Fondamenti di Meccanica Teorica e Applicata

CINEMATICA

studio il MOTO di UN CORPO RIGIDO:

considerando un corpo rigido e rappresentandolo rispetto ad un SR piano

posso identificare

• POSIZIONE
• ORIENTAMENTO

scelgo un punto caratteristico del corpo e ne dò le coordinate rispetto ad x

considero una retta solidale al corpo e ne determino θ

quindi abbiamo in pratica un vettore

costituito da 3 coordinate (x₀, y₀, θ) il quale ci fornisce la POSA del CORPO

andando a derivare rispetto al tempo questo vettore ottengo la VELOCITÀ

• LINEARE ^d/_dt x₀ = V_ox, ^d/_dt y₀ = V_oy
• ANGOLARE ^d/_dt θ = θ̇ = ω

derivando le velocità ottengo le ACCELERAZIONI

• LINEARI: ẍ₀ = a_ox, ÿ₀ = a_oy
• ANGOLARI: θ̈ = ω̇ = α

in generale il MOTO di un CORPO è visto come la COMBINAZIONE di una TRASLAZIONE e una ROTAZIONE

TRASLAZIONE

caratterizzata dal fatto che tutti i punti del corpo hanno la stessa v̅ e d̅ (orientamento costante)

ROTAZIONE

i punti si muovono su traiettorie circolari ma con un punto fisso (posizione + orientamento)

MOTO di ROTOTRASLAZIONE

Prendo un corpo in movimento e ne osservo il moto di un punto B, visto però da una posizione solidale al corpo (A).

essendo A-B il segmento tra i 2 punti abbiamo che durante il moto → distanza resta costante

Praticamente vedo il punto B che ruota di traiettoria circolare con r = AB → MOTO ROTATORIO

MA se considero di essere → vedo la composizione dei due moti un osservatore fisso (o) traslazione di A + rotazione di B

ANALITICAMENTE posso descrivere il tutto considerando 3 vettori A-O B-A B-O

I quali definiscono un poligono di cui scrivo (B-O) = (B-A) + (A-O) equazione vettoriale

Andando a derivare → ^d/_dt (A-O) = V_A ^d/_dt (B-O) = V_B

^d/_dt (B-A) = ^d/_dt [(B-A) (B-A)] = ^d/_dt B-A[ (B-A) + ω^× (B-A)

V_B = V_A + ^d/_dt [B-A] (B-A) + ω^× (B-A) essendo ^d/_dt [B-A] = 0 perché distanza cost.

V_B = V_A + ω^× (B-A) TEOREMA di GALILEO

derivando ulteriormente

a_B = a_A + ω^× (B-A) + ω^× [ω^× (B-A)] TEOREMA di RIVALS

nel piano → a_B = a_A + ω^× (B-A) - ω² (B-A)

a_B = a_A + a_BA = a_A + &a_Bn + a_Bt

a_BAn = - ω² (B-A)

a_BAt = ω^× (B-A)

quando abbiamo più di 2 corpi in moto si parla di

CATENE CINEMATICHE

nelle quali uno dei corpi è fisso ⇒ TELAIO

esse possono essere:

• APERTE quando uno dei membri è connesso agli altri attraverso una sola coppia cinematica
• CHIUSE quando tutti i membri presentano almeno DUE coppie cinematiche
• SEMPLICI ogni membro ha 1 o 2 accoppiamenti
• COMPOSTE almeno un membro ha 3 o + accoppiamenti

per determinare il numero dei GDL e quindi il numero min di coordinate libere necessario a determinare la configurazione geometrica assunta dalla catena cinematica in un determinato istante di tempo nel

MOTO PIANO

MOTO TRIDIMENSIONALE

FORMULA di GRÜBER

FORMULA di KUTZBACH

so che nel piano ogni corpo è caratterizzato da 3 GDL quindi se ho "m" corpi svincolati potrò avere al max 3m GDL e considerando che uno dei corpi è fisso, allora potrò avere al max 3 (m-1) GDL

nello spazio ogni corpo è caratterizzato da 6 GDL e devo tener conto che se una coppia lascia "x" GDL allora questa appartiene alla clase "Cx" e introduce (6-x) Gd vincolo

MA a causa dei vincoli imposti tra i corpi, ho che il numero di GDL effettivo "n" è interiore rispetto al max, quindi:

n = 3 (m-1) - 2c1 - c2

• dove c1= coppie elementari
• c2= coppie che lasciano 2 GDL

classificando le coppie ho che:

• c1= coppie elementari
• c2= cilindrica e universale
• c3= piana e sferica
• n = 6 (m-1) - 5c1 - 4c2 - 3c3 - 2c4 - c5

Oltre a queste 2 rappresentazioni, l'ORIENTAMENTO può essere descritto anche considerando i 3 parametri indipendenti mediante una COMBINAZIONE di ROTAZIONI nella quale bisogna sempre specificare l'ordine con cui avvengono queste rotazioni in quanto esse si ottengono mediante la moltiplicazione delle relative matrici di rotazione → moltip. tra mat. NON è COMMUTATIVA!

definendo le ROTAZIONI ELEMENTARI attorno x, y, z.

_[^{1    0    0}_{]                [}^{cƔ  -sƔ  0}_{]                [}^{cƟ  -sƟ  0}_]

_[^{0 cƟ -sƟ}_]Rx(Ɵx) = ^{0   1    0}Ry(Ɵy) = ^{0   0    sƟ}Rz(Ɵz) = ^{sƟ   cƟ   0}

_[^{0 sƟ cƟ}_{]                [}^{-sƔ  cƔ  0}_{]                [}^{0    0     1}_]

e ricordando ASSI MOBILI si ottengono POST-moltiplicando le matrici da sx a dx

attorno ad ASSI FISSI si ottengono PRE-moltiplicando da dx a sx

In base a dove vogliamo effettuare le rotazioni, