Fondamenti di Sistemi Dinamici - Teoria e Esercitazioni

Sistemi

Questo fenomeno prescinde in cui si vuole studiare il comportamento.

Il motivo per cui si studiano sistemi è la previsione cioè sapere, anzi capire, come evolverà il sistema una volta sottoposto a certi ingressi. Si studiano usufruendo il comportamento a sistemi precedenti, cioe a quelli che presentano risultati certi per avere attendibile una verifica (se un sistema risponda nell’ambito del dovere). Per testare una configurazione. Verifica che il sistema si comporti al dentro di quel tollerato.

• Identificazione: costruire il modello astratto a partire dal sistema reale
• Analisi: studiamo il modello astratto, così capiamo come si comporta il sistema reale
• Sintesi: sapendo come deve comportarsi il sistema reale costruisce il modello astratto per aver ampliarlo.
• Realizzazione: traduzione del modello astratto nel sistema reale

Queste 4 fasi rendono il sistema adeguato da un punto di vista ingegneristico.

Grandezze terminali

Per descrivere un sistema reale si usano e caratterizzano il sistema con due funzioni: una di ingresso e una di uscita (approccio black box).

• Grandezza di uscita (Y): rappresentare l’obiettivo dell’osservazione del sistema
• Grandezza di ingresso (U): azione esterna sul sistema che ne influenza l’evoluzione

Δ detta di cosa varia Y ed U dipenda dal quadrio per cui studiamo il sistema. (Ex. definisco ciò che si progetta un sistema e prefiggo uno ingresso, come uno motore di due diverse emotive: possibilmente interne e pianoforti di ingresso, con le modalità di livello dove emergere successo.)

In sintesi, dato il modello che si vuole ottenere ed un vocabolario del termine tecnico (non posso un sistema per un’altra azione obiettiva il sistema ottiene ciò per cui e stato progettato).

In base al numero di Y ed U abbiamo notazioni:

• SISO (single input - single output)
• MISO (multi input - single output)
• SIMO (single input - multi output)
• MIMO (multi input - multi output)

*Noi studiamo SISO

Un modo per associare un modello astratto ad un sistema reale consiste nel costruire R - il sistema orientato.

Sistemi astratti orientati

L'insieme di tutte le coppie ordinato è U x Y corrisponde che ottengo appendendo una misura con il proporzionale rispetto ad osservanza corrispondente nota l’orientato poiché evidenzia il legame causa - effetto tra l’ingresso ed il sistema.

Esistono tre variabili che cambio in cui misura: fermento → → SAO → unità → X →.

Modelli matematici di sistemi fisici

Incerti: i sistemi in natura sono in:

• Casuale: il rapporto dei sistemi NON dipende da molti fattori dell'ingresso
• Anticausale: il rapporto dei sistemi dipende da molti fattori dell'ingresso

Stocastici: i vari fenomeni elettici

Deterministici: i sistemi deterministici

Tuttavia, la definizione del SAD risulta poco utile poiché è impossibile produrre esperimenti controllati, con una periodizzazione giusta e proprio per generare una instabilità tipica per condizione di una verifica, e prima di iniziare questi eventi incerti di fatto non abbiamo mai probabilità di formarci e l'onda di base consiste nel fare un campione duplice in maniera casuale nell'innesco che formano una progettazione generale. Pertanto, non ci capiamo con mancanza di luce e di esempi della teoria più corrente. L'accordo di base è quel momento in cui iniziamo il modello del sostituto. Un'approccio alternativo è quello di rappresentare il comportamento fenomenico del sistema attraverso oggetti astratti come variabili equivalenti e funzioni da un incitamento del primo il sistema. Formando gruppi tra il generale indistinto e sottistente [W.W.] Applico e GZ object.

Un modello poi emerge per excursus/analogia. Tentiamo in questo modo di rappresentare il problema del comportamento del sistema del gennaio e del modello matematico.

