Fondamenti di misure elettroniche - valutazione dell'incertezza

CAPITOLO 1

L’INCERTEZZA DI MISURA E LA SUA

VALUTAZIONE

1.0: Introduzione

Le operazioni e le attività collegate con le misure rivestono un ruolo di primo

piano nel mondo industrializzato. Le misure sono importanti nei processi

industriali,

nelle attività progettuali e produttive, nella valutazione dello stato

dell’ambiente e di

eventuali pericoli per l’uomo, ecc. Le misure hanno pertanto un indiscusso

ruolo

interdisciplinare e sono in continuo aumento, le aree dove si sente

l’esigenza di

sviluppare nuovi metodi di misura, sono ad esempio il controllo di qualità,

la diagnostica

medica, la bioingegneria, le nanotecnologie, ecc.

Per questi motivi, la determinazione dell’incertezza che inevitabilmente

influenza

tutte le misure è un compito delicato, anche in vista del suo successivo

impiego pratico,

ad esempio nelle verifiche di conformità in campo tecnico, commerciale o

legale.

In questo capitolo, sono introdotti i concetti ed alcune definizioni basilari del

mondo della metrologia. Inoltre, sono illustrate le procedure da seguire in

ogni processo

di valutazione dell’incertezza di una misura.

1.1: Definizioni Metrologiche

In questo paragrafo si vogliono fornire alcune definizioni formali di

metrologia , in accordo ai più importanti standard e alle più importanti norme

europee.

Definizione 1.0 Misurando: grandezza fisica sottoposta a misurazione

Definizione 1.1 Misurazione : processo che porta alla valutazione

oggettiva del misurando

Definizione 1.2 Misura: risultato della misurazione

Più in generale, misurare vuol dire valutare quantitativamente una grandezza

fisica detta misurando, mediante una grandezza fisica ad essa omogenea, il

campione

Il campione deve godere di tre proprietà fondamentali e caratterizzanti,

deve essere assoluto, stabile, riproducibile e disseminabile.

Sulla scorta delle definizioni innanzi menzionate si ricorda che esse non sono

uniche; infatti la norma UNI4546 (Ente Nazionale Italiano di Unificazione)

definisce la misura in questo modo:

Definizione 1.2.1 Misura(UNI4546): Informazione costituita da un

numero, una incertezza, ed un unità di misura, che ha il compito di

rappresentare una grandezza in un determinato stato del sistema.

Il numero esprime in maniera quantitativa il valore della grandezza fisica e

fornisce quante volte il misurando è rapportato al campione, mentre l’unità

di misura è il termine di riferimento adottato per convenzione, per

confrontare una grandezza ad una ad essa omogenea.

Definizione 1.3 Incertezza: è un indice della qualità della misurazione,

rappresenta “il grado di indeterminazione” con il quale il processo di misura

ha ottenuto il risultato. In altre parole associa al risultato della misurazione

un indicazione sulla dispersione dei valori che possono essere attribuiti al

misurando.

Una misura si esprime nel seguente modo

tensione=100 ±1 volt V

(???)

ove il termine che si aggiunge/sottrae è il termine di incertezza.

Le operazioni di misurazioni sono tutte inevitabilmente affette da incertezze

ovvero , da un grado di “indeterminazione”.

Ogni certificazione di misura deve attenersi nell’espressione dell’incertezza

ad un documento approvato dall’UNI, la GUM (“guide to the expression of

uncertaintly in measurement”).

Più in generale è facile rendersi conto che l’incertezza di misura nasce dai

contributi che seguono. Il primo sta proprio nel fatto che la GUM definisce

quantitativamente il misurando non con un intervallo di valori, ma con un

unico valore. (Assunzione 1).

E’ immediato rendersi conto che il misurando per propria natura nel tempo

h

cambia le proprie caratteristiche, ( di un transistor, lunghezza dei

fe

metalli per dilatazione termica) e questo ne determina una certa incertezza

di misura.

Un secondo contributo di incertezza è associato al sistema di misura, che

sicuramente sarà il contributo dominante.

La GUM assume il risultato del sistema di misura come una variabile

aleatoria cosi definita:

y=Y (Assunzione 2)

+ε

M

ove y è il risultato della misurazione , Ym è il valore del misurando che è

unico per la “assunzione 1” ed ε è il termine che porta in conto della non

idealità del sistema di misura, l’errore.

