Fondamenti di tecnica delle costruzioni 1

Fondamenti di tecnica delle costruzioni modulo 1

Metodi di verifica

I metodi di verifica che si usano nella realtà sono più articolati quindi, in particolare rispetto ai criteri classici di scienza, bisogna tenere conto dell’aspetto probabilistico della resistenza dei materiali per esempio. Abbiamo visto come si definisce una variabile aleatoria e come può essere modellata come una funzione di densità, la distribuzione di Gauss.

Se abbiamo una certa variabile come una resistenza, come quella del calcestruzzo, abbiamo una funzione di tipo con distribuzione normale e valore medio µ. Non facciamo riferimento ai valori medi ma a quelli che stanno dalla parte della sicurezza. Quindi per esempio quello che abbiamo chiamato frattile di ordine k.

Abbiamo definito Rck=µ-s *ξ. Abbiamo visto che questo coefficiente ks vale 1.64 se l’obiettivo è quello di definire il frattile di ordine del 5%. Ovvero, se abbiamo la distribuzione di probabilità definita in funzione del valore medio e deviazione standard, per sapere chi è il valore che chiameremo Rck tale per cui sia pari al 5% la probabilità di avere una resistenza effettiva più bassa di quel valore, prendiamo il valor medio e sottraiamo 1.64 volte la deviazione standard. La deviazione standard mi dice come la mia variabile è dispersa. Più grande è, più sarà dispersa.

Per esempio, a parità di valor medio, se abbiamo una deviazione standard più bassa, la nostra variabile aleatoria è fatta così: con Rck quindi più grande perché è meno dispersa la variabile e quindi meno ci dobbiamo spostare dalla parte della sicurezza. Questo va fatto per qualsiasi tipo di materiale. Questo è come definiamo le resistenza dei materiali.

Verifiche strutturali

A questo punto come facciamo le verifiche? Questo vuol dire che ho una struttura, quale che essa sia, sottoposta ad una sollecitazione. Dove si trova la sollecitazione massima? Nella nomenclatura che abbiamo visto abbiamo parlato di momento flettente ed è l’effetto dell’azione. Dove l’azione è il carico e l’effetto dell’azione è il momento flettente. Abbiamo due mondi: delle resistenze e delle sollecitazioni/azioni.

Come confrontare questi contributi per verificare la struttura? Abbiamo visto due metodi: metodo delle tensioni ammissibili. Il metodo delle tensioni ammissibili è quello di avere una certa resistenza che va divisa per un coefficiente di sicurezza e definire quella che è la tensione ammissibile. È quella che corrisponde alla crisi del materiale rispetto alla resistenza che mi fa andare in crisi il materiale noi ci mettiamo un fattore di sicurezza. Imponiamo che la tensione ricavata dal calcolo della struttura sia minore/uguale alla tensione ammissibile che viene dalla formula. Definisce valori massimi di sollecitazione che ammettiamo che possano agire sulla struttura. Siccome noi rispetto alla crisi quindi rispetto a Rck dividiamo per un fattore molto grande il comportamento della struttura rimane nel campo lineare.

Al contrario, il calcolo a rottura ragiona in un modo diverso. Quando si ha a che fare con un terreno o un muro di sostegno, il problema che posso avere è che il peso del terreno generi uno smottamento che provoca uno scucchiaiamento di una certa parte che scivola e ruota. Il calcolo a rottura guarda le forze agenti e le moltiplico per un fattore, calcolo le mie azioni secondo questo e ottengo che devono essere minori uguali di un valore R che sta per resistenza. Non ho la tensione come parametro ma ho un parametro globale e una resistenza globale. Ho quindi un fattore di sicurezza che assomiglia a quello di prima ma lo applico all’intera struttura. Ho quindi la rottura dell’intero sistema.

Il metodo che noi useremo prende da entrambi i metodi precedenti. Dall’ultimo prendiamo il fatto di lavorare con sollecitazioni complessive, dall'altro il fatto che useremo coefficienti di sicurezza parziale sulle azioni e sulle resistenze.

Metodo probabilistico

Come nasce questo metodo? È un metodo di tipo probabilistico anche se viene poi applicato come semiprobabilistico. Supponiamo di prendere una struttura: Dove il momento flettente massimo è l’effetto dell’azione. Supponiamo che il carico sia definito in modo probabilistico ovvero che esso stesso sia una distribuzione. Se l’azione è definita in senso probabilistico l’effetto dell’azione che risulta sarà esso stesso una distribuzione di probabilità per esempio dei momenti flettenti. Chiamiamo S la distribuzione degli effetti dell’azione (sta per sollecitazione).

