Fondamenti di telecomunicazioni - Appunti

Quesito:

Esprimere nel dominio delle frequenze la condizione necessaria e sufficiente perché una funzione X(t) assuma i valori riportati a fianco

X_m = X(mT) =

• X₀ m=0
• 0 m≠0

Soluzione:

Calcoliamo la trasformata della serie {X_n}:

X_s(ω) = ∑_m=-∞^+∞ X_m e^-jωmT = X₀

Poiché:

X_s(ω) = ¹⁄_T ∑_k=-∞^+∞ X^(w+kω₀)

Allora:

¹⁄_T ∑_k=-∞^+∞ X(w+kω₀) = X₀

∑_k X(w+kω₀) = TX₀

In questo caso ω₀ = ^2π⁄_T, poiché X_m = X(mT) quindi:

∑_k=-∞^+∞ X^{(w+k2π⁄_T)} = X₀T

Per l'unicità della trasformata questo rappresenta condizione necessaria e sufficiente

Quesito:

Esprimere nel dominio delle frequenze la condizione necessaria e sufficiente perché una funzione X(t) assuma i valori riportati a fianco.

X_m = X(mT) = {x₀ m = 00 m ≠ 0}

Soluzione:

Calcoliamo la trasformata della serie {X_m}:

X_s(ω) = ∑_m=-∞^+∞ X_m e^-jmωT = x₀

Poiché:

X_s(ω) = 1/T ∑_k=-∞^+∞ X_{(ω + kω0)}

Allora:

1/T ∑_k=-∞^+∞ X(ω + kω₀) = x₀

∑_k X(ω + kω₀) = T*X₀

In questo caso ω₀ = 2π/T poiché X_m = X(mT) quindi:

∑_k X_{(ω + k ^2π/T)} = x₀T

Per l'unicità della trasformata questo rappresenta condizione necessaria e sufficiente.

Quesito:

Calcolare lo spettro di un segnale PAM con codice ΔMI, cifre binarie prima della codifica equiprobabili, impulsi rettangolari di ampiezza unitaria con duty cycle 0,5

Soluzione:

Poiché il segnale in esame, da ora S(t), ha valor medio nullo abbiamo solo lo spettro di potenza distribuito

G_S(ω) = ¹/_T |G(ω)|² { + 2 Σ_k[-]²coskωT}

= 0 = ¹/₂

G_S(ω) = ¹/_T |G(ω)|² {¹/₂ - 0 + 2 [¹/₄ - 0] cosωt }

= ¹/_T |G(ω)|² (¹/₂ - ¹/₂ cosωT) = ¹/_1T |G(ω)|² sen² ωT/2

|G(ω)|² = ?

G(ω) = ∫ g(t)e^-jωtdt

= ¹/_T/4∫ e^-jωtdt

= I/₂ sen ωT/⁴/_ωT/⁴

|G(ω)|² = ¹/₄(^{sin ωT/4}/_ωT/4)²

Spettro potenza distribuito:G_S(ω) = ¹/_πT²/₄(^{sin ωT/4}/_ωT/4) sen²ωT/2

Riferito alle frequenze:G_f(f) = 2πG(2πif) ; T = ¹/_Bs

= ¹/_2Bs sinc^f/_2Bs sen² πf/_Bs

Quesito:

Calcolare lo spettro di un segnale PAM con codice ΔMI, cifre binarie prima della codifica equiprobabili, impulsi rettangolari di ampiezza unitaria con duty cycle 0,5

Soluzione:

Poiché il segnale in esame, da ora S(t), ha valor medio nullo abbiamo solo lo spettro di potenza distribuito

G_S(ω) = ¹⁄_T |G(ω)|² {< c_n² > - < c_m² > + 2 ∑_k [< c_nc_m+k > - <c_n >²] cos kω T}

<c_m > = 0

<c_m² > = ¹⁄₂

G_S(ω) = ¹⁄_T |G(ω)|² {¹⁄₂ - 0 + 2 [¹⁄₄ - 0] cosω T}

= ¹⁄_T |G(ω)|² (¹⁄₂ + ¹⁄₂ cosω T) = ¹⁄_T |G(ω)|² sen²(ωT/₂)

|G(ω)|² di?

G(ω) = ∫ g(t) e^-jωt dt

= ¹⁄₂ ∫ e^-jωt dt

= ¹⁄₂ sen(ωT/₄) / (ωT/₄)

|G(ω)|² = ¹⁄₄ (sin ωT/₄ / ωT/₄)²

Spettro potenza distribuito:

G_S(ω) = ¹⁄_.T^T₄ (sin ωT/₄ / ωT/₄)² sen² ωT/₂

Riferito alle frequenze:

G_f(f) = 2π G(2πf) ; T = ¹⁄_Bs

= ¹⁄_2Bs sinc²(f/_2Bs) sen²(πf/_Bs)

Quesito:

PAM: Definizione e calcolo dei 2 spettri

Soluzione:

Il segnale PAM è una successione di impulsi modulati in ampiezza (Pulse Amplitude Modulation)

Dati:

{a_n} una serie temporale a potenza finita

g(t) funzione a energia finita

Il segnale PAM è dato da:

