Appunti fondamenti di sistemi dinamici/Teoria Dei sistemi

Indice (Sbobinature Lippiello)

• Lezione 1 – Oggetto astratto orientato (pagina 3)
• Lezione 2 – Modello ISU (pagina 18)
• Lezione 3 – Modello ISU (pagina 43)
• Lezione 4 – Modello ISU (pagina 61)
• Lezione 5 – Modello ISU (pagina 80)
• Lezione 6 – Punti di equilibrio e linearizzazione (pagina 102)
• Lezione 7 – Matrice esponenziale e diagonalizzazione (pagina 119)
• Lezione 8 – Tecnica del polinomio interpolante (pagina 133)
• Lezione 9 – Jordanizzazione (pagina 164)
• Lezione 10 – Jordanizzazione, formule di Lagrange (pagina 190)
• Lezione 11 – Modi naturali (pagina 209)
• Lezione 12 – Modi naturali (pagina 231)
• Lezione 13 – Modi naturali nel regime forzato e in uscita (pagina 260)
• Lezione 14 – Sistemi dinamici a tempo discreto (pagina 277)
• Lezione 15 – Modi naturali dei sistemi a tempo discreto (pagina 299)
• Lezione 16 – Trasformata di Laplace (pagina 325)
• Lezione 17 – Funzione di trasferimento (pagina 344)
• Lezione 18 – Calcolo della funzione di transizione in s, zeta trasformata (pagina 362)
• Lezione 19 – Funzione di trasferimento nel tempo discreto (pagina 380)
• Lezione 20 – Risposta al gradino e all’impulso (pagina 397)
• Lezione 21 – Forme di rappresentazione della funzione di trasferimento nel tempo discreto (pagina 427)
• Lezione 22 – Realizzazione, schemi a blocchi (pagina 439)
• Lezione 23 – Risposta a regime permanente (pagina 461)
• Lezione 24 – Diagramma di Bode del modulo (pagina 480)
• Lezione 25 – Diagramma di Bode della fase (pagina 500)
• Lezione 26 – Azione filtrante dei sistemi dinamici, diagrammi di Nyquist (pagina 525)
• Lezione 27 – Esempi di diagrammi di Bode e Nyquist, stabilità secondo Lyapunov (pagina 562)
• Lezione 28 – Stabilità dei sistemi LTI, criterio di Routh-Hurwitz (pagina 595)
• Lezione 29 – Criterio di Jury (pagina 624)
• Lezione 30 – Raggiungibilità (pagina 648)
• Lezione 31 – Osservabilità (pagina 668)
• Lezione 32 – Decomposizione di Kalman (pagina 694)
• Lezione 33 – Modello interno dei sistemi interconnessi (pagina 719)
• Lezione 34 – Sistemi a segnali campionati (pagina 743)
• Lezione 35 – Metodo diretto di Lyapunov (pagina 762)

Lezione 1

Un sistema sarà qualunque oggetto fisico come ad esempio una sospensione di una autovettura o immateriale come ad esempio un processo chimico, idraulico, termico ecc che per noi è di interesse. Lo sforzo è richiesto per astrarre un modello che ci consenta di utilizzare una teoria unificante questo perché non può accadere che ogni volta che cambio natura all’oggetto di studio si debba applicare una teoria differente. L’oggetto di questo corso è fare in modo che con una teoria di base si possa studiare un qualunque oggetto.

Consideriamo un esempio, consideriamo una stanza delimitata da pareti, finestre ecc che abbia al suo interno un certo grado termico, un qualcosa che ne determini la temperatura, se non abbiamo conoscenze specifiche su un determinato sistema che dobbiamo studiare, sicuramente esisterà uno specialista a cui rivolgerci per aiutarci nello studio del sistema che dobbiamo andare a caratterizzare. Per poter studiare l’evoluzione della temperatura della stanza o ancora controllarla ad esempio per realizzare un impianto di condizionamento, avremmo sicuramente necessità di adoperare uno strumento che ci permetta di misurare e di poter controllare la temperatura.