Se io sto lavorando sull’effetto flettente allora dovrò definire una resistenza che essa stessa è definita in termini di momento resistente. Pensiamo di avere semplicemente una distribuzione di questo tipo per i momenti resistenti (ovvero il valore che porta a crisi la struttura): Ora mettiamo insieme i due diagrammi: (l’area è sempre 1)

Obiettivo metodo probabilistico

Supponiamo di estrarre un valore da entrambe le distribuzioni. Vogliamo che la resistenza sia maggiore della sollecitazione però i due diagrammi si intrecciano. Quindi esisterà una probabilità che la sollecitazione sia maggiore della resistenza. L’obiettivo è quello di far sì che questa probabilità sia sufficientemente piccola. Se estraggo una S e una R:

• Accettabile R>S
• Crisi R<S
• Stato limite R=S

Calcolare la probabilità che avvenga la crisi vuol dire che facendo D=R-S il mio grafico sarà: voglio che la probabilità di crisi sia piccola. Il metodo puramente probabilistico consiste nel calcolare la probabilità di crisi Pf, è la probabilità che D≤0. Dobbiamo quindi imporre che. Se usiamo delle funzioni di tipo normale o gaussiane la nostra resistenza è definita in funzione del valore medio e della deviazione standard. La mia funzione D ha una proprietà: invece la deviazione standard è in ogni modo una volta che ho il valore medio e la deviazione standard la mia funzione di distribuzione la posso calcolare. La differenza può essere rappresentata anche da una funzione cumulativa: Se io disegno una funzione densità di probabilità che ha lo stesso valor medio di quella che rappresenta 10, avrò una funzione più sdraiata.

La sicurezza dipende da un parametro β definito come: In particolare si può dimostrare che la probabilità di crisi dipende da β: quindi al crescere di β ho una probabilità di crisi sempre più bassa. È un metodo pienamente probabilistico o metodo del terzo livello. Ad esempio, quando si verificano le centrali nucleari, non si assicura la sicurezza infinita ma si fissano valori molto bassi ai quali corrispondono β. Dove per crisi intendiamo la rottura di una parte importante, non il collasso.

Probabilità di crisi e stati limite

I valori della probabilità di crisi sono parametri che fanno riferimento alla vita utile della struttura. Si differenziano due probabilità di crisi differenti. Le prime le chiamiamo stati limite di esercizio mentre i secondi stati limite ultimi.

• SLE - vuol dire la deformazione eccessiva che compromette l’uso della struttura
• SLU - vuol dire la crisi di elementi strutturali della struttura

Sono due problemi di importanza diversa. La probabilità di crisi (non soddisfacimento delle verifiche) che noi ammettiamo è diversa per i due stati limite. I valori della tabella non sono valori casuali ma corrispondono agli stati limite. Le probabilità di crisi che abbiamo in caso di azioni eccezionali sono più grandi di quelli che noi usiamo nel caso di normale utilizzo. Sono valori usati a seconda dell’importanza dell’azione.

Usiamo il metodo semiprobabilistico o dei coefficienti parziali. Si chiama così perché l’applicazione che facciamo non è probabilistica. Si chiama dei coefficienti parziali perché non usiamo uno solo sulle azioni o sulle resistenze ma usiamo coefficiente combinati su entrambi.

Obiettivo dei coefficienti parziali

L’obiettivo è quello di avere coefficienti di sicurezza che tengono conto dell’incertezza (aleatorietà) sulla variabile considerata. Prendiamo il disegno di prima con la sollecitazione e la resistenza definite come variabili aleatorie. Dove la sollecitazione cerchiamo di prenderla in modo che il frattile sia del 5%. Il metodo consiste nel ridurre il valore caratteristico della resistenza per definire la resistenza di progetto e di aumentare la sollecitazione per definire la sollecitazione di progetto.

Dove ψ e ψ sono i coefficienti parziali dei quali aumento e riduco rispettivamente le azioni e le resistenze. Quello che farò materialmente dopo aver calcolato i valori sopra, la verifica sta nel verificare che Sd≤Rd. Vogliamo che le due distribuzioni siano sufficientemente lontane, perché così otteniamo una probabilità di crisi sufficientemente piccola. Per tenerle lontane calcoliamo i valori caratteristici e poi aumentiamo la sollecitazione e riduciamo la resistenza. Quello che otteniamo è una verifica deterministica. Confrontando i valori di progetto. L’essenza del metodo sta nel fatto che chi ha calibrato i valori dei coefficienti li ha calibrati in modo che se Sd

I coefficienti parziali che useremo negli stati limiti ultimi saranno più grandi di quelli usati negli stati limiti di esercizio. Tanto è che nelle verifiche degli SLE i coefficienti parziali saranno pari a 1. Con riferimento alla resistenza dei materiali ma soprattutto con riferimento ai carichi, come vengono definiti questi valori.

Impostazione del metodo

Ci interessa l’impostazione del metodo. Partiamo dalle resistenze: Come viene declinata questa resistenza per quel che riguarda il cls gettato in opera. Quella a cui noi facciamo riferimento è data come: resistenza cilindrica del cls di progetto. In particolare ψ c viene ottenuto come il prodotto di tre valori. Con l’uso dei coefficienti parziali si può tenere conto anche di altri aspetti che non sono necessariamente probabilistici.

Dove:

• ψ_c1 vuole far passare la resistenza dal suo valore fck(5%) ad una resistenza dello 0,5%
• ψ_c2 trasforma la resistenza