Dalla definizione innanzi menzionata si evincono le profonde differenze tra

incertezza ed errore: un esempio a tal proposito è che l’errore può essere sia

negativo che positivo a differenza dell’incertezza che è un parametro non

negativo.

Esistono due differenti contributi di errore:

L’errore aleatorio(o casuale) : è qualsiasi errore in fase di

misurazione che può incidere con la stessa probabilità in aumento o in

diminuzione sul valore misurato. Dalla definizione segue che una serie

ripetuta di misurazioni comporta la progressiva riduzione dell'errore casuale,

poiché i singoli scostamenti si annullano reciprocamente. In termini

probabilistici si dice che tale errore è una variabile aleatoria(giusto?) a

media nulla.

L’errore sistematico: è qualsiasi errore che si discosta dal valore del

misurando sempre in maniera costante e con lo stesso segno. Cause

dell'errore strumentale possono essere l'utilizzo di uno strumento difettoso,

alterato o mal tarato. Un esempio banale è rappresentato da

un calibro(strumento di misura della lunghezza) utilizzato in un ambiente con

una temperatura significativamente differente da quelle di taratura ,

con conseguente dilatazione e alterazione del valore misurato.

Un altro esempio banale ma ordinario è l’errore commesso dal salumiere, in

quanto ad ogni misurazione aggiunge sulla bilancia il piatto contenente il

salume: in quel caso ogni misura avrà in conto un termine additivo pari al

peso del piatto contenente il salume. Una possibile correzione dunque

sarebbe tarare la bilancia in presenza del piatto. Per ridurre l'errore

sistematico, bisogna semplicemente cambiare o tarare nuovamente lo

strumento.

Si supponga ora di modellare il risultato della misurazione con una variabile

aleatoria di tipo gaussiana e di osservare come insistono i due errori:

Figura (1.1): curve gaussiane centrate in Ym

Le tre curve centrate in Ym mostrano come errori aleatori più insistenti

tendono a “gonfiare” la campana di Gauss mentre la curva traslata

rappresenta la distribuzione della variabile aleatoria affetta da errore

sistematico. E’ chiaro dunque che effettuando misurazioni ripetute si

riescono a correggere solamente gli errori aleatori ma non quelli sistematici.

A tal proposito la GUM fa un’altra assunzione (assunzione 3): “ il risultato

della misurazione deve essere corretto per tutti gli effetti sistematici

riconosciuti e ogni sforzo deve essere fatto per identificare tali effetti”

Cosi facendo il risultato della misurazione sarà del tipo :

y=Y +ε

M a

Effettuando misurazioni ripetute, e calcolando la media della variabile

aleatoria in oggetto, in virtù della proprietà di linearità della media statistica,

si ha che

E[ y ]=Y M

ove con E[y] si è indicato l’operatore di media statistica.

1.2 : Valutazione delle incertezza

La GUM classifica le incertezze nelle categorie A e B in base al metodo

utilizzato per stimarle. Precisamente, sono di categoria A quelle valutate

per mezzo dell’analisi statistica di serie di osservazioni e l’incertezza viene

determinata dallo stesso esperimento o misurazione che si sta effettuando.

Sono invece di categoria B le incertezze valutate con mezzi diversi, ad

esempio attraverso dati di misurazioni precedenti, specifiche tecniche

dichiarate dal costruttore, dati forniti in certificati di taratura o altri,

incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.

1.2.1: Incertezza di tipo A

La valutazione di categoria A dell’incertezza può essere ad esempio

applicata quando sono state fatte diverse osservazioni indipendenti, per le

quali la distribuzione di probabilità è determinata con un criterio “statistico”.

Se il processo di misurazione ha sufficiente risoluzione, si osserverà una

dispersione dei valori ottenuti. Per esse, la migliore stima del valore q è data

dalla media delle N osservazioni indipendenti q effettuate e prende il nome

di “valore atteso sperimentale” o “media aritmetica” q dei valori delle

singole osservazioni

ovvero : N

1 ∑

Q Q

=

M i

N i=1

mentre per quanto riguarda l’incertezza viene assunta pari allo scarto

quadratico medio, ovvero la radice quadrata positiva della varianza così

definita facendo ausilio degli stimatori:

Q

N

1 2

∑ i−Q

¿

(¿ )

M

N −1 k=1 2

s= ¿

√

1.2.2: Incertezza di tipo B

L’incertezza di tipo B può essere stimata senza la necessità di dover

effettuare una ripetizione di misure, ma utilizzando semplicemente certificati

di taratura, specifiche tecniche dichiarate dal costruttore, dati presi da

manuali, la conoscenza del modello utilizzato per descrivere i fenomeni che

intervengono nella misura e così via.

