Fondamenti di misure

Fondamenti di misure

Partendo dal presupposto che i termini misura e misurazione non indicano lo stesso concetto, questo corso si propone di individuare le basi teoriche per la scienza della misurazione e dell’interpretazione delle misure.

Definizione di measurement e quantity

Partiamo col dare la definizione di measurement: processo mediante il quale si ottengono sperimentalmente uno o più quantity values che possono essere ragionevolmente attribuite ad una grandezza.

Diamo ora una seconda importante definizione: diremo quantity la grandezza fisica a cui applichiamo il processo di misurazione, viceversa chiameremo parametro una grandezza che non è fisica ma che può comunque essere oggetto di misurazione. Dunque il quantity values è il valore associato ad una grandezza fisica a cui ho applicato il processo di misurazione. I quantity values confluiscono poi nel concetto di misura, la quale è identificata con un numero consistente di quantity values, vedremo poi essere un certo intervallo.

Tipologie di grandezze fisiche

Passiamo ora a distinguere le grandezze fisiche in due differenti tipologie:

• Base quantity: con cui indichiamo una grandezza che è indipendente dalle altre prima definite. Si può anche dire che esse hanno vita propria.
• Derived quantity: con cui indichiamo le grandezze che basano la propria misurazione sulle base quantity e si dice che da esse sono dipendenti.

Sistema internazionale delle misure

Introduciamo ora il Sistema Internazionale delle Misure che identifica 7 grandezze fondamentali al partire delle quali si possono misurare tutti i fenomeni fisici. Ovvero una combinazione di tali grandezze permette di valutare i più disparati fenomeni fisici.

• Massa
• Lunghezza
• Tempo
• Corrente elettrica
• Mole di sostanza
• Temperatura
• Luminosità

Queste grandezze hanno inoltre la caratteristica di individuare una certa verticalizzazione del concetto di misurazione, in modo tale da coprire la totalità dei fenomeni misurabili.

Concetto di misurazione

Torniamo ora al concetto di misurazione: esso rappresenta un processo di confronto e si può schematizzare secondo il seguente modello esplicativo:

Il misurando è banalmente la quantità che vogliamo misurare ed esso è valutato nello stato in cui stiamo effettuando la misurazione stessa. Se voglio garantire la tempo-invarianza devo fare in modo che sia il misurando e allo stesso modo gli strumenti di misurazione siano indipendenti dal fattore tempo.

Il riferimento, così come riportato nella foto può essere esterno o interno al processo di misurazione stesso, questo a seconda se l’unità di misura associata al processo sia implicitamente dichiarata già nello strumento o se di mia spontanea volontà decido di adottare un riferimento diverso, di cui però devo rendere edotti tutti coloro che si troveranno le mie misurazioni tra le mani.

Diremo in primis che per misurazione intendiamo un insieme di osservazioni, che vengono ripetute per un certo numero di volte, in modo tale da ottenere un output detto misura.

Diremo misurando: la grandezza oggetto di misurazione ed esso è valutato nello stato attuale, ovvero al tempo di misurazione. (Non può essere considerato valido universalmente!)

Il risultato di misura ha senso se contestualizzato nel tempo, dato che gli strumenti di misura hanno una certa efficacia che può variare nel tempo, dunque va indicato il fattore tempo. Bisogna poi fare una osservazione: il risultato di misura ha una validità legata al tempo e a ciò che è stato fisicamente osservato durante il processo di misurazione. Il risultato di misura è espresso da una singola misura e da una incertezza di misura, il tutto accompagnato dall’unità di misura e dagli eventuali multipli e sottomultipli di quest’ultima.

Ricordiamo che il sistema di misurazione è un insieme, può essere complesso, di fenomeni fisici a cui è possibile applicare il processo di misurazione tramite le regole prima poste.

