Appunti fondamenti di sistemi dinamici/Teoria Dei sistemi

Esempio

Prendiamo una matrice A fatta in questo modo. Vogliamo costruirne la matrice esponenziale, dobbiamo quindi provare a diagonalizzarla a meno che non ne vogliamo fare la serie. Per diagonalizzarla costruiamo il polinomio caratteristico e troviamone gli autovalori e cerchiamo di capire in quale caso ci troviamo.

Se facciamo il polinomio caratteristico di A otteniamo:

Questo sistema ammette quindi un'unica coppia di autovalori complessi e coniugati. Dobbiamo costruire gli autovettori, in realtà basta trovare un unico autovettore associato all'autovalore o, perché visto che è il coniugato di sappiamo che anche il suo autovettore lo sarà; dobbiamo quindi calcolarne uno solo di autovettore che però sarà un autovettore complesso. Per calcolarlo costruiamo il sistema che sarà:

Già so che la matrice dovrà perdere almeno 1 di rango perché è un autovalore; so che perderà solo 1 di rango perché la

molteplicità algebrica di =1e quindi è uguale a quellageometrica e quindi so che la matrice avrà rango 1 e quindi sicuramente una delle righe della matrice ècombinazione lineare dell’altra e quindi posso non considerarla.

Scarto allora la seconda riga e nella costruzione del mio sistema di equazioni considero soltanto la prima.

Dalla prima equazione ho un’equazione in due incognite e quindi un grado di libertà, cioè posso sceglierearbitrariamente o u oppure u . Scegliamo u =1, scelgo così perché tale u è quello che moltiplica il11 12 11numero complesso del prodotto riga per colonna. Il prodotto riga per colonna mi darà proprioLa nostra soluzione, una delle infinite soluzioni sarà 159.

Il nostro autovettore avrà quindi la seguente forma.

Dimostriamo che il secondo autovettore è il complesso e coniugato del primo.

Abbiamo detto che u autovettore di quindi11.

Questo vuol dire proprio per

definizione di autovalore ed autovettore cheFaccio allora il coniugato di questa espressione ed ottengoA è una matrice reale quindi il suo coniugato continua ad essere A, per u invece essendo un vettore1complesso posso farne il coniugato ed analogamente per .Osservo cheQuindi ho che A per un vettore sarà uguale a di A per lo stesso vettore ma questa è la definizione diautovettore di , infatti sappiamo checioè u è l'autovettore di A per definizione di autovettore , quindi l'autovettore2di è proprio il coniugato dell'altro autovettore. 160Abbiamo quindi dimostrato che data una coppia di autovalori complessi e coniugati i corrispondentiautovettori sono anche essi complessi e coniugati. Ne abbiamo ricavato la formula generale che vale perqualsiasi coppia di autovalori complessi e coniugati.Torniamo ora al nostro esempio.Avevamo detto che possiamo scegliere due strade1)Costruiamo la matrice modale U nella sua forma canonicaSe

procedo in questo modo so dalla teoria che la matrice esponenziale sarà uguale a eλ dove λ è la matrice diagonale degli autovalori. Scrivo allora la matrice esponenziale di una matrice diagonale è ancora una matrice diagonale che ha sulla diagonale l'esponenziale di tutti i termini. Quindi scriverò:

Nella matrice abbiamo un esponenziale di un numero complesso e lo possiamo quindi anche scrivere dalle formule di Eulero come eiθ, quindi svolgere a casa questi prodotti algebrici.

Se seguiamo invece la seconda strada utilizzerò la matrice U che sarà costituita dalla parte reale e dalla parte immaginaria dell'autovalore u o u'. Quindi avrò:

In questo caso non sarà più una matrice diagonale ma sarà fatta in questo modo:

Dove α e ω sono rispettivamente parte reale e parte immaginaria dell'autovalore.

Ricavo allora:

Vado ora a calcolare la matrice esponenziale:

So dalla teoria che:

eA = P * eD * P-1

Quindi scriverò:

eA = P * eD * P-1

casa calcolare l'inversa della matrice e concludere i calcoli lasciati in sospeso. 163LEZIONE 9Riprendiamo alcune proprietà della matrice esponenziale e facciamo un duale dell'esponenziale scalare.L'esponenziale scalare è per definizioneL'esponenziale matriciale è invece per definizioneVediamo ora alcune proprietà che valgono per l'esponenziale scalare e vediamone l'equivalente perl'esponenziale matriciale.