S(t) = Σ_m=0^+∞ a_m c_m g(t - mT) = {a_m} ∗ g(t)

Calcolo dei 2 spettri:

Spettro di potenza:

G_s(ω) = _[()]/ dove ()= è la funzione di autocorrelazione

Ricordando la definizione di convoluzione si può scrivere la funzione di autocorrelazione come:

()={c_r} ∗ Φ() con c_n =

Quindi:

_[()]/ = ₁/ {Φ()} ∗ {c_n}

= ₁/ [()]Γ^∞[c_n² + a_m² + Σ_{∞ ↔}[a_m² + a_n²]]

Tale spettro distribuito si sovrappone allo spettro a righe della componente periodica

A_m = 2C_m dove C_m=

QUESITO:

DEFINIRE LA FUNZIONE IMPULSIVA E CALCOLARNE LA TRASFORMATA SECONDO FOURIER.

SOLUZIONE:

IMPULSO DI AMPIEZZA A E DURATA ν :

χ(t) = { A -_ν/₂ < x < +_ν/₂ 0 x< -_ν/₂ v x> +_ν/₂

TRASFORMATA SECONDO FOURIER

Χ(w) = ∫_-∞^+∞ χ(t) e^-jwt dt

= A ∫_-ν/2^+ν/2 e^-jwt dt

= Aν ^{SIN wν/2}/_wν/2

SPETTRI:

AMPIEZZA → V(w) = |Χ(w)|/_ν = ^Aν/_ν|SIN wν/2|/_wν/2

FASE → Ψ(w) = { 0  x(w)>0 π  x(w)<0

Quesito:

Descrivere e rappresentare con schemi a blocchi commentati il processo di conversione D/A per la ricostruzione del segnale originario.

Soluzione:

Per maggior chiarezza schematizzo la conversione A/D:

x(t) → {x_n} campionamento → {q_n} quantizzazione → {b₁ ... b_m} codificazione

Dato in ingresso un segnale PAM a cifre binarie detta anche successione di parole di codice

{b_m¹ ... b_m^M} → decodificatore → {q_m}

Ottengo {q_m} serie dei valori campionati e quantizzati, anche questo è un segnale PAM.

→ filtro passa-basso → equalizzatore → segnale originale

Segnale ricostruito albero di una costante.

Rimozione della suddetta costante.

Segnale originale a meno della perdita di informazioni data dalla quantizzazione.

Quesito:

Dimostrare e descrivere il teorema del campionamento nel dominio dei tempi

Soluzione:

Premesse:

f_o = frequenza di campionamento

f_m = massima frequenza a cui è rappresentabile lo spettro di X

w_m = massima pulsazione a cui è apprezzabile lo spettro di X(t)

Teorema

Se f_o > 2f_m

Allora la conoscenza dei valori campionati individua in maniera univoca la funzione originaria X(t)

Dimostrazione

In virtù di: X_s(w) = ¹/_T ΣX(w+ko) la conoscenza dei valori campionati equivale a quella della ripetizione periodica della trasformata X(w) di X(t) con periodo w_o = ^2π/_T. Considerando |X(w)| e la sua ripetizione periodica possiamo notare che qualora i termini |X(w+ko)| occupino bande distinte è possibile risalire da X_s(w) a X(w).

La separazione avviene quando:

ω_m < ω_o - ω_m ⇒ ω_o > 2 ω_m

Ovvero, riferito al dominio delle frequenze

f_o > 2 f_m

In altri termini:

Quando la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della massima frequenza di x(t) la conoscenza dei valori campionati individua in maniera univoca la funzione originaria.

Quesito:

Descrivere i 3 passi della conversione A/D e il segnale numerico ottenuto

Soluzione:

1. Campionamento (x(t) → {x_m})

   • Frequenza di campionamento

   f_o > 2f_m per evitare l'aliasing

   • Campionamento

   {x_m} / x_m = x(mT)   T = 1/f_o

2. Quantizzazione in L valori

   q_m =

   {

   • -M < x_m < 2M - M
   • 0 - 2M/L < x < 0 + 2M/L
   • x > M - 2M/L

   }

3. Codificazione dei valori campionati

   I valori vengono codificati in parole di m bit dove

   m ≥ log₂ L

   La serie binaria così ottenuta verrà utilizzata per generare un segnale PCM

Quesito:

Definire la risposta impulsiva di una rete lineare e dimostrare il legame con la funzione di trasferimento di una rete lineare

Soluzione:

Risposta impulsiva di una rete lineare:

h(t) = lim_Δ→0 Y(t)

Dato x(t) = ∫_-∞^∞ x(ξ) δ(t-ξ) dξ come ingresso

La risposta di Q è:

Y(t) = ∫_-∞^∞ x(ξ) h(t-ξ) dξ = x(t) * h(t)

Legame con la funzione di trasferimento:

Passiamo al dominio delle frequenze:

ℱ{Y(t)} = H(ω) ℱ{D(t,Δ)}

Passiamo al limite per Δ → 0

• ℱ{Y(t)} → ℱ{h(t)} } → H(ω) = ℱ{h(t)}
• ℱ{D(t,Δ)} → 1

Quesito:

100'000 flussi di 30 pacchetti/minuto. Pacchetto nel sistema meno di 4 ms con probabilità 0,95.