Riferimento

Parliamo ora del riferimento:

• Il riferimento deve essere omogeneo alla grandezza a cui stiamo applicando la misurazione;
• Esso deve essere assoluto, ovvero esso deve essere indipendente dal posto in cui esso viene conservato;
• Esso deve essere stabile, ovvero il suo valore deve essere tempo invariante, dunque non deve variare il proprio valore col passare del tempo;
• Deve essere riproducibile e disseminabile, ovvero possono essere fatte delle copie e quest’ultime possono essere conservate in un qualsiasi posto nel mondo;

Il campione primario sarà l’archetipo del riferimento, da cui vengono poi realizzate delle copie che vengono consegnate in tutto il mondo per fare in modo che le misurazioni vengano effettuate in tutto il mondo. Ogni misurazione svolta con un riferimento secondario (terziario,…) può essere ricondotto alla misura condotta tramite il campione o riferimento primario, se e solo se si rispettano determinate condizioni ben poste.

Unità di misura è una grandezza scalare reale, definita e adottata per convenzione, con la quale ogni altra grandezza omogenea può essere confrontata per esprimere il rapporto tra le due grandezze con un numero.

Una unità di misura di base è un riferimento associato ad una quantità di base, dunque posso formare un sistema delle unità di misura di base (questo ovviamente riprende le 7 grandezze fondamentali).

Introduciamo dunque la seguente tabella 3

Bisogna attenersi in maniera scrupolosa a questa tabella, utilizzando in modo univoco i simboli riportati. Bisogna fare tanta attenzione poiché nella norma possono essere utilizzati in modo improprio. Ad esempio stai attento al simbolo dei chilometri che correttamente si scrive “km”, inoltre per altri simboli come la temperatura “K”…

Introduciamo ora i simboli legati alle unità di misura derivate:

Importanza delle misurazioni

Perché è importante misurare? Il principale settore applicativo riguarda il mondo economico, poiché le misurazioni sono alla base di qualsiasi transazione economica nel mondo commerciale. Inoltre abbiamo sicuramente delle applicazioni in campo scientifico e in campo industriale. Nel campo scientifico per capire meglio e per validare le esperienze di laboratorio che vengono effettuate. Nel campo industriale per regolare e controllare i parametri di produzione.

• Metrologia legale
• Metrologia scientifica
• Metrologia industriale

Misurazioni dirette e indirette

Introduciamo ora le misurazioni dirette: il misurando è valutato in modo diretto. Ovvero applico direttamente il misurando allo strumento, senza alcun passaggio intermedio, dunque non è presente alcuna tipologia di modello matematico applicato ai risultati di misurazione.

La misura indiretta passa invece per l’applicazione di un modello matematico, ovvero una funzione che permette di effettuare una misurazione indiretta. Avremo dunque degli input (ovvero delle misure ottenute tramite misurazione dirette) e una uscita che rappresenta la misura indiretta.

Ricorda che: con la lettera maiuscola indico la quantity mentre la stessa lettera in minuscolo identifica il quantity value associata alla grandezza. Queste possono anche essere chiamate stime di ingresso per poi ottenere una stima di uscita.

Esempio di misurazione indiretta

Diamo una espressione grafica del modello di misurazione indiretta:

Facciamo ora un esempio di misurazione indiretta, ovvero vogliamo misurare la tensione e la corrente ai capi di una resistenza collegata ad una sorgente. Nella applicazione Voltmetro non si ottiene lo stesso circuito, poiché è presente l’effetto di carico del voltmetro, questo poiché è un congegno reale e dunque dobbiamo mettere in conto questo effetto di disturbo rispetto alla quantità di partenza. Si dovrà dunque dimensionare questo effetto in modo tale da renderlo trascurabile e dunque ricondurci all’applicazione di uno strumento ideale, in questo caso un voltometro ideale. Dobbiamo dunque progettare degli strumenti di misura che abbiano un contributo sulla grandezza, in termini di incertezza piccolo rispetto al valore ottenuto dalla misurazione. Lo strumento di misura deve essere trasparente, dunque non deve essere invasivo.

Il voltmetro ideale ha impedenza di ingresso infinita, mentre un amperometro ideale ha una resistenza nulla: solo in questo modo si possono assumere come ideali. In particolare ti basta pensare che ogni voltmetro od amperometro può essere scritto nella sua forma Thievenin o Norton dunque ti appare maggiormente chiaro come questi possano modificare il tuo processo di misurazione.