Supponiamo che attraverso un trasduttore che ci consente di misurare una grandezza di interesse che in questo caso è la temperatura e di tradurla in un segnale ad esempio elettrico che possa essere gestito in modo più semplice, otteniamo che la temperatura è di 25° ma ad esempio noi vogliamo mantenere tale temperatura costantemente intorno ai 21°; dobbiamo allora costruire un oggetto che riesca a ragionare su questa informazione, ricevendo magari in ingresso un altro valore come può essere ad esempio la temperatura che si desidererebbe avere costante. L’oggetto nel quale mandiamo in pasto questi dati dovrebbe essere in grado di effettuare dei ragionamenti o banalmente dovrebbe essere in grado di pensare se la temperatura dell’ambiente è più grande di quella che voglio devo allora tirare fuori calore per abbassare la temperatura o in caso contrario erogare calore, e questo può essere fatto ad esempio attraverso una pompa di calore che può quindi apportare o sottrarre una quantità di calore. Tale oggetto che abbiamo detto essere quindi l’impianto di condizionamento per la stanza riceverà allora comandi dal sistema dinamico, quello a cui diamo in pasto la temperatura della stanza e la temperatura desiderata. Il sistema dinamico e la pompa di calore possono essere considerati come a loro volta dei sistemi.

Anche lo studio di un qualcosa che non c’è particolarmente familiare, comincia ad assumere una certa connotazione ben precisa in termini sistemistici, considerando la stanza come un sistema del quale intendo regolare la temperatura attraverso l’interazione con altri sistemi che abbiamo detto essere trasduttore, sistema dinamico e pompa di calore. Ognuno degli oggetti detti sarà un sistema che dobbiamo riuscire ad astrarre attraverso un modello matematico. Dire che un sistema in esame è dinamico significa dire che il sistema è in grado di evolvere nel tempo, dove per evolvere intendiamo dire che alcune delle sue grandezze caratteristiche cambiano nel tempo.

Nota: La variabile tempo sarà l’unica variabile indipendente che considereremo nel corso.

Siamo allora interessati ad oggetti che sono in grado di evolvere nel tempo, il perché si verifichi questa evoluzione dipende da un aspetto che tra poco vedremo invece come evolve il sistema sarà proprio l’oggetto del corso. Questi tipi di strumenti possono essere applicati in diversi tipi di dominii; un esempio tipico è la previsione, ad esempio le previsioni metereologiche dove si crea un modello di un territorio dove si vanno a descrivere tutti gli elementi caratteristici del dominio meteorologico che permettono di fare una previsione.

Quando parliamo di un modello matematico è bene che si pensi subito al fatto che una rappresentazione matematica di quel sistema non potrà mai rappresentarlo in modo esatto, non potrà mai esistere un modello matematico che rappresenti esattamente un qualunque sistema dinamico e di qualunque tipo. Un modello qualsiasi che andremmo ad usare è quindi un modello approssimato della realtà; questo tipo di modello ammette delle tolleranze per i risultati che andremmo a dare. Questo non vuol dire che non esista un modello più accurato di quello che è stato usato.

Consideriamo un esempio se dovessimo fare una previsione del tempo per domani, costruiamo un modello che è anche più accurato di quello attualmente adottato per fare le previsioni di tutta Europa e che si trova a Londra, il quale sfrutta una miriade di processori in parallelo per elaborare nel modo più preciso e veloce possibile i dati, ma il modello che andiamo a costruire non permette di ottenere i risultati metereologici prima del verificarsi dell’evento. Questo vuol dire quindi che dobbiamo trovare un giusto bilanciamento (trade-off) tra quella che è l’accuratezza del modello e l’obiettivo del modello.

Sistema

Un sistema è un oggetto astratto orientato. Per oggetto intendiamo un qualunque oggetto fisico o immateriale, nel senso più generale possibile ma che si riesca ad identificare nella sua interezza indipendentemente dalla sua natura. Per astratto intendiamo che non siamo interessati alla natura dell’oggetto ma alla sua astrazione, quindi per oggetto astratto intendiamo un modello matematico. Un modello matematico sarà costituito da un insieme di equazioni e da un certo numero di variabili e parametri. Le equazioni caratterizzeranno l’evoluzione dinamica nel tempo, le variabili ne caratterizzano invece le grandezze che lo compongono ed i parametri invece caratterizzano le equazioni.

Prima di specificare cosa si intende per orientato facciamo qualche esempio per capire meglio questi due aggettivi appena introdotti.

