria.

Risposta impulsiva di una rete lineare

Ricavare la risposta impulsiva di una rete lineare e legare con la funzione di trasferimento di una rete lineare

Risposta impulsiva di una rete lineare:

h(t) = lim Δ→0 y(t)

La risposta impulsiva consente di esprimere l'uscita della rete quando al suo ingresso è presente un generico segnale x(t).

Date x(t) = ∫_-∞^+∞ x(ζ) δ(t - ζ) dζ come ingresso, la sua risposta è ∫_-∞^+∞ x(ζ) h(t - ζ) dζ.

Quindi la rete Q risponde con:

y(t) = ∫_-∞^+∞ x(ζ) h(t - ζ) dζ = x(t) * h(t)

Legame con la funzione di trasferimento

Com'è legato alla funzione di trasferimento?

Passiamo dai tempi alle frequenze, quindi:

ℑ{y(t)} = H(ω) ℑ{D(t;Δ)}

Passiamo ai limiti per Δ→0:

ℑ{y(t)} → ℑ{h(t)}

H(ω) = ℑ{h(t)} = ∫_-∞^+∞ h(t)e^-jωt dt

ℑ{D(t;Δ)} → 1

O anche:

h(t) = ℑ^-1{H(ω)} = 1/2π ∫_-∞^+∞ H(ω) e^jωt dω

Spettri di un impulso rettangolare

Calcolare e disegnare gli spettri di fase e di ampiezza di un impulso rettangolare di ampiezza e durata T.

Funzione discreta nei valori, tempo continuo e periodica.

Trasformata di Fourier:

X(ω) = ∫ x(t)e^-jωtdt = = A ∫ e^-jωtdt = AR

Ricordando che:

V(ω) = |X(ω)| spettro d'ampiezza

ψ(ω) = arg X(ω) spettro di fase

Otteniamo:

ψ(ω) = { 0, X(ω) >= 0; π, X(ω) arctg(b/a) con a + jb numero complesso.

In questo caso a = A e b = 0.

Due casi distinti.

Se a > 0 -> arctg(b/a).

a arctg(b/a) + π

Spettro di un segnale PAM con codice AMI

Calcolare lo spettro di un segnale PBN con codice AMI, cioè l'inversa prima dell'AMI, codice equiprobabile, unipolare, rettangolare di ampiezza unità con duty-cycle 1/2.

Codice AMI: E[a_n] = 0

C₀ = E[a_n²] = 1/2

C_k = 0, k > 2

C₁ = E[a_n a_n+1] = -1/4

Siccome E a valor medio nullo → abbiamo un solo spettro di potenza G_s(w).

G_n(w) = ¹/_π |G(w)|² { ^sin2(ncT₀)/_(ncT0)² - [d(2nT₀)^+∞_-∞] + 2 ^∞Σ_-∞ [d_{an an+τ} + d_{an an+1}] cos ωτ }

Sostituiamo i valori del codice AMI (x vale solo 1):

G_s(w) = ¹/_π |G(w)|² [ ¹/₂ - 0 + 2 [ -¹/₄ ] cos ωτ ] == ¹/_π |G(w)|² ( ¹/₂ - ¹/₂ cos ωτ ) == ¹/_π |G(w)|² sin² ωτ/₂

|G(w)|² = ?

X(t): impulso di durata T/₂ e ampiezza 1.

X(ω) = ∫^∞_-∞ X(t)e^-jwtdt == ∫^T/4_-T/4 e^-jwtdt == -1 ∫^T/4_-T/4 e^-jwtdt =

G(w) = -T/₂ ^{sinc wt}/_wt

|G(w)|² = T/₄ ( ^{sin ωτ/₄}/_ωτ/4 )²

In conclusione:

G_s(w) = T/_4π ( ^{sin ωτ/₄}/_ωτ/4 )² sin² ωτ/₂

Conversione A/D

1. Campionamento del segnale

Frequenza del campionamento f_o viene presa superiore del doppio della massima frequenza del segnale.

Il risultato di questa operazione è una discretizzazione sull'asse dei tempi, alla funzione x(t) viene sostituita la serie temporale {x_n} i cui valori campionati sono x_n = x(nT).

2. Quantizzazione dei livelli campionati

Con questa operazione, l'intervallo di variabilità (-M, +M) della funzione X(t) viene suddiviso in L intervalli di quantizzazione e tutti i valori X_n interni a ciascuno di questi vengono identificati con uno di questi (q_m).

La funzione q_n = F(x_n) è suscettibile di L livelli.

3. Codifica dei valori campionati & quantizzati

Con questa operazione, ciascuno dei valori campionati e quantizzati che formano {q_n} viene codificato con una parola di m bit chiamata parola di codice, essendo m il più piccolo intero per cui vale m ≥ log₂ L.

Il segnale numerico così ottenuto viene anche chiamato segnale PCM (PULSE CODE MODULATION).

Protocollo ALOHA

Siano b = lunghezza in bit di ogni pacchetto.

λ = frequenza dei pacchetti trasmessi con successo.

λ_t = frequenza di pacchetti ritrasmessi.

