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Fondamenti di misure elettroniche - valutazione dell'incertezza

Appunti di Fondamenti di misure elettroniche per l’esame del professor Angrisani. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'incertezza di misura e la sua valutazione, le attività collegate con le misure, le definizioni metrologiche, il misurando: grandezza fisica sottoposta a misurazione.

Esame di Fondamenti di misure elettroniche docente Prof. L. Angrisani

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nella quale COV Xi , Xj)

(

ρ Xi , Xj

( )= U Xi

( )∗U (Xj )

è il coefficiente di correlazione tra le due stime.

Queste legge nella forma più generale è anche conosciuta come legge di

propagazione dell’incertezza (LPU)

Esempio: potenza dissipata da un resistore

Si vuole valutare la potenza P dissipata ai capi di un resistore a cui è

applicata una tensione, ma non si dispone di un sistema per misurare

direttamente P . All’uopo si ricorda che: 2

V

P= R

ove V è la tensione applicata al resistore e R è la sua resistenza.

Disponendo di un sistema di misura che consente di valutare V e R , si potrà

allora calcolare, cioè “misurare indirettamente” tale potenza.

Supponiamo che per V e R siano state effettuate più misurazioni: da tali

valori si calcolano dunque i valori medi, ovvero le migliori stime di V ed R che

sono indicate con “v” ed “r”.

Di conseguenza la migliore stima di P ovvero “p”, sarà data da:

2

v

p= r

Per quanto riguarda l’incertezza associata a P si usa la legge di propagazione

delle incertezza nelle ipotesi di covarianza nulla ovvero:

2

∂P ∂P v v

u p V R V R)

( )= ( ) ( ) ( )

∗u + ∗u =2 ∗u + ∗u(

2

∂V ∂R r r

Il passo successivo potrebbe essere quello di considerare che il “modello

della misurazione” prevede la dipendenza di R dalla temperatura t , ovvero

R=R t

( )

[1+α −t ]

0 0

R t

ove è la resistenza alla temperatura e α è un coefficiente termico

0 0

che dipende dal materiale di cui è composta la resistenza in esame.

1.3.2: Limiti della legge di propagazione dell’incertezza

L’utilizzo dei metodi analitici visti in questo capitolo presuppone la

conoscenza di informazioni riguardanti le variabili aleatorie rappresentative

delle sorgenti d’errore che influenzano una misura Y. Essi possono essere

impiegati con successo quando gli algoritmi di misura non sono complessi, il

numero delle variabili in gioco non è elevato, i modelli sono lineari, e/o

quando non devono essere considerate, simultaneamente, differenti cause

d’incertezza.

L’approccio analitico rigoroso, basato sulla valutazione matematica del

momento

centrale del secondo ordine della grandezza d’uscita, non sempre può

essere

vantaggioso seppur sia possibile.

CAPITOLO 2

IL SUPPEMENTO 1 ALLA GUM

2.0: Introduzione alle simulazioni

numeriche

La necessità del dover utilizzare un metodo numerico per determinare

l’incertezza di misura è già stata sottolineata nei paragrafi precedenti. Il

motivo è principalmente dovuto al fatto che l’applicazione della GUM o di

altri metodi analitici può non essere ragionevolmente possibile in alcune

situazioni pratiche, a meno che non si introducano delle semplificazioni nei

modelli, che possono però portare a risultati non corretti.

In tali situazioni la simulazione numerica può costituire la strada da seguire

per raggiungere l’obiettivo che ci si prefigge. Affrontare un problema

mediante una simulazione numerica significa trattare il problema reale

mediante la sua riproduzione in un contesto controllabile. Le tecniche di

simulazione sono di concezione completamente diversa rispetto ai metodi

analitici. Le tecniche di simulazioni numeriche sono d’obbligo quando lo

scenario in cui agisce lo sperimentatore non può essere descritto

completamente e perfettamente mediante regole matematiche esatte .

Questo accade per esempio quando non tutte le variabili che concorrono

all’esperimento, in questo caso al processo di misura,

possono essere tenute sotto controllo poiché soggette a fluttuazioni casuali.

I vantaggi che può offrire un metodo di simulazione rispetto a un metodo

analitico

sono i seguenti:

la simulazione rende possibile l’analisi di sistemi complessi per i quali

• l’implementazione di metodi analitici richiederebbe notevoli sforzi e/o

semplificazioni non sempre accettabili;

attraverso le simulazioni è possibile studiare gli effetti di modifiche

• sulla struttura del sistema, alterando il modello e osservando gli

effetti;

l'osservazione dettagliata del sistema che si simula può portare ad una

• migliore comprensione del sistema stesso e suggerire miglioramenti di

questo che altrimenti non potrebbero emergere;

D’altro canto i metodi di simulazione presentano lo svantaggio di fornire un

risultato stimato ma non esatto e possono richiedere grandi sforzi di

implementazione ed elevati oneri computazionali. In ogni caso l’utilizzo delle

simulazioni piuttosto che dei metodi analitici può risultare comunque

vantaggioso, specie quando il modello abbia struttura troppo complessa per

consentire l’uso del metodo analitico esatto oppure quando esso richieda

assunzioni stringenti e difficilmente realizzabili.

Tra le simulazioni numeriche più usate e conosciute vi è la simulazione

Monte

Carlo (MCM). Le simulazioni Monte Carlo si riferiscono alla sperimentazione

mediante

l’utilizzo di numeri casuali. Queste sono rese possibili grazie allo sviluppo

dell’informatica ed alla disponibilità di strumenti di calcolo sempre più veloci

e meno

costosi.

La maggior parte dei principi alla base del metodo MCM possono essere

messi in luce considerando la simulazione del lancio di una moneta. La

simulazione dovrà utilizzare un generatore di numeri casuali con

distribuzione uniforme, per esempio tra 0 e 1, ed assegnare ad ogni

possibile numero un evento. Poiché per un singolo lancio la probabilità che

esca testa oppure croce è di 0.5, sarà attribuito a tutti i numeri da 0 a 0.5

l’evento testa, mentre ai numeri da 0.5 a 1 l’evento croce. In questa

maniera si potrà simulare il vero lancio della moneta ed affermare che è

uscita testa se il generatore di numeri casuali ha estratto un numero

inferiore a 0.5. Se si considera un numero N di estrazioni si noterà che se tale

valore è piccolo la stima delle probabilità di uscita di testa o croce sarà molto

distante da quello che è il valore atteso e inoltre anche con molti lanci della

simulazione si avrà un’oscillazione del valore di probabilità e mai un valore

preciso che si potrebbe ottenere solo per un numero infinito di estrazioni.

Questa considerazione è importante poiché fa comprendere l’importanza

anche del trovare il numero adeguato di test, in modo da poter ottenere

delle stime stabili ed attendibili dei

parametri cercati.

Ciascuna simulazione di ogni processo fornisce una stima per ogni parametro

che si vuole valutare e tali stime riflettono i valori dei numeri casuali estratti

durante la simulazione.

Il vantaggio principale di metodi MCM è legato alla possibilità di

implementazione diretta su calcolatore utilizzando opportuni software. Nel

caso in esame il programmatore del software deve inserire il modello di

misura e i parametri che definiscono le pdf delle grandezze in ingresso, ed il

software mediante la simulazione è in grado di determinare la pdf della

quantità d’uscita.

A partire dalla pdf della quantità d’uscita qualunque statistica può essere

ottenuta (deviazione standard, momenti di ordine superiore, ecc.), e

l’intervallo di copertura può

essere calcolato dalla distribuzione. Il metodo MCS può essere usato

indipendentemente dalla natura del modello lineare, debolmente

non-lineare o fortemente non-lineare. Il metodo non necessita di fare

assunzioni sull’ampiezza delle incertezze in ingresso né sulla distribuzione

d’uscita .

2.1: Il supplemento 1 alla GUM

La legge di propagazione si ottiene da una approssimazione di uno sviluppo

in serie di Taylor: infatti la non-linearità di f non deve essere significativa,

altrimenti nella legge di propagazione delle incertezze si devono includere

anche i termini di ordine superiore.

Un altro limite della LPU potrebbe essere il fatto di dover calcolare

ripetutamente i coefficienti di sensibilità, quindi derivate: è evidente che tale

metodo non si presta ad essere implementato tramite semplici algoritmi.