Esempio 1

Consideriamo una rete RLC serie, supponiamo quindi di avere una resistenza, una capacità ed un’induttanza. Supponiamo allora di avere un generatore di tensione applicato a questa rete; supponiamo di conoscere il valore della resistenza, della capacità e dell’induttanza, supponiamo che nella capacità sia accumulata una certa carica elettrica q. Questo sistema rappresenta un sistema fisico del quale sappiamo scrivere un modello matematico (conoscenza acquisita dal corso di elettrotecnica).

Abbiamo un’unica maglia si applica l’equazione alla maglia quindi scriveremo che la tensione, il forzamento applicato alla maglia sarà pari alla sommatoria delle cadute di tensione su tutti gli elementi presenti nel circuito. Abbiamo allora una prima caduta ai capi della resistenza ed è pari ad R * i, la corrente (i) sappiamo essere una variazione della carica, una derivata (dq) più la carica accumulata (q) sulla capacità C più ancora la caduta sull’induttanza (l+d q).

Nota: da qui in poi per intendere la derivata rispetto al tempo useremo una notazione con il punto.

L’equazione scritta sopra è un’equazione differenziale di secondo grado a parametri costanti e descrive l’evoluzione della grandezza q che è la carica elettrica accumulata nella capacità al variare del forzamento applicato a questa rete tramite il generatore di tensione (e). Quello descritto è quindi un modello astratto, per capirlo consideriamo un altro esempio che sia di natura completamente differente da quello appena trattato.

Esempio 2

Consideriamo una sospensione di un’autovettura; tale sospensione la trattiamo nel modo più semplice possibile e la consideriamo composta da una molla e da uno smorzatore con una certa massa attaccata che rappresenterà la ruota. La molla e lo smorzatore saranno caratterizzati da due parametri:

• Coefficiente elastico della molla che indichiamo con k
• Coefficiente di attrito viscoso dello smorzatore che indichiamo con b

Indichiamo la massa della ruota attaccata alla sospensione con m. Supponiamo di individuare un certo sistema di riferimento rispetto ad una certa posizione ed indichiamo con s la posizione di questa massa in una certa direzione. Abbiamo applicato allora un certo sistema di riferimento.

La variabile s mi indica quindi la posizione della massa in questo sistema di riferimento supposto monodirezionale, cioè del quale ci interessano solo l’andamento della ruota rispetto all’altezza. Supponiamo di applicare sulla massa m una certa forza f, questa forza potrebbe rappresentare un profilo di un terreno accidentato che quindi potrebbe essere rappresentato con una forza variabile che si applica alla ruota.

Proviamo a scrivere l’equazione caratteristica di questo sistema. Applichiamo banalmente il secondo principio della dinamica dal quale sappiamo che la massa m moltiplicata per l’accelerazione a subita dalla massa è pari alla sommatoria delle forze ad essa applicata; di questa massa m noi abbiamo rappresentato la posizione s, quindi l’accelerazione sarà la derivata seconda di questa posizione, essendo la derivata della posizione la velocità e la derivata della velocità l’accelerazione.

Abbiamo trovato un modello matematico di questo oggetto; se consideriamo i modelli matematici ottenuti abbiamo:

• Per il primo oggetto un’equazione differenziale di secondo grado
• Per il secondo oggetto ancora un’equazione differenziale di secondo grado

Se guardiamo con attenzione le due equazioni ottenute abbiamo da un lato la grandezza e che rappresenta il forzamento e dall’altro la forza f. Se le mettiamo in relazione tra di loro supponendo che l’una corrisponda all’altra, in questo ipotetico confronto tra oggetti così diversi gli uni con gli altri abbiamo che entrano in gioco lo spostamento s per il secondo sistema che possiamo supporre di metterlo in relazione con la quantità di carica q del primo sistema, supponiamo poi ancora di mettere in relazione la massa m del secondo sistema con l’induttanza L del primo sistema ed ancora di mettere in relazione il coefficiente di attrito viscoso b con la resistenza elettrica R e poi mettere in relazione la costante elastica k con l’inverso della capacità elettrica 1/C.

