Fondamenti di Meccanica Teorica e Applicata

CINEMATICA ➔ studio il MOTO di UN CORPO RIGIDO

considerando un corpo rigido e rappresentandolo rispetto ad un SR piano➔ posso identificare

POSIZIONE ORIENTAMENTO

scelgo un punto considero una retta solidalecaratteristico del corpo al corpo e ne determino Θe ne dò le coordinate rispetto ad x

quindi abbiamo in pratica un vettorecostituito da 3 coordinate (xo yo Θ) il quale cifornisce la POSA del CORPO

andando a derivare rispetto ➔ ottengo laal tempo questo vettore VELOCITA'

• LINEARE _dx_o/_dt=V_{ox d}y_o/_dt=V_oy
• ANGOLARE _dΘ/_dt=Θ°=ω

derivando le velocità ottengo ➔ LINEARI X°°=a_ox y°°=a_oyle ACCELERAZIONI ANGOLARI Θ°°=ω°=α

in generale il MOTO di un CORPO ➔ visto come la COMBINAZIONE diuna TRASLAZIONE e una ROTAZIONE

TRASLAZIONE ➔

caratterizzata dal fatto che tutti i punti del corpohanno la stessa v̅ e d̅ (orientamento costante)

ROTAZIONE ➔

i punti si muovono su traiettorie circolari macon un punto fisso (posizione + orientamento)

CINEMATICA > studio il MOTO di UN CORPO RIGIDO

considerando un corpo rigido e rappresentandolo rispetto ad un SR piano posso identificare

• POSIZIONE
• ORIENTAMENTO

scelgo un punto caratteristico del corpo e ne dò le coordinate rispetto ad x considero una retta solidale al corpo e ne determino θ

quindi abbiamo in pratica un vettore costituito da 3 coordinate (x_o, y_o, θ) il quale ci fornisce la POSA del CORPO

andando a derivare rispetto ai tempo questo vettore → ottengo la VELOCITÀ

LINEARE ^dx_o⁄_dt = V_ox   ^dy_o⁄_dt = V_oy

ANGOLARE   ^dθ⁄_dt = θ̇ = ω

derivando le velocità ottengo le ACCELERAZIONI

LINEARI   ẍ_o = a_ox   ÿ_o = a_oy

ANGOLARI   θ̈ = ω̇ = α

in generale il MOTO di un CORPO → visto come la COMBINAZIONE di una TRASLAZIONE e una ROTAZIONE

TRASLAZIONE → caratterizzata dal fatto che i punti del corpo hanno la stessa v⃗ e θ̇ (orientamento costante)

ROTAZIONE → i punti si muovono su traiettorie circolari ma con un punto fisso (posizione + orientamento)

MOTO di ROTOTRASLAZIONE

Prendo un corpo in movimento e ne osservo il moto di un punto B, visto però da una postazione solidale al corpo (A).

Essendo A-B il segmento tra i 2 punti, abbiamo che durante il moto la distanza resta costante.

Praticamente vedo il punto B che ruota di traiettoria circolare con r=AB → MOTO ROTATORIO

MA se considero di essere un osservatore fisso (o), vedo la composizione dei due moti traslazione di A + rotazione di B.

ANALITICAMENTE

Posso descrivere il tutto considerando 3 vettori A-O, B-A, B-O i quali definiscono un poligono di cui scrivo:

(B-O) = (A-O) + (B-A) eq.vettoriale

Andandola a derivare → ^d/_dt (A-O) = v_A ^d/_dt (B-O) = v_B

^d/_dt (B-A) = ^d/_dt |B-A| (B-A) = ^d/_dt |B-A| (B-A) + ω × (B-A)

↓

v_B = v_A + ^d/_dt |B-A| (B-A) + ω × (B - A) essendo ^d/_dt |B-A| = 0 perché distanza cost.

↓

v_BA = v_A + ω × (B - A) TEOREMA di GALILEO

Derivando ulteriormente:

a_B = a_A + ω × (B-A) + ω × [ω × (B-A)] TEOREMA di RIVALS

↓

nel piano → a_BC = a_A + ω × (B - A) - ω² (B-A)

CENTRO di ISTANTANEA ROTAZIONE

per descriverlo bisogna prima definire

• ATO di MOTO - l'insieme delle v̅ di tutti i punti di un corpo in un determinato istante di t

nel caso di MOTO RIGIDO PIANO ω || piano quindi abbiamo che moto di moto è traslatorio, ω = 0

se ATO di MOTO allora la v̅ varia da punto a CENTRO di

• è ROTATORIO a punto c, c'è un punto in ISTANTANEA CIR cui è nulla.