λ = λ_t

Throughput: P' = bλ

Traffico totale: G = bλ_t

R = capacità del canale in bit/s.

Throughput norm. = ρ = ^bλ/_R

Traffico totale norm. = G = ^bλ_t/_R

Definiamo τ = ^b/_R tempo trasmissione di un pacchetto.

ρ = λτ

G = λ_tτ

Un utente trasmette con successo se nessuno trasmette nei T secondi successivi e nessuno è stato emettito nei T secondi precedenti.

Ho una finestra di conteggio di 2T.

Probabilità che io trasmetta solo io? Ogni trasmissione indipendente -> approssimazione della distribuzione di Poisson.

P_s = Prob(X = 0) = e^-λ_t2T

Per definizione, P_s = ^λ/_λt, per cui ho:

λ = λ_te^-λ_t2T

ρ = Ge^-2G

Massimo valore di ρ è ¹/_2e per valore di G = 0.5.

Esercizio dei 100000 flussi

1) 30 pacchetti/minuto ➝ 0.5 pacchetti/secondo.

10000 flussi. 0.5 pacchetti/secondo ➝ 5000 pacchetti/secondo in media (λ).

f_D(t) = (μ - λ)e^-(μ-λ)t ➝ F_D(t) = 1 - e^-(μ-λ)t ≥ 0.95

1 - e^-(μ-λ)t ≥ 0.95

e^-(μ-λ)t ≤ 0.05

(μ - λ)t ≥ 3

μ ≥ 3/0.001 ➝ λ = ₅₀₀₀₀/¹⁰⁰⁰⁰ = 50000 pacchetti/secondo.

2)

A₀ = _λ/^μ = ₅₀₀₀₀/⁵³⁰⁰⁰ = 0.94

P(M_k-N+2) = (1 - A₀)(A₀)^K+2 ≤ 10^-6

_{1 - A0} /^{1 - A₀K+2} ≤ 10^-6

(0.06)(0.94)^K+2 / 1 - 0.94 ≤ 10^-6

Tentativi:

• K = 150 ➝ 5.25 ·10^-6 ≤ 10^-6 NO!
• K = 145 ➝ 1.12 ·10^-6 ≤ 10^-6 NO!
• K = 147 ➝ 9.88 ·10^-7 ≤ 10^-6 SÌ!!

Condizione necessaria e sufficiente

Esprimere nel dominio delle frequenze che condizione necessaria e sufficiente perché una funzione X_n = X(nT); n = 0; per n ≠ 0.

X_n = X(nT); n ≠ 0.

X_n = _X(nT) = ^{X₀ + 0; n = 0}

La trasformata di Fourier di X_s è:

X_s(ω) = ∑_nX_ne^jTωn = X₀

Ricordando che la trasformata X(ω) è legata a X_s(ω) dalla relazione:

Risulta:

X_s(ω) = ¹/_T ∑^∞_-∞ X(ω + k^2π/_T)

Da cui:

X₀ = ¹/_T ∑^∞_k X(ω + k^2π/_T)

X_0T = ∑^∞_k X(ω + k^2π/_T)

Per l’unicità della trasformata, questa è condizione necessaria e sufficiente (vedi completamento).

Oscillazione modulata a prodotto

Sia S(t) oscillazione modulata.

S(t) = x(t)ω₀ωt

Come prodotto di X(t) [segnale modulante]:

X(t) = ∫_ωm^ω_MV(iω)cos[ωt - Φ(ω)]dω

E oscillazione portante:

V₀(t) = cosωt

Nella forma di X(t) ci sono spettri di ampiezza V(ω) e di fase Φ(ω) del segnale modulante V(ω) Φ(ω).

La S(t) diventa:

S(t) = cosωt ∘ ∫_ωm^ω_MV(iω)cos[ωt - Φ(ω)]dω = ∫_ωm^ω_MV(iω)cosωt⋅cos[ωt - Φ(ω)]dω == ∫_ωm^ω_M[V(iω)cos[(ω₀ + ω)t - Φ(ω)]dω] ++ ∫_ωm^ω_MV(iω)cos[(ω₀ - ω)t + Φ(ω)]dω = S_s(t) + S_i(t)

S(t) = S_s(t) + S_i(t)

Spettri di ampiezza e di fase di S_s(t) e S_i(t) ← S_s(t) ← S_i(t).

Spettri di fase e ampiezza comprendono 2 bande laterali a cavallo di w₀:

• Quelle relative alla banda laterale superiore si ottengono per traslazione in alto di w₀ degli spettri di X(t).
• Quelle relative alla banda laterale inferiore si ottengono con una traslazione in alto di w₀ degli spettri di X(t) e un ribaltamento attorno alla pulsazione w₀ e, solo per lo spettro di fase, un cambiamento di segno.

Spettro di ampiezza di s(t).

CSMA-CD

N stazioni uguali.

Ogni stazione trasmette con probabilità P.

2 tipi intervalli di tempo:

• Intervallo di trasmissione di durata ¹/_2W slot.
• Intervallo di contesa, dato da una sequenza di slot con collisione o nessuna trasmissione.