1. Pacchetti al secondo per la linea di uscita?
2. Dimensione RM di uscita tale che la perdita abbia probabilità minore di 10^-6.

Soluzione:

1. λ = ³⁰/₆₀ * 100'000 = 50'000 pac/s

1 - e^-(μ-λ)t ≥ 0,95

e^-(μ-λ) _t ≤ 0,05

μ - λ > 3

=> μ ≥ ³/_t + λ = ³/_0,001 + 50'000 = 53'000

2. A_o = ^λ/_μ = ^50'000/_53'000 ≈ 0,944

P(k + 1) = ^{(1 - A_o)(A_o)k+1}/_{1 - Ao^k+2} < 10^-6

^{≤ 6,06(0,944)k+1}/_{1 - 0,944^k+2} < 10^-6

• K = 175 => 1,12 ⋅ 10^-6
• K = 177 => 9,88 ⋅ 10^-7 ✔️

CALCOLARE E DISEGNARE GLI SPETTRI DI AMPIEZZA E DI

FASE DI UN IMPULSO RETTANGOLARE DI AMPIEZZA 4

E DURATA τ

LABORATORIO DI:

• DISCRETA
• TEMPORALITA
• APERIODICA

TRASFORMATA:

X(ω) = ∫_-∞^+∞ χ(t)e^-jωt = ∫_-τ/2^τ/2 e^-jωt dt = Aτ sen ω τ/2

CALCOLO DEGLI SPETTRI:

V(ω) = |X(ω)|/π = Aτ/π |sen ω τ/2|/ω τ/2

ψ(ω) = {0 x(ω) > 0π x(ω) < 0}

Quesito:

Il protocollo Aloha: Ricavare l'espressione del throughput normalizzato in funzione del traffico totale normalizzato

Soluzione:

Siano:

• b = Lunghezza in bit di ogni pacchetto
• λ = Frequenza dei pacchetti trasmessi con successo
• λ_R = Frequenza pacchetti ritrasmessi
• λ_T = λ + λ_R
• ρ = bλ = Throughput
• G = bλ_T = Traffico totale
• R = Capacità canale bit/s

Allora si possono definire:

• Throughput normalizzato = ρ = bλ/R
• Traffico totale normalizzato = G = bλ_T/R
• T = b/R = Tempo di trasmissione di un pacchetto

Ho successo se nessun altro trasmette nei T secondi prima e dopo di me fenomeno approssimabile con Poisson:

P_S = e^-λ_T2T

Inoltre P_S = λ/λ_T per definizione

{P_S = e^-λ_T2T

P_S = λ/λ_T ⇒ λ = λ_T e^-λ_T2T

Tλ = Tλ_T e^-λ_T2T

ρ = λT ; G = Tλ_T

ρ = G e^-2G

Protocollo CSMA/CD: Ricavare l'espressione del throughput S in funzione del parametro α

Definiti

• N₀ = numero di stazioni
• P_t = probabilità di trasmissione
• 1/2α = intervallo di trasmissione
• ω = intervallo di contesa
• A = probabilità di successo di una trasmissione

Si ha:

A = N₀P_t(1-P_t)^(N-1) ma con P_t = 1/N₀ A = (1 - 1/N)^N0-1

Calcoliamo la lunghezza media dell'intervallo di contesa:

E[ω] = ∑_i=0^∞i · (1-A)ⁱ·A = (1-A)/A

L'utilizzazione massima è data da:

S = ^1/2α⁄_{1/2α + (1-A)/A} = ¹⁄_{1 + 2α (1-A)/A} = [1 + 2α (1-A)/A]^-1

RICAVARE E DISEGNARE GLI SPETTRI DI AMPIEZZA

E FASE DI UNA OSCILLAZIONE MODULATA A PRODOTTO

SIA S(t) OSCILLAZIONE MODULATA S(t) = X(t) • V₀(t)DOVE:

SIANO V(ω) E φ(ω) GLI SPETTRI DI X′(t)

RICORDANDO: cos α • cos β = 1/2 cos(α+β) + 1/2 cos(α-β) SI HA:

50 terminali che inviano 60 _pacc/min di dimensionemedia 64 _bytes con tempo minore di 10 millisecondicon probabilitá 0,95

Si determini la minima velocitá in _Kbit/secondoper la linea di uscita

λ = 50 . 1 _pacc/sec = 50 _pacc/s

F(x) = 1 - e^-(μ-λ)t = 1 - e^{-(μ-50).0,01} ≤ 1 - 0,95

e^{-(μ-50).0,01} ≤ 0,05[ln(0,05) = -3]

(μ-50).0,01 ≥ 3μ ≥ ³⁄_0,01+50 = 350 _pacc/s

V = 350 _pacc/s . 64 _bytes/pacc = 22′400 _bytes/s

22′400 . 8 ^bit⁄_s = 179′200 ^bit⁄_s = 179,2 ^Kbit⁄_s