Fondamenti di misure elettroniche - valutazione dell'incertezza

S

Il rapporto tra le potenza Y può essere riscritto come segue:

2

∣ ∣

Г

(1− ) 2

M ∣ ∣

1−Г Г

∗ S G

2

∣ ∣

Г

(1− )

S

Y = 2

∣ ∣

1−Г Г

M G

3.18

Si supponga per semplicità che il coefficiente di riflessione del misuratore

standard che il generatore di segnali abbiano coefficiente di riflessione nullo

ovvero:

Г 3.19

=Г =0

S G

In accordo con l’espressione della Y si ha che:

2 3.20

∣ ∣

Y Г

=1− M

In base alla definizione del coefficiente di riflessione riportato in appendice è

noto che esso è una quantità complessa ovvero avente parte reale e parte

immaginaria:

Г j X 3.21

=X +

M 1 2 ∈

X , X R

Con ;

1 2

quindi il modulo quadro del coefficiente di riflessione del misuratore a

microonde sarà:

2 2 2 3.22

∣ ∣

Г X

=X +

M 1 2

A questo punto il rapporto di potenze che corrisponde al modello funzionale

in esame sarà:

2 2 3.23

Y =1−X −X

1 2 2

Siccome i termini con i=1, 2; sono molto piccoli se confrontati con

X i

l’unità, come variabile di uscita non si considera Y bensì :

2 2 3.24

1−Y X

=δ=X +

1 2

A questo punto essendo le due variabili aleatorie la parte reale e la parte

immaginaria di una stessa variabile aleatoria si ha che esse di sicuro sono

correlate, possono essere quindi generate da una bivariata gaussiana

definita sinteticamente dal vettore delle medie e dalla matrice di covarianza,

variando i valori medi e i termini della matrice di covarianza.

I termini caratterizzanti sono così definiti:

[ ]

x

X 1

= vettore delle medie.

x 2

[ ]

2

u r u x u(x

( )

(x ) )

1 1 2 matrice delle covarianze.

2

r u x u( x u x

( ) ) ( )

1 2 2 x

In questa rappresentazione matriciale si è indicato con le migliori stime

i

X

delle variabili aleatorie mentre con r si è indicato il coefficiente di

i

r=r , x

correlazione la cui definizione è riportata in appendice, con

(x )

1 2

2 u x

viene indicata la varianza, chiaramente i termini ( )

u (x ) i

i

rappresentano le deviazioni standard.

Adesso si iniziano a variare i parametri della matrice delle covarianze e del

vettore delle medie, considereremo sei casi:

x ; u x x ; r=0 ;

Primo caso : ( ) ( )

=x =0 =u =0.005

1 2 1 2

x 010 x u x x r=0 ;

Secondo caso : ( ) ( )

=0, =0; =u =0.005;

1 2 1 2

x 050 x u x x r=0 ;

Terzo caso : ( ) ( )

=0, =0; =u =0.005;

1 2 1 2

x ; u x x ; r=0, 9 ;

Quarto caso : ( ) ( )

=x =0 =u =0.005

1 2 1 2

x 010; x u x x r=0, 9 ;

Quinto caso : ( ) ( )

=0, =0; =u =0.005;

1 2 1 2

x 050; x u x x r=0, 9 ;

Sesto caso : ( ) ( )

=0, =0; =u =0.005;

1 2 1 2

Per i casi in cui il coefficiente di correlazione r è nullo (caso 1, caso 2, caso

3), la matrice delle covarianze per come è definita diventa una matrice

diagonale e la distribuzione di probabilità associate risulta pari al prodotto di

due gaussiane normali univariate con media e varianza relative alle due

variabili aleatorie.

CASO 1: In questo esempio si valuterà sia l’incertezza mediante il metodo

Montecarlo, sia con la propagazione dell’incertezza e in modo analitico.

Analiticamente, si può calcolare la migliore stima di δY ovvero δy e

l’incertezza associata u(δy) come la media e la varianza che caratterizza la

distribuzione che caratterizza δY.

Per quanto riguarda le legge di propagazione dell’incertezza, il legame

funzionale in esame è il seguente :

2 2 3.25

δ=X X

+

1 2

La legge di propagazione delle incertezze arrestata al primo ordine, è la

seguente:

∂δ ∂δ

u δ X X

( ) ( )

( )= 3.26

∗u + ∗u

1 2

∂ X ∂ X

1 2 X x

Dove la prima derivata è valutata nella migliore stima di ovvero

1 1

discorso analogo per la seconda derivata; risulta quindi:

u δ x 005)+ 2 x 005) 3.27

( ) =2 (0, (0,

1 2 x

Quindi essendo nulle le è nulla l’incertezza. Questo non vuol dire che

i

essa sia effettivamente zero, ma solo che il modello di approssimazione al

primo ordine non è sufficiente e bisognerebbe ricorrere all'approssimazione

del secondo ordine in cui compaiono le derivate parziali seconde del

modello.

Infatti : [ ]

2 2 2

∂δ ∂δ 1 ∂ δ ∂ δ ∂ δ

2 2

u δ X X X X X u X

( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∗u + ∗u + ∗u + ∗u +2 ∗u 3

1 2 1 2 1 2

12 22

∂ X ∂ X 2 ∂ X ∂ X

∂ X ∂ X

1 2 1 2

.28

In questo caso i primi due termini sono nulli come nel caso di sopra, mentre

i termini che restano sono numericamente

2 2 −5 −6

u δy 005) 0,005)

( ) =2(0, +2( =5∗10 =50∗10

La figura di seguito mostra una rappresentazione grafica dei tre risultati,

ottenuti rispettivamente con il metodo analitico, usando il quadro di

incertezza GUM e con il metodo Montecarlo.