Theorouput: percentuale di tempo speso per gli intervalli di trasmissione.

A = probabilità di avere una sola trasmissione di una stazione in un certo time slot.

A = ^(N/_i)Pⁱ(1-P)^(N-i) = NP_iP^(N-i) (Massimo per P = ^d/_N)

A = (^(N-1)/_i)_N

Determiniamo la lunghezza media in slot dell'intervallo di contesa w.

E[w_s] = σ^N_i=1 i C_(i-1)Aⁱ =

L'utilizzazione massima sarà:

S = ^1/_2W/_{(¹/2W + ^1-A/A)} = ¹/_{(1 + 2^1-A/A)}

Decodificazione e conversione D/A

Riprendo i valori campionati e quantizzati. Siccome la quantizzazione non è reversibile, la serie, a meno dell'errore dovuto alla quantizzazione, la decodificazione rende disponibile il segnale.

S(g) = Σ_n=-∞^∞x(.nT) g(.-nT)

Ricostruzione di X(g) a partire dal segnale PAM corrispondente.

La trasformata di s(. Siccome il campionamento è avvenuto con fc. Perciò, per estrarre il termine di S(.G(.

Per ottenere x(t) basta far passare il segnale in una rete equalizzatrice avente funzione di trasferimento. Non abbiamo considerato il ritardo introdotto dal filtro passa basso e quindi.

Segnale PAM e calcolo dei due spettri

Segnale PAM:

S(t) = _nΣ a_ng(t - nT) = |a_n| * g(t)

Convoluzione tra serie temporale {a_n} e l'impulso g(t).

Per l'analisi e il calcolo dei due spettri consideriamo S(t) come somma di due impulsi:

S(t) = Sm(t) + X(t)

Con X(t) = _nΣ x_ng(t - nT) |X_n+1, X_n = a_n - ‹a_n› v.i.n.

Sm(t) = _nΣ ‹a_n› g(t - nT) = ‹a_n› Σ g(t - nT)

S(t) è quindi somma di due componenti:

• Sm(t) è funzione periodica con spettro di ampiezza a righe.
• X(t) è funzione a valor medio nullo e con spettro di potenza distribuito G_X(ω).
• X_n è perciò coerente con la serie temporale, X_n+1, X_n = a_n - ‹a_n›.

Calcolo dei due spettri

Spettro di ampiezza di Sm(t).

In virtù della certezza C_n = ¹⁄_TX(ω₀), i coefficienti della serie esponenziale di Fourier Sm(t) = _nΣ C_n^jωt sono espressi da:

C_n = ‹a_n› G(n ^2π⁄_T)

Lo spettro a righe discende da ^-T⁄₂≤◦≤^T⁄₂ ed ε.

Spettro di potenza G_x(ω) di X(t)

Si può determinare trasformando la funzione di autocorrelazione secondo Fourier:

G_x(ω) = ^∫[CC()]/_T, CC() = ⟨X(t) X(t+)⟩

Sviluppi analitici:

X(t) = _{^∞∑n=-∞ Xng(t - nT)}

X(t+) = _{^∞∑i=-∞ Xig(t+ - iT)}

CC() = lim_N→∞ ¹/_2NT ^N∫_{-N ^∞∑n=-∞ ^{∞∑i=-∞ XnXig(t - nT)g(t+ - iT)}}dt == lim_N→∞ ¹/_2NT ^N∫_{-N ^∞∑n=-∞ ^{∞∑i=-∞ XnXig(t - nT)g(t+ - iT)}}dt == lim_N→∞ ¹/_2NT ^N∫_{-N ^∞∑n=-∞ ^{∞∑i=-∞ XnXiΦ[t - (i - n)T]}}dt =

CC() = lim_N→∞ ¹/_2NT ^∞∑_n=-∞ ^{∞∑_i=-∞ X_nX_iΦ[t - (i - n)T]}

Poniamo i = n + k.

CC() = lim_N→∞ ¹/_2N ^∞∑_i=-∞ ^k=-∞ X_nX_n+kΦ[t - (i - n)T] == ¹/_T ^∞∑_k=-∞ Φ(-kT) (lim_N→∞ ¹/_2N ^N∑_n=-N X_nX_n+k == ¹/_T ^∞∑_k=-∞ C_kΦ(-kT)

Ricordando la convoluzione tra una serie temporale ed una funzione tempo continua:

CC() = ¹/_T C_k ≠ Φ(L)

E poi ricaviamo Ψ(α) = ¹/_T Ψ[C_k] Ψ[Φ()]

Per cui ricaviamo:

Ψ[CC()] = ¹/_T |G(ω)| [C_o + 2^∞∑_k=1 C_k cos kωT]

Possiamo scrivere C_k = ⟨x_2n x_2m⟩ - ⟨x_2n⟩²

Ottenendo ². ⟨x_2n.⟨x⟩ - ⟨x_2n⟩²

G_x(ω) = ¹/_T |G(ω)| [C_o + 2^∞∑_k=1 ⟨x_2n x_2m⟩ - ⟨x_2n⟩² cos kωT]

Che è spettro di potenza di X(t).