In generale è comodo applicare il metodo Montecarlo e non la LPU quando :

La pdf in uscita non è di tipo gaussiano e non vale il teorema del limite

• centrale,

Le incertezze in ingresso sono arbitrariamente grandi ,

• Il modello di misura è fortemente non lineare,

• Le pdf associate alle grandezze di ingresso sono di tipo asimmetrico,

• Le derivate parziali sono difficili da calcolare anche per via numerica.

La procedura viene applicata ad un modello avente un certo numero di

quantità di input e una singola (scalare) quantità di output (misurando). In

particolare, l’utilizzo della pdf per la quantità di output permette la

determinazione di un intervallo di copertura per quel determinato valore che

corrisponde ad un prefissato intervallo di copertura.

La tecnica della simulazione Montecarlo, in generale, fornisce una

soluzione semplice per modelli complicati o per modelli le cui quantità di

input hanno pdf asimmetriche. Il principio è quello di far propagare le

distribuzioni e non più l’incertezza.

2.2: Principi base

La tappa principale di questo approccio è divisa in 3 fasi : la formulazione ,

la propagazione e la sintesi.

Formulazione:

Definire la grandezza di uscita Y, la quantità che deve essere

• misurata(misurando);

Determinare le quantità di input da cui dipende Y;

• X X ; … . ; X

=( )

1 n

Sviluppare un modello relativo ad Y e a X;

• Assegnare una distribuzione , gaussiana, uniforme, alle variabili di

• ingresso dipendenti, e una distribuzione congiunta per le variabili di

ingresso indipendenti;

Propagazione: si propagano le PDF delle X attraverso il modello per

ottenere la PDF della Y;

Sintesi: Utilizzare la PDF di Y per ottenere :

La media di Y che è inteso come migliore stima della quantità

• La deviazione standard della Y che è presa come l’incertezza della Y,

• u(y);

L’intervallo di copertura, ovvero l’intervallo in cui può cadere Y e con

• la sua relativa probabilità.

Nota: la PDF di tipo Cauchy non ha l’espressione della deviazione standard,

in quel caso dunque sarà determinante conoscere l’intervallo di copertura di

Y.

2.3 Propagazione delle distribuzioni

In questo paragrafo viene proposto un metodo efficiente per determinare,

per via numerica le funzioni del tipo

η

∫ (2.3.1)

G η g z dz

( )= ( )

y y

−∞

Tale approccio si basa sul metodo Montecarlo che è un implementazione del

metodo delle propagazioni delle distribuzioni.

2.3.1 Implementazione del metodo della propagazione

delle distribuzioni

La propagazione delle distribuzioni può essere implementata in diversi modi:

Metodo analitico: che fornisce una rappresentazione matematica

• della PDF;

Propagazione delle incertezze: sostituendo al modello classico i

• termini di ordine superiore dello sviluppo di Taylor, è evidente che tale

approccio è comunque un approccio approssimato, in quanto la serie

comunque andrà troncata, tanti più termini si aggiungono, tanto più si

tende alla propagazione delle distribuzioni;

Metodi numerici che implementano la propagazione delle

• distribuzione, nel caso specifico il metodo Montecarlo

Chiaramente il metodo analitico è quello che non introduce alcun tipo di

incertezza, ma non sempre è percorribile vista la difficoltà di rappresentare

analiticamente ogni funzione. Quindi è applicabile solo nei casi più semplici.

Tali approcci sono solo uno diverso dall’altro, non esiste un approccio

migliore o peggiore, va scelto a seconda della situazione in cui ci si trova, è

da valutare quale approccio è più percorribile, se è possibile derivare e

calcolare i coefficienti di sensibilità oppure conviene sostenere un approccio

analitico(casi semplici) oppure optare per una risoluzione del problema via

numerica che di sicuro è il metodo più generale. Approcci diversi da quelli

della GUM sono comunque permessi dalla stessa.

Una schematizzazione a blocchi del modello di propagazione delle

distribuzioni è la seguente:

Figura 2.1 Illustrazione schematica della propagazione delle distribuzioni per

N=3 grandezze di ingresso indipendenti.

Figura 2.2 Illustrazione schematica a blocchi per legge di propagazione

dell’incertezza per N=3 grandezze di ingresso.