Risultati per il modello di calibrazione di un misuratore di potenza a

x ; u x x ; r=0 ;

microonde nel caso in cui ( ) ( )

=x =0 =u =0.005

1 2 1 2

La soluzione analitica è quella che decresce per valori di δ>0 es è nulla per

valori di δ negativi, la curva a campana è quella che è venuta fuori usando

la legge di propagazione dell’incertezza;

Gli istogrammi invece rappresentano i risultati venuti fuori con il metodo

Montecarlo. 2

In realtà il risultato analitico altro non è che la distribuzione (chi

χ

quadrato vedere appendice ) che è proprio la distribuzione che descrive la

somma dei quadrati di due variabili aleatorie indipendenti che hanno una

distribuzione di probabilità normale.

La soluzione ottenuta con la legge di propagazione dell’incertezza è molto

diversa rispetto alla soluzione analitica, un lettore poco attento potrebbe

attribuire tale discordanza al troncamento della serie al secondo ordine, in

realtà eventuali termini aggiunti di ordine superiore non porterebbero

informazione in quanto le derivate di ordine maggiore sarebbero nulle.

Quindi in definita il risultato ottenuto con la legge di propagazione delle

incertezza è un risultato esatto e non approssimato.

Sempre dal grafico si evince che il metodo Montecarlo arriva ad un risultato

coerente e molto simile con il risultato analitico che è quello senza alcun

incertezza.

Riassumendo si è ottenuto che, la migliore stima di δy calcolata con il GUM

framework è nulla, questa cosa è osservabile dalla distribuzione in figura ,

la migliore stima di δy calcolata con il metodo Montecarlo, coincide con la

migliore stima trovata analiticamente che risulta essere ; mentre

−6

50∗10

per quanto concerne le incertezze, l’incertezza relativa a δy calcolata con la

LPU al primo ordine è 0, l’incertezza relativa a δy calcolata con la LPU al

secondo ordine è infine l’incertezza relativa a δy calcolata con

−6

50∗10

il metodo Montecarlo è ;

−6

50∗10

CASO 2: x 010 x u x x r=0 ;

In questo caso abbiamo che : ( ) ( )

=0, =0; =u =0.005;

1 2 1 2

In questo esempio valuteremo sia l’incertezza mediante il metodo

Montecarlo, sia con la propagazione dell’incertezza e in modo analitico.

Analiticamente, si può calcolare la migliore stima di δY ovvero δy e

l’incertezza associata u(δy) come la media e la varianza che caratterizza la

distribuzione che caratterizza δY.

Per quanto riguarda le legge di propagazione dell’incertezza, il legame

funzionale in esame è il seguente :

2 2 3.29

δ=X X

+

1 2

La legge di propagazione delle incertezze arrestata al primo ordine, è la

seguente:

∂δ ∂δ

u δ X X

( ) ( )

( )= ∗u + ∗u 3.30

1 2

∂ X ∂ X

1 2 X x

Dove la prima derivata è valutata nella migliore stima di ovvero

1 1

discorso analogo per la seconda derivata; risulta quindi:

u δ x 005)+ 2 x 005)

( ) =2 (0, (0,

1 2

x

Quindi la e nulla perciò è nullo il primo termine, mentre il secondo

1 x

termine essendo risulterà che l’incertezza sarà:

=0.010

2

−4 −6

u δ

( ) =1∗10 =100∗10

Nel caso precedente la legge di propagazione delle incertezze troncata al

primo ordine non era applicabile in quanto dava incertezza nulla, si è

appunto usato un approccio del secondo ordine, che poi si è visto visto

essere un approccio preciso e non troncato in quanto derivate di ordine

superiore risultavano nulle. [ ]

2 2 2

∂δ ∂δ 1 ∂ δ ∂ δ ∂ δ

2 2

u δ X X X X X u X

( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∗u + ∗u + ∗u + ∗u +2 ∗u 3

1 2 1 2 1 2

2 2

∂ X ∂ X 2 ∂ X ∂ X

∂ X ∂ X

1 2 1 2

1 2

.31

I risultati per compattezza verranno riportati nella tabella successiva.

CASO 3: x 050 x u x x r=0 ;

In questo caso si ha che che : ( ) ( )

=0, =0; =u =0.005;

1 2 1 2

Analiticamente, si può calcolare la migliore stima di δY ovvero δy e

l’incertezza associata u(δy) come la media e la varianza che caratterizza la

distribuzione che caratterizza δY.

Per quanto riguarda le legge di propagazione dell’incertezza, il legame

funzionale in esame è il seguente :

2 2

δ=X X

+

1 2

La legge di propagazione delle incertezze arrestata al primo ordine, è la

seguente:

∂δ ∂δ

u δ X X

( ) ( )

( )= ∗u + ∗u

1 2

∂ X ∂ X

1 2 X x

Dove la prima derivata è valutata nella migliore stima di ovvero

1 1

discorso analogo per la seconda derivata; risulta quindi:

u δ x 005)+ 2 x 005)

( ) =2 (0, (0,

1 2

Dove il secondo termine è nullo e il primo è proprio il risultato cercato

quindi : −4 −6

u δ

( ) =5∗10 =500∗10

In tabella sono riportati i risultati delle valutazione mediante il metodo

Montecarlo (M), il metodo analitico che di sicuro è quello privo di incer