Considerate queste relazioni se sostituissimo nella seconda equazione le corrispondenti variabili della prima equazione otterrei esattamente la prima equazione. Questo vuol dire che due oggetti di natura differente danno luogo allo stesso modello matematico. Per noi il modello matematico rappresentativo di un oggetto reale fisico o immateriale è appunto un oggetto astratto ovvero un modello matematico. Questo vuole dire che ad uno stesso oggetto astratto, ovvero ad uno stesso modello matematico possono corrispondere infiniti sistemi o oggetti reali. Tutti gli oggetti che hanno lo stesso modello matematico e quindi la stessa rappresentazione astratta, saranno per noi, ai fini di studio di questo corso, lo stesso oggetto astratto. Un oggetto astratto possiamo quindi intenderlo come una rappresentazione di una stessa classe di oggetti reali; questo perché a patto di cambiare significato ai parametri e alle variabili, fondamentalmente il modello matematico è esattamente lo stesso; questo vuole dire che se fossimo in grado di studiare attraverso una certa teoria l’andamento dello spostamento della massa considerata nell’esempio 2 saremmo automaticamente in grado di capire come varia la carica nello oggetto e questo senza rifare i conti perché il modello è lo stesso modello astratto per il sistema nell’esempio 1.

Quindi un oggetto astratto è un modello matematico che è una mera rappresentazione di un’infinità di sistemi reali che sono ad essi corrispondenti. Per orientato intendiamo che non ci va bene un qualunque oggetto astratto ma solo quelli orientati. Per capirlo abbiamo detto fondamentalmente che il nostro oggetto astratto è fatto da equazioni, parametri, come per parametri intendiamo ad esempio resistenza, induttanza, massa, coefficienti di attrito viscoso ecc e variabili; queste variabili nei sistemi di interesse si dividono in due tipologie:

• Ingressi che sono indicati con la lettera u
• Uscite che sono indicate con la lettera y

Parliamo di ingressi ed uscite perché abbiamo detto che siamo interessati ad oggetti astratti ed orientati cioè quegli oggetti per i quali vale il principio di casualità, cioè ci sono delle variabili che sono la causa della variazione di altre variabili, la variazione nel tempo di queste altre variabili è l’effetto di questa causa. Per noi la causa è rappresentata da questo insieme di variabili che sono le variabili di ingresso per queste equazioni e l’effetto che avranno queste variabili sarà manifestato su altre variabili che sono quelle di uscita. Gli oggetti a cui siamo interessati sono quelli per i quali abbiamo indicato delle frecce, queste frecce stanno proprio a significare appunto che è un oggetto orientato, c’è un insieme di variabili che sono le u (ingressi) che hanno un effetto su queste equazioni e questo effetto è la variazione nel tempo di altre variabili che sono le y che sono rappresentate attraverso una freccia uscente che sta proprio a significare che subiscono l’evolversi determinato strutturalmente dalle equazione che abbiamo.

Una volta scritta un’equazione è importante dotarci di un criterio che permetta di adottarci di questo principio di casualità, ci consenta di capire fondamentalmente quale siano le variabili di ingresso e quali siano le variabili di uscita. Facciamo qualche esempio molto semplice.

Esempio

Consideriamo una certa massa alla quale applichiamo una forza f, supponiamo che questa massa si muova lungo una certa direzione ed indichiamo con s lo spostamento che subisce questa massa. Abbiamo un certo modello del quale abbiamo individuato due variabili, lo spostamento subito dalla massa e la forza applicata alla massa. Quale delle variabili è l’ingresso e quale l’uscita? f sarà l’ingresso ed s l’uscita questo perché se non applicassimo alcuna forza la s non cambierebbe, nel momento in cui applico una forza invece viene a determinarsi uno spostamento. Quindi è lo spostamento che subisce l’effetto indotto su quel sistema dalla forza. Per tale ragione la forza sarà l’ingresso e lo spostamento sarà l’uscita.

Esempio

Supponiamo di essere in grado di costruire un modello per una famiglia che ci consenta di determinare il legame tra due grandezze:

• Introito mensile dettato dagli stipendi
• Tenore di vita

Quindi supponiamo che ci sia questo legame ingresso-uscita che in base agli stipendi che entrano in una data famiglia si determini quello che è il tenore di vita della famiglia stessa. Quali di queste due grandezze sarà l’ingresso e quale l’uscita? L’introito sarà l’ingresso ed il tenore di vita l’uscita. Sarà l’introito mensile che nella sua variabilità può determinare il tenore di vita. Ad esempio possiamo immaginare di avere un tenore di vita nella media poi capita che vinciamo al Superenalotto ed il nostro tenore di vita schizza.

Esempio

Supponiamo di avere una capacità C ed indichiamo con i la corrente che circola in questa capacità e con v la tensione ai suoi capi; il modello di qu