Nel caso di figura 2.1 le grandezze di ingresso sono distribuite, dalla prima

alla terza rispettivamente come gaussiana, triangolare e gaussiana, la

grandezza di uscita ha una distribuzione asimmetrica.

Anche dalla figura 2.2 si deduce che nella pratica solo per casi semplici il

modello della propagazione delle distribuzioni può essere applicato senza

approssimazioni.

Il metodo Montecarlo è un metodo sempre approssimato a differenza dei

metodi analitici che però sono usabili solo per sottoinsiemi piccoli di

problemi, è il metodo più usato e quindi il più valido.

2.4 Estrazione dei risultati

A seguito della propagazione delle distribuzione sono disponibili i seguenti

dati sul misurando

Una stima del valore del misurando;

• La deviazione standard;

• La probabilità in termini percentuali dell’intervallo di copertura;

• Gli estremi dell’intervallo;

• Ogni altra informazione sull’intervallo di copertura, se è simmetrico in

• termini probabilistici;

2.5 Approccio con il metodo Montecarlo e

passi principali

Come già menzionato nei precedenti paragrafi, il metodo Montecarlo offre

un metodo numerico che permette di ottenere una rappresentazione

G

numerica della distribuzione della grandezza di uscita.

(η)

y

Visto e considerato che media, varianza e intervallo di copertura vengono

estratti dalla G, è richiesto che la G venga calcolata con un basso grado di

approssimazione.

Media e varianza possono essere calcolati direttamente dalla serie dei valori

uscenti dopo opportune operazioni.

Una rappresentazione schematica dei principali passaggi del metodo

Montecarlo è mostrato nello schema che succede.

Figura 2.3 diagramma di flusso dell’implementazione del metodo

In questa rappresentazione passo-passo del modello si deduce che il modello

può essere descritto analiticamente in questo modo:

Selezionare il numero M di prove da effettuare;

• Generare M vettori ottenuti da un campionamento della PDF della

• variabili di ingresso;

Per ogni vettore formare il modello corrispondente della Y ottenendo

• cosi M modelli;

Ordinare i valori del modello in modo strettamente crescente,

• utilizzando i valori del modello per trovare la G;

Usare la G per stimare il valore atteso della Y e l’incertezza associata a

• Y;

Usare la G per determinare un opportuno intervallo di convergenza,

• con la relativa probabilità;

Nota: si ricorda che con G è indicata la rappresentazione della PDF

della Y

.6 Condizioni necessarie affinché il

2

metodo risulti valido

La propagazione delle distribuzioni con metodo Montecarlo può essere

applicato e ritenuto valido sotto opportune condizioni citate di seguito

La funzione f è continua rispetto a ogni elemento di ingresso in

• prossimità delle loro migliori stime;

La PDF di Y è :

• Continua quando è positiva,

1. Unimodale, ovvero avente un solo picco (la gaussiana è

2. unimodale)

Strettamente crescente a sinistra del picco, e strettamente

3. decrescente a destra del picco

Devono esistere sia media che varianza della Y,

• Bisogna usare un valore di M (prove) sufficientemente grande;

2.7:Implementazione del metodo

Innanzitutto il modello viene diviso in sottopassaggi, il primo dei quali consta

nel decidere il numero delle prove del metodo Montecarlo.

Numero di prove : in questa fase viene deciso il numero M minimo di

• prove ovvero il numero di valutazioni da effettuare. Esso può essere

scelto a priori nel caso non vi sia alcuna specifica o controllo sui

risultati forniti dal metodo Montecarlo. Risultati impirici dettano come

6 un numero M tale da fornire un intervallo di copertura del 95%

10

per la variabile di uscita.

Campionamento della distribuzione di probabilità: in questa fase

• nell’implementazione del metodo di Montecarlo vengono creati M

vettori che sono generati da un campionamento delle PDF delle

grandezze di ingresso.

Valutazione del modello: consiste nel valutare ogni singolo vettore

• associato alle PDF delle grandezze di ingresso. In altri termini si associa

ad ogni elemento del vettore l’immagine corrispondente attraverso f.