Nell’incertezza di tipo B è fondamentale l’esperienza dell’operatore che,

dall’analisi del processo di misura, valutando le diverse cause di incertezza,

riesce a valutare l’intervallo entro il quale il risultato della misura può

plausibilmente presentarsi. Associando quindi, in modo logico, una specifica

densità di probabilità a tale intervallo, è possibile determinare l’incertezza di

tipo B, uB(Y).

Nel caso in cui l’insieme di valori della variabile d’uscita non possa essere

descritto mediante una distribuzione gaussiana ma, ad esempio, uniforme o

triangolare, questa potrà essere determinata utilizzando le formule del

calcolo probabilistico illustrate nel prosieguo della trattazione.

In sintesi , si assume una distribuzione di probabilità, stimando media e

varianza con le relazioni che discendono dalla teoria probabilistica. La scelta

della distribuzione è legata ai dati in possesso come quelli forniti in allegato

allo strumento dal costruttore, dati dettati dall’esperienza e sulla

conoscenza globale del problema, come già discusso in precedenza.

Un primo esempio è le distribuzione Gaussiana che si usa in generale quando

è maggiore la probabilità di trovare valori prossimi al valor medio che invece

più discostanti

Figura (1.2.2.1): distribuzione gaussiana centrata su µ

La distribuzione di probabilità della variabile aleatoria di tipo gaussiano è

rappresentata dalla seguente relazione esponenziale:

2

x−µ

−1

1 ( )

2 δ

p x e

( )= √ 2π

nella quale: (??? Giusto?)

+∞

∫

2 2

δ x−µ) p x dx

( )

= (

−∞

In questo caso .

u x x)

( ) =δ(

Un'altra distribuzione altrettanto usata e la rettangolare ,nel momento in cui

si conoscono i limiti di variazione del misurando e la probabilità è la stessa

per ogni valore di tale intervallo

Figura(1.2.2.2):distribuzione rettangolare

{ 1 x

∧a< <b

f x

( )= 2( b−a)

0∧altrimenti

2(b−a) b−a

u x x

( ) ( )=

=δ =

√ √

12 3

Un'altra distribuzione è quella a U che si usa quando la probabilità di trovare

risultati vicini agli estremi è maggiore di trovare risultati vicino al valor medio

(es. vibrazioni o fenomeni ad andamenti sinusoidali)

Figura (1.2.2.3):distribuzione ad U

Per essa vale che:

a

u x x

( ) ( )=

=δ √ 2

1.2.3:Incertezza relativa

Le incertezze viste in precedenza sono incertezze assolute , e come tali

forniscono un’informazione limitata sull’effettiva qualità di una misura: ad

esempio, una stessa incertezza di 1 Ω sul valore della resistenza di un

resistore da 10 Ω e di uno da 10 kΩ influisce in modo ben diverso sulla

qualità delle due misure. Per questa ragione, si

usa spesso indicare non tanto le incertezze assolute quanto le incertezze

relative , definite come:

u x

( )

u x

( )=

r x

∣ ∣

ove x è la migliore stima del misurando e u(x) è l’incertezza assoluta di X.

u x

Poiché generalmente il valore di è piccolo, lo si indica con una cifra

( )

r

significativa e la potenza negativa di dieci.

Ad esempio se x=40.26 ed u(x)=0.03 allora l’incertezza relativa sarà data

u

dal rapporto di queste grandezze ovvero =0,03/40,26≈0,0007 ovvero

(x )

r

−4

u x

( )=7∗10

r

Un altro metodo è quello di moltiplicare il risultato ottenuto per 1000 e

comunicare il tutto in “per mille” ovvero nel caso in esame 0,7 ‰ oppure

5

moltiplicando il risultato per e comunicare il risultato in parti per

10

milione ovvero nel caso in esame 700 ppm.

1.2.4: Incertezza estesa

Sebbene l’incertezza composta sia utile per esprimere l’incertezza per molti

risultati di misurazione, per alcune applicazioni commerciali, si richiede un

valore dell’incertezza che definisca un intervallo per i risultati delle

misurazioni che possa contenere la maggior parte dei valori ragionevolmente

attribuibili al misurando.