1) Sappiamo che è banale dimostrare che per l'esponenziale matriciale si ha.È banale dimostrarlo perché se guardiamo la definizione, la matrice A viene0moltiplicata per 0 eccetto che per il primo termine per k=0, perché quando k=0 A è la matrice Identità,0t =1 e 0! =1 quindi l'unico termine non nullo della sommatoria è il primo che è la matrice identità.

2) La seconda proprietà dell'esponenziale scalare ci dice che nel caso

dimostrazione, consideriamo la matrice A e il suo esponenziale matriciale. Possiamo dimostrare che il prodotto commuta, quindi A può essere posizionata sia a destra che a sinistra.

La dimostrazione di questo caso è la seguente: 164 è una derivata di una sommatoria, quindi può essere espressa come la sommatoria di derivate. Nel termine a sinistra, possiamo semplificare il k del t con quello del fattoriale e quindi otteniamo t al numeratore e (k-1)! al denominatore.

Porto poi in evidenza la matrice A e posso posizionarla sia prima che dopo la sommatoria, perché all'interno della sommatoria la A è moltiplicata per scalari, quindi posso metterla prima o dopo la sommatoria senza che cambi nulla. Mettendola a sinistra della sommatoria, possiamo osservare che adesso la sommatoria parte da k=1 anziché da k=0.

Faccio ora un cambio di variabile e pongo k' = k-1 e ricavo:

A^t = Σ_k=1 (A^k-1 * t^k-1 / (k-1)!)

E questa è proprio la definizione di matrice esponenziale, quindi:

A^t = e^A*t

dimostrazione viene quindi implicitamente dimostrata anche la commutazione di A che sipotrà trovare a destra o sinistra dell'esponenziale.

3) Il prodotto di esponenziali scalare sarà uguale alla somma degli esponenti degli esponenziali scalari si traduce per esponenziali matriciali in una forma che vale solo se A e B sono della stessa dimensione perché se no la somma non sarebbe possibile, inoltre il prodotto tra A e B deve commutare. Quindi se siamo nelle ipotesi quindi A e B sono della stessa dimensione ed il loro prodotto commuta allora possiamo dimostrare che

4) La proprietà dell'esponenziale scalare si traduce per l'esponenziale matriciale come dove fare l'inversa della matrice esponenziale è uguale a fare la matrice esponenziale di -A. Quindi o facciamo l'inversa della matrice esponenziale oppure facciamo l'esponenziale della matrice cambiata di segno. Vediamone la dimostrazione.

165Se considerola matrice A commuta

trattare analiticamente.

JORDANIZZAZIONE n x n

Si abbia una matrice A in R e supponiamo che per tale matrice esista uno o più autovalori per i quali la molteplicità algebrica è strettamente maggiore della molteplicità geometrica m > m . Se siamo in ai gi questo caso non possiamo costruire una base di autovettori, perché ne abbiamo meno di quelli che ci servono non ne troveremmo n indipendenti e quindi non possiamo costruire la matrice modale e quindi non possiamo diagonalizzare la matrice.

Vogliamo ora trovare non più una forma diagonale essendo la matrice non diagonalizzabile ma una forma che sia la più semplice possibile in modo da consentirmi di costruire la matrice esponenziale. Questa forma cui vogliamo arrivare prende il nome di forma di Jordan che come vedremo a breve sarà una matrice diagonale a blocchi in cui i blocchi hanno una forma particolare ma che ci consente di calcolare la matrice esponenziale in forma generale.

Per fare

Generale l'autospazio generalizzato di ordine 1 si passa a considerare l'autospazio generalizzato di ordine successivo. Considero allora l'autospazio generalizzato di ordine 2.

L'autospazio generalizzato di ordine 2 possiamo osservare che include sicuramente l'autospazio generalizzato di ordine 1; quindi lo include strettamente, quindi la dimensione dell'autospazio di ordine 2 è strettamente più grande della dimensione dell'autospazio di ordine 1. Che l'autospazio 2 comprenda l'autospazio 1 è banale perché se consideriamo tutta la base del primo autospazio da u a u , so per definizione che 1 mgiae se provo a fare posso scrivere è uguale a zero perché sarà il Kernel del primo autospazio generalizzato; quanto fatto lo posso fare per tutti i vettori della base del primo autospazio. Se tutti i vettori della base appartengono anche all'autospazio di ord