Rappresentazione in discreto della pdf di uscita: la rappresentazione in

• maniera discreta della distribuzione di probabilità della variabile di

uscita può essere ottenuta mediante i passaggi che succedono:

Ordinare i valori ottenuti nella fase di valutazione in modo non

1. decrescente(strettamente crescente);

Se necessario apportare piccole perturbazioni numeriche in

2. y

modo tale che due termini non siamo mai uguali, ma vi sia

r

sempre un termine maggiore dell’altro;

Considereremo G la nostra versione discreta della distribuzione

3. di probabilità;

Proprietà di normalizzazione: Dopo aver definito la rappresentazione

• discreta della PDF bisogna comunque conservare la proprietà di

normalizzazione della PDF, in altri termini bisogna rendere unitaria

l’area dell’istogramma, sempre che sia quest’ultimo la

rappresentazione grafica scelta.

stima della grandezza di uscita e dell’incertezza associata:

• la media è stimata mediante lo stimatore :

M

1 ∑ 2.7.1

Y y

=

M i

M i =1

La varianza è invece stimata con il seguente stimatore

M

1 ∑

2 2 2.7.2

u y y

( )= ( −Y )

r M

M −1 r =1

Equivalentemente si può usare la seguente formula che soffre meno

del problema di underflow o problema di cancellazione in quanto la

differenza di due numeri sufficientemente vicini risulta difficilmente

implementabile su poche cifre dopo la virgola, poichè la distanza

potrebbe essere minore della risoluzione del sistema e venir

considerato nullo.

M

M ∑

2 2 2 2.7.3

u y y

( )= −Y

r M

M −1 r =1

stima dell’intervallo di copertura: un intervallo di copertura della Y

• può essere determinato dalle descrizione in discreto della G;

Complessità di tempo: il tempo di calcolo del metodo Montecarlo è

• dato dalla somma di queste tra aliquote:

Tempo per implementare la fase di campionamento;

1. X

Tempo per valutare l’immagine di ogni tramite f;

2. i

Tempo impiegato per l’ordinamento in ordine non decrescente

3. y

dei valori ;

i

il primo punto (1) ha una complessità M il secondo punto (2) ha

complessità analoga, il terzo ha complessità M*log(M), quindi per un

sistema semplice (M piccolo) il tempo impiegato per eseguire il punto 3

risulta dominante rispetto ai punti precedenti;

2.8 Procedura adattativa del Metodo Montecarlo

L’idea che si ha nella procedura adattativa è quella di far determinare il

numero M di campioni casuali direttamente al sistema. La procedura del

Metodo Montecarlo viene definita adattativa perché ad ogni passo viene

fatto variare il numero di campioni in modo tale da riuscire ad ottenere

l’accuratezza richiesta. Un modo per valutare numericamente il numero di

campioni da prendere in esame per le grandezza in ingresso per tale

metodo è quello di partire da un numero relativamente basso di campioni e

aumentandolo fino a che a livello statistico la situazioni si stabilizzi ovvero si

arriva ad un punto dove il doppio della deviazione standard è minore della

tolleranza.

La tolleranza per un numero generico “z” è calcolata nel seguente modo, si

l

esprime z in forma decimale come segue e definiamo la

z=c∗10

1 l

δ=

tolleranza δ nel seguente modo : ∗10

2

Esempio: supponiamo di avere una massa di 0.00035 g, si scriva la massa

nella forma innanzi menzionata, : in questo caso la tolleranza sarà:

−5

35∗10

1 −5

δ= che è uguale a 0.00005;

∗10

2

l’obiettivo della procedura adattativa è quella di fornire una stima del

misurando, una stima dell’incertezza e l’estremo inferiore e superiore

dell’intervallo di copertura in modo tale da rispettare la tolleranza richiesta

per questi quattro valori.

Un approccio pratico del metodo è il seguente :

Scegliere un numero naturale N di cifre significative;

1. Fissare M in modo da rispettare il seguente vincolo:

2. 4 dove J è il più piccolo intero maggiore o uguale

M ⁡ J , 10

=max ( )

a 100/(1-p);

Impostare h=1 un indice che sta ad indicare la prima

3. applicazione del metodo Montecarlo;

Effettuare M prove del Metodo Montecarlo effettuare la fase di

4. campionamento e valutazione per ottenere il vettore Y;

Utilizzare i valori del vettore per calcolare media h-esima ,

5. varianza h-esima, estremo inferiore e superiore h-esima

dell’intervallo ;

Se h=1 ritorna al punto 4;