Tale incertezza è dette incertezza estesa.

U=k∗u y)

(

c

ove k è detto fattore di copertura.

Conoscendo la distribuzione del misurando, è possibile esprimere

l'incertezza indicando l'intervallo di copertura costruito intorno al risultato di

misurazione. In questo modo il valore misurato appartiene all'intervallo con

una data probabilità, chiamata livello di fiducia .

y−U ≤ Y ≤ y +U

Se gli effetti casuali che influiscono la misurazione hanno la distribuzione

normale, la probabilità che il valore vero del misurando è compreso

nell'intervallo di fiducia è di circa 68,3% per , 95,4% per e

99,7% per .

1.3:Modello del processo di misura

La guida GUM si applica sia alle misure ottenute per via diretta sia a quelle

ottenute per via indiretta ovvero a quelle misure in cui il misurando Y è

legato tramite

una relazione funzionale f ad N grandezze X1, X2, ...., XN secondo il

seguente legame :

Y X , X , X , … , X

=f ( )

1 2 3 n

La funzione f , che rappresenta, nello stesso tempo, la procedura di

misurazione e il metodo di valutazione, può essere determinata o per via

sperimentale o mediante un algoritmo numerico. La funzione f sarà

considerata nel senso più ampio possibile, ossia tenendo conto di tutti quei

fattori che possono originare una componente di incertezza non trascurabile

sul risultato della misurazione.

I valori di ingresso a loro volta possono essere viste come misurandi, ovvero

possono esse stesse dipendere da altre grandezze di influenza: a questo

punto la stima dell’uscita, ovvero la stima del misurando ovvero il punto

centrale dell’intervallo sarà

Y X , X , X , … , X

( )

=f 1 2 3 n

avendo cura di mettere al posto delle X le rispettive migliori stime.

L’incertezza associata a Y in questo caso si chiamerà incertezza standard

combinata: standard, con esplicito riferimento alla deviazione standard,

combinata essendo combinazione delle singole grandezza X.

1.3.1: Incertezza combinata

Il termine “combinata” predice in qualche misura una relazione in cui

l’incertezza di uscita sia data da una combinazione delle incertezze delle

grandezza di ingresso. In particolare è data dalla radice quadrata positiva

della varianza combinata Uc(y) definita della relazione che segue:

N N 2

∑ ∑

2 2

Uc( y Ui( y) Xi

( ))

) = = (Ci∗U (1.3.1.1)

i=1 i=1

∂f

Ci=

ove il termine da valutare nelle migliori stime delle grandezze di

∂ Xi

ingresso è detto coefficiente di sensibilità.

Il coefficiente di sensibilità è indicativo di quanto la stima d’uscita y è

influenzata dalle variazioni della stima di ingresso x .

i

L’utilizzo di tale espressione è corretto solo se tutte le grandezze in gioco per

ricavare il risultato y del processo sono fra loro non correlate e indipendenti.

All’uopo si ricorda che due v.a statisticamente indipendenti sono anche

incorrelate, ma il viceversa non è detto.

Quando le grandezze di ingresso sono correlate, l’espressione modificata per

la varianza composta Uc(y)^2 associata al risultato di una misurazione è:

N N N−1 N

2

∑ ∑ ∑ ∑

2 2

Uc( y Ui( y) Xi Ci∗Cj∗U Xi Xj Xi , Xj)(1.3.1.2)

( )) ( )∗U ( )∗ρ(

) = = (Ci∗U +2

i=1 i=1 i=1 J=1

nella quale COV Xi , Xj)

(

ρ Xi , Xj

( )= U Xi

( )∗U (Xj )

è il coefficiente di correlazione tra le due stime.

Queste legge nella forma più generale è anche conosciuta come legge di

propagazione dell’incertezza (LPU)

Esempio: potenza dissipata da un resistore

Si vuole valutare la potenza P dissipata ai capi di un resistore a cui è

applicata una tensione, ma non si dispone di un sistema per misurare

direttamente P . All’uopo si ricorda che: 2

V

P= R

ove V è la tensione applicata al resistore e R è la sua resistenza.

Disponendo di un sistema di misura che consente di valutare V e R , si potrà

allora calcolare, cioè “misurare indirettamente” tale potenza.

Supponiamo che per V