Quello che paragonando in massima astratta la grandezza che si descrive al loro andamento è nel seguente modo:

• Grandezze reali → grandezze matematiche
• Evoluzione del grandezze → funzioni matematiche
• Equazioni da grandezze → equazioni da grandezze matematiche

Secondo tale approccio si ottiene la forma di un modello matematico di equazione. Le derivazioni delle grandezze derivano da esperimenti aventi conferma teorica parte empirica ed al che quindi NON conferiscono validità assoluta del sistema ma relativa ad un ambito di strumento.

Pertanto:

• I sistemi reali → i modelli matematici (per un sistema in vari ambiti di funzionamento)
• Il modello matematico → i sistemi reali

Studio qualitativo

Non determinare una quantazione alta per altra da una risposta costituisce una soluzione per dozione dell'oscillante, una varietà di successivi parapone valori di direttori, ed una attenzione una regione limitata di una diversa formula immisoria espressione simulatore.

Sistemi dinamici a tempo continuo

L'analisi della struttura interna del sistema porta ad esprimere equazioni funzionali che mettono in evidenza, a livello dei stato del sistema, il numero e le loro variazioni nel tempo. A livello di uscita, esprimono l'evoluzione nel tempo.

Sistema dinamico di un'uscita

Si hanno N equazioni differenziali a coefficienti costanti applicazione nuovo limite: ẋ(t)=Φ(x(t), u(t)) → funzione generale Φ y(t)=g(x(t), u(t)) → trasformazioni di uscita Φ: X, Y ∈ ℝ^N

Passaggio del modello implicito esterno stato-uscita a quello esplicito

Concetto di calcolo dentro nella dinamica del sistema. Per qualunque valore della soluzione di x e y, dato iniziale x0 e y0 varia con il tempo t.

1. x(t) = Φ(t, x0, u(ξ₀,t)) →

   • x(t) = Φ(t, x0, u(ξ₀,t))
   • y(t) = g(x(t), u(t)) (termine incerto)

Da un punto di vista analitico questo passaggio può risultare difficile per cui le risposte al problema si costruiscono in modo:

1. Simulazione calcolando e risolvendo delle differenziali descritte in un'implementazione direttamente ridotta

2. Emulazione metodo numerico tendente a riprodurre il compartimento del sistema

Entrambi i metodi si basano sulla struttura del modello implicito spesso nascita il termine: questo schema:

x(t) = x0 + ∫₀^t f(x(t), u(t)) dt

In un intervallo (da punte illustrate)

1. It x=x(t)

2. It x=x(t)

Le due unite convergono in un sistema fisico reale che implica quello di stato politiche caratterizzabili della sistema modello unieremotricità.

Integrazione integrale sulla N variabile della stato X. Un calcolatore non effettua un integrazione perfetta in un intervallo continuo per cui vanno alcuni impercettibili.

Infine, considerando un sistema ingresso-uscita

se non si riesce a confinare Y dentro un intervallo arbitariamente piccolo del valore di equilibrio comunque si limiti l'ampiezza della perturbazione dell'ingresso:

∃ N > 0 ∀M > 0 ∃ t₀ > 0: |Δy(t)| > N

equilibrio: instabile

Impulso di Dirac e duplice

δ_ɛ(t-t₀) =

• 0 t < t₀
• 1/ɛ t₀ ≤ t < t₀ + ɛ
• 0 t ≥ t₀ + ɛ

δ(t-t₀) = lim_ɛ→0 δ_ɛ(t-t₀)

Proprietà

Derivazione: ^d/_dt U(t) = δ(t)

Campionamento: ∫_-∞^+∞ f(t) δ(t-τ) dτ = f(t)

∫_-∞^+∞ δ(t) = _{∫-∞^+∞ e^-st dt} = e^-s(0) = e⁰ = 1

∫ δ(t-t₀) = ∫ δ(t-ɛ) e^-st dt = e^-st₀

Gradino unitario e Laplace

δ(t₁ + t-t₀) =

• 0 t < t₀
• 1 t ≥ t₀

Constante e Laplace

ℒ{c} = ∫₀^∞ c e^-st dt = ∫₀^∞ c e^-(α+jω)t dt

= _c/_α+jω