6. Calcolare la deviazione standard aggiungendo a tale operazione

7. volta per volta l’h-esima media (corrente) con il seguente

stimatore:

h

1 ∑ 2

(r) 2.6

s y y)

= ( −

y h(h−1) r =1

Dove h

1 ∑ i 2.7

y= y

h i =1

Calcolare quindi la deviazione standard degli estremi inferiori e

8. s , s , s

superiori e dell’incertezza ovvero ylow y high u (y)

Considerare tutti gli h*M numeri del modello per calcolare

9. l’incertezza di y;

Calcolare la tolleranza associata a u(y);

10. s , s , s s

Se il doppio di uno di questi quattro valori :

11. ylow y high u y

(y)

supera la tolleranza ritornare al punto d;

Superato il punto 11 si assume l’ultimo valore della media, della

12. varianza, e gli estremi degli intervalli come stima, incertezza e

intervallo di copertura dei valori attribuibili al misurando.

2.9 Validazione dei risultati

Come già detto in fase introduttiva il supplemento alla GUM contiene un

algoritmo per la convalida dei risultati. In questo paragrafo si propone un

modo per convalidare i risultati del metodo.

Con questo metodo ci si può aspettare di lavorare bene in determinate

condizioni, piuttosto che in altre, tuttavia non è sempre facile valutare se

tutte le condizioni sono favorevoli per applicare il metodo, addirittura

valutare tali condizioni potrebbero richiedere un costo computazionale

maggiore di quello richiesto per applicare il metodo stesso. In virtù di quanto

innanzi menzionato occorre quindi che eventuali situazione dubbie devono

essere convalidate.

Siccome il dominio di validità del metodo Montecarlo è più ampio rispetto al

quadro di incertezza della GUM si raccomanda di applicare sia il metodo

Montecarlo che il metodo di propagazione dell’incertezza e confrontare i

risultati, se i risultati di questi due metodi sono sufficientemente simili,

bisogna ricordarsi della situazione in modo che in futuro situazioni simili

saranno affrontate con il metodo Montecarlo, ritenendo tale situazione non

più dubbia.

In particolare si raccomanda di fare un confronto tra i due metodi in questo

modo:

Applicare la legge di propagazione dell’incertezza, non fermandosi al

• primo ordine per trovare l’intervallo di copertura e la relativa

probabilità associata, valor medio e incertezza;

Applicare la procedura adattativa del metodo Montecarlo in modo tale

• da trovare, l’intervallo di copertura e la relativa probabilità associata

e l’incertezza;

La procedura di confronto ha lo scopo di determinare se gli intervalli di

copertura ottenuta con il quadro di incertezza della GUM e quella del Metodo

Montecarlo differiscono tra di loro di un valore che rientra nella tolleranza

numerica stabilita.

La procedura è la seguente:

Determinare la tolleranza numerica δ associata alla descrizione in

• termini di cifre decimali dell’incertezza u(y) [par 2.8]

confrontare gli intervalli di copertura ottenuti dal quadro incertezza

• GUM MCM e valutare se lo scarto tra gli estremi di tale intervallo è

∣ ∣

d y−U y

minore della tolleranza ovvero = −

low p low

2.8

∣ ∣

d y y 2.9

= +U −

high p high

in pratica se d low, che è la differenza tra gli estremi inferiori degli intervalli

ottenuti rispettivamente con il metodo Montecarlo e con il quadro della GUM

è in valore assoluto minore della tolleranza il confronto è favorevole quindi

l’approccio classico della GUM risulta altresì valido.

NOTA: la GUM raccomanda di usare la procedura adattativa del metodo

Montecarlo per arrivare ad un numero di cifre decimali dell’incertezza tali da

garantire una tolleranza minore non di δ bensì di δ/5, è chiaro che per

diminuire la tolleranza quello che devo di sicuro aumentare è il numero M di

campioni casuali in ingresso. Sulla scorta di quanto innanzi menzionato si ha

che non tutti i sistemi siano in grado di poter sopportare una complessità di

calcolo cosi onerosa. CAPITOLO 3

APPLICAZIONE DEL METODO

: Taratura di una massa.