Intervallo e incertezza di misura

La misurazione permette di ottenere un intervallo, ovvero l’accostamento di un valore numerico detto valor più probabile e di una incertezza.

• Valore numerico;
• Unità di misura;
• Incertezza di misura;

Diamo una prima definizione di incertezza di misura: è un valore non negativo che caratterizza la dispersione delle misure attribuite al misurando, basandosi sulle informazioni usate. Questo gioca un ruolo di fondamentale importanza nella definizione del risultato di misurazione. La dispersione indica quanto distanti sono i valori ottenuti tra di loro: maggiore sarà la distanza, maggiore sarà la dispersione, è anche vero il viceversa.

L’incertezza di misura può essere standard ed esso prende il nome di incertezza standard, o uno specifico multiplo di quest’ultimo. Questa può essere scritta come una deviazione standard o uno specifico multiplo di quest’ultimo.

Intervallo di copertura: questo è il prodotto finale del processo di misurazione, esso contiene un insieme di quantity values associati al misurando (in modo ragionevole, ovvero evitando errori di misurazione grossolani) con una ben specifica probabilità.

Cifre significative

L’incertezza di misura deve essere espressa con 1 o 2 cifre significative (scelta lasciata all’utente) usando le tecniche di troncamento o di arrotondamento, ovvero valutare o meno la prima cifra non significativa, ovvero la prima cifra dopo l’ultima significativa. Con il troncamento non me ne curo, con l’arrotondamento me ne curo e dunque devo valutare se è maggiore o uguale a 5 o minore di 5.

Nell’esempio ho usato il troncamento in ambedue le scritture. Il + e il – servono per indicare l’intervallo di copertura del risultato di misura ottenuto. In particolare ricordiamo che se nella espressione della incertezza utilizziamo anche la seconda cifra significativa essa deve essere posta tra parentesi.

Tracciabilità metrologica

La tracciabilità metrologica Introduciamo ora alcuni concetti fondamentali:

• Campioni primari sono delle realizzazioni pratiche di unità di misura, nel nostro caso delle unità di misura del SI, che vengono conservati in condizioni particolari in ogni Paese.
• BIPM (International Bureau of Weights and Measures) a cui è stato conferito il compito di assicurare l’uniformità e la tracciabilità delle misurazioni in relazione al SI.

Il concetto di tracciabilità si può facilmente spiegare introducendola metrological chain, ovvero una catena che ci permette di risalire al sistema di misurazione utilizzato, in relazione ai campioni primari. In particolare il passaggio da un campione primario ad un campione secondario, terziario ecc.. può essere posta come una fonte di incertezza. Dunque l’attenzione posta nel processo di replica dei campioni primari e secondari deve essere massima al fine di ridurre al minimo l’apporto alla definizione di incertezza di tale parametro.

Diremo dunque che la tracciabilità metrologica è la proprietà del risultato di misura tramite cui il risultato di misura può essere riferito (senza alcuna interruzione della catena metrologica) a un riferimento tramite calibrazioni successive e documentate, ciascuna delle quali permette di definire l’incertezza di misura.

Probabilità e statistica

La definizione di probabilità nell’accezione frequentistica è data dal rapporto tra varianza e numero di prove effettuate. Iniziamo col dare una definizione di variabile casuale o aleatoria: si definisce variabile casuale una funzione X che associa a ogni evento elementare dello spazio campionario Sx uno e un solo numero reale.

Questo vuol dire che il risultato di una prova, ovvero nel nostro campo di una misurazione, è in molti casi un numero che è casuale perché incerto prima della prova. Il numero che ci interessa a volte è generato direttamente dalla prova, altre volte si ottiene elaborando il risultato della prova, ovvero applicando a quest’ultimo una formula matematica che ci permette di ottenere un valore di interesse.

Per semplificare lo spazio campionario: trasformiamo gli eventi elementari in S in punti dell’asse reale R, attraverso il concetto di variabile casuale X, cioè trasformiamo la realtà in numeri in modo tale da studiare i fenomeni con strumenti matematici. Diamo ora una definizione di variabili discrete. Infatti una variabile casuale è detta discreta se è definita in uno spazio campionario discreto, cioè può assumere un numero finito o un’infinità numerabile di valori.

Dunque per verificare se siamo in presenza di una funzione di probabilità devi verificare se le due proprietà che abbiamo posto in essere in precedenza sono verificate. Qualora anche solo una delle due non sia verificata, risulta che la funzione che stai prendendo in considerazione non sarà una funzione di probabilità.

Facciamo un esempio: Dato che ambedue le proprietà sono soddisfatte, posso dire che la funzione che abbiamo per tesi è una funzione di probabilità.

Dove l’acronimo “f.r.” sta per funzione di ripartizione. In particolare l’ultima formula ci permette di passare da una funzione di ripartizione ad una funzione di probabilità, attuando semplicemente la differenza tra i valori assunti dalla funzione negli estremi.

Variabili casuali continue

Passiamo ora alla definizione delle variabili casuali continue: se essa è definita in uno spazio campionario continuo, cioè può assumere un numero infinito di valori su scala continua. Ecco le relative nozioni:

Questa è una funzione che ci indica la densità con cui si presenta questa variabile casuale, infatti, come specificato, non stiamo parlando della probabilità, dato che la probabilità di un punto è uguale a 0, ma bensì della sua densità nell’intervallo di definizione (l;L).

Riepilogo e valore atteso

Facciamo un piccolo riepilogo: Ovvero come puoi vedere, di ciascuna variabile, puoi osservare la densità, non la probabilità che ci sia proprio quella caratteristica, bensì la densità con cui essa è presente tra tutti i campioni che prendo in considerazione.

Il valore atteso è concettualmente simile a quello di media per le v.c. ma la definizione formale è la seguente: Ovvero la somma dei singoli valori moltiplicati per la loro probabilità. Ovviamente questa scrittura è vera per le variabili discrete. Mentre quella a pagina precedente è quella posta per la variabili continue.

Inoltre vale la seguente proprietà:

Strumenti di misura e sistema di misura

Passiamo ora ad analizzare gli strumenti di misura e il sistema di misura. Il sistema di misura è l’insieme di una o più strumenti di misura assemblati ed adattati per dare informazioni utilizzate per generare quantity values in un ben specificato intervallo di grandezze.

Mentre per strumento di misura si intende uno strumento usato per misurare, da solo o in accoppiamento con uno o più strumenti supplementari.

L’indicazione è un output che viene fornito dallo strumento di misurazione, che ci dà una informazione matematica sul quantity value.

Le grandezze elettriche attive sono quelle grandezze alla quali è associata anche una potenza, mentre le grandezze elettriche passive sono quelle grandezze alle quali senza stimolo non possiamo associare nessuna potenza.

La misurazione elettronica è divenuta davvero importante poiché il mercato si è riempito di strumenti elettronici e questi sono caratterizzati da:

• Buona affidabilità: ovvero la misurazione ha una buona “resistenza” alla tempo varianza; ovvero la tecnologia che implica questa misurazione è molto stabile;
• Il rapporto costo/prestazione è davvero buono;
• Velocità di misura molto alto: ovvero il tempo di misura è molto basso, quasi immediato;
• L’immagazzinamento e la memorizzazione del risultato di misura può essere molto facile.

In questa particolare situazione, sappiamo già che possiamo applicare lo strumento di misura alla grandezza da misurare. Possiamo applicare un attenuatore, un filtro in modo tale da permettere allo strumento di misura di attuare il processo di misurazione, ovvero si porta il segnale nel range operativo dello strumento di misura. Questa parte si dice di condizionamento.

La presenza di conduttori reali determina un comportamento appunto reale del misurando, che dunque determina la necessità di avere un sistema di condizionamento ad hoc, un sistema di collegamento ad hoc ecc… Questa serie di fattori, determinano implicitamente la presenza di un segnale di disturbo, ovvero avremo una somma del segnale di input e di un segnale aleatorio che prende il nome di disturbo.

Ma possiamo avere anche la necessità di misurare una grandezza non elettrica utilizzando uno strumento di misura elettrico e dunque useremo il trasduttore di misura che permette di associare ad un segnale non elettrico un segnale elettrico che ne incarna le caratteristiche (ad esempio un trasduttore di temperatura, un trasduttore di velocità ecc…).