3.1 ρ

Si consideri il processo di taratura di una massa :sia W il suo peso e la

w

densità ,sia poi una massa campione di peso nominale R e di densità

ρ

nominale . Siccome in generale le due masse hanno densità diversa,

r

non posso essere trascurati gli effetti di galleggiamento,in accordo al

principio di Archimede, illustrato nel prosieguo.

ρ

Si supponga un fluido di densità e se ne consideri un volume di fluido V

a

incluso nel recipiente: si può dire sicuramente che il volume di fluido risulta

in equilibrio, quindi la forza peso sarà bilanciata da una forza uguale in

modulo ma di verso opposto che è appunto la forza di Archimede.

F gV

=ρ (3.1.1)

a a

Sostituendo al volume di fluido un volume di materiale diverso, nel caso

ρ

specifico si ha W

In questo caso la forza esercitata sul volume di materiale sarà data dalla

somma della forza peso e la forza di Archimede, ovvero:

F=F +P

a F=ρ gV ρ gV (3.1.2)

+

w a

ρ gV

ove il termine è la forza di Archimede.

a

Per quanto concerne la massa R, quella da tarare si ha che la forza

esercitata su di essa risulta essere :

F=ρ gV ρ gV (3.1.3)

+

R a

N.B. i valori della seconda massa sono diversi

Eguagliando le forze si ha che:

ρ gV ρ gV gV ρ gV

+ =ρ +

w a R a

da cui:

ρ gV gV

=ρ (3.1.4)

w R

Segue quindi: ρ ρ

( ) ( )

a a (3.1.5)

m g 1− g 1−

=m

w r

ρ ρ

w r

Semplificando g si ha: ρ ρ

( ) ( )

a a (3.1.6)

m 1− 1−

=m

w r

ρ ρ

w r δm

In realtà la massa da tarare ha un termine additivo alla massa di R

r

che serve per bilanciare le due masse:

m ρ

( )

a

r δm 1−

¿ +

(¿ )

r ρ (3.1.7)

r

ρ

( )

a

m 1− =¿

w ρ w

Di solito si è soliti lavorare con masse convenzionali. 3

La massa convenzionale di W è una massa con densità ρ Kg/m

=8000

0 3

che bilancia W in aria alla temperatura di 20°C con densità ρ kg m

=1.2 /

a0

m

Quindi la massa convenzionale di sarà:

w

ρ ρ

( ) ( )

a0 a0 (3.1.8)

m 1− 1−

=m

w Wc

ρ ρ

W 0

In questo caso sia la massa che la massa convenzionale si trovano nello

ρ

stesso fluido con densità a0

Quindi nel caso dell’espressione del bilancio della masse:

m (3.1.9)

=m +δ

W R r

Quindi in termini di masse convenzionali si ha:

m ρ

( )

a

Rc+δ 1−

¿

(¿ )

Rc ρ R

ρ a0

1− ρ (3.1.10)

R

ρ

( )

a

m 1−

Wc ρ w =¿

ρ a0

1− ρ w

Nella pratica si può utilizzare questa formula approssimata ovvero:

m 1 1

( )

Rc+ δ ρ

¿ ( )

(¿ )[1+ −ρ − ] (3.1.11)

Rc a a0 ρ ρ

w r

m =¿

Wc

Si impone: δ (3.1.12)

=m −m

M Wc nom

Dove :

m =100g

nom

Nel caso specifico: m

[ ]

1 1

( )

Rc+ δ 1+ ρ

¿ ( )

(¿ ) −ρ − −m (3.1.14)

Rc a a0 nom

ρ ρ

w r

m =¿

Wc

Si noti che non è possibile, o più precisamente è difficile applicare la legge di

propagazione dell’incertezza in quanto è oneroso derivare questa funzione e

quindi calcolare i coefficienti di sensibilità, si è indirizzati quindi verso l’uso

del metodo Montecarlo. m δm

Le sole informazioni che si hanno su e sono la migliore stima e

Rc Rc

l’incertezza associata, quindi la deviazione standard, in virtù di tale

considerazione si assume una distribuzione di tipo Gaussiana, in quanto

sinteticamente si caratterizza in questo modo ( con media e varianza).

ρ , ρ , ρ

Per quanto concerne le uniche informazioni che si hanno sono il

a W R

limite superiore e il limite inferiore di tale grandezze.

Sulla scorta dei dati in possesso ,citati nel capitolo1, si assume una

distribuzione uniforme dove i limiti superiori e inferiori sono gli estremi di

tale PDF.

Nella tabella che segue sono schematizzate le grandezze di ingresso e le

PDF assegnate. 2

Si noti che la distribuzione Gaussiana è descritta in termini di

N ,σ

(µ )

media µ e deviazione standard σ; mentre la distribuzione uniforme R(a, b) è

descritta dai due estremi, a, b; in termini di media ,e in termini di

b)

(a+ /2

semi-intervallo (b-a)/2.

Tabella 3.1 Dove le X sono le grandezze di ingresso;

Entrambe le procedure, ovvero sia il metodo Montecarlo che il quadro di

̂

δ δ

incertezza GUM, sono usati per valutare una stima di ;

m m

̂

δ u( δ

l’incertezza associata a ovvero e l’intervallo di copertura del

)

m

m

δ

95% di . I risultati ottenuti sono schematizzati in tabella 3.2 dove con

m

GUF sono indicati i risultati ottenuti mediante il quadro di incertezza GUM

1

con un troncamento della legge di propagazione dell’incertezza al primo

ordine, con MCM sono indicati i risultati ottenuti con la procedura adattativa

GUF

del metodo Montecarlo, con sono indicati i risultati ottenuti

2

mediante il quadro di incertezza GUM con un troncamento della legge di

propagazione dell’incertezza ad un ordine superiore al primo.

GUF , GUF e MCM

Tabella 3.2 Risultati ottenuti con metodo .

1 2

I risultati mostrano che anche se il quadro di incertezza GUM troncato al

δ

primo ordine e il metodo Montecarlo offrono stime di molto simili,

m

l’incertezza associata ai due metodi è sostanzialmente molto lontana, infatti

l’incertezza ottenuta mediante il MCM che risulta pari a 0.075 è

sostanzialmente il 40% in più rispetto a quella ottenuta mediante il metodo

di propagazione delle incertezze arrestato al primo ordine. Di fatto il metodo

di propagazione delle incertezza che sembrerebbe “meno incerto è in realtà

troppo ottimista”; mentre vi è una grossa similitudine tra i termini ottenuti

mediante la legge di propagazione delle incertezza arrestata ad un ordine

più elevato e il metodo Montecarlo.

Si può notare infatti che la legge di propagazione dell’incertezza troncata al

primo ordine è relativamente lontana dai risultati ottenuti dal Metodo

GUF

Montecarlo, infatti per quanto concerne la metodologia le quantità:

1

∣ ∣

d y−U y 3.15

= −

low p low

d y y

∣ ∣ 3.16

= +U −

high p high

che sono gli indicatori che determinano se il metodo può essere considerato

valido o meno, sono maggiori della tolleranza δ. GUF

Infatti come riportato in tabella il primo metodo, il non è considerato

1

valido, in accordo con quanto già detto nel paragrafo 2.9.

GUF

Per quanto riguarda il metodo ovvero considerando più termini della

2

legge di propagazione dell’incertezza si nota che i termini discriminanti

d e d sono sufficientemente minori della tolleranza.

low high

Questa cosa in accordo con quanto detto precedentemente e nel paragrafo

GUF

2.9 convalida il metodo .

2

Infatti tanti più termini della L.U.P aggiungiamo, tanto più si tende a una

propagazione delle distribuzioni.

Nella figura che segue si mostra una approssimazione della distribuzione per

δ ottenuta dapprima con la legge di propagazione dell’incertezza e poi

m

con il metodo Montecarlo tagli G la curva continua rappresenta una

PDF normale con i parametri presi dalla legge di propagazione delle

GUF

incertezze, ovvero i risultati della . La coppia di linee verticali

1 δ

tratteggiate indica gli estremi dell’intervallo di copertura del 95% per m

basandosi sulla PDF gaussiana.

L’istogramma è la rappresentazione della PDF ottenuta con il

metodo Montecarlo, in questo caso la coppia di linee verticali continua

δ

indica gli estremi dell’intervallo di copertura al 95% per però questa

m

volta si basa sulla rappresentazione discreta della PDF di uscita.


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Peppew90

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corsi di laurea magistrale in ingegneria elettronica
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Peppew90 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di misure elettroniche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Angrisani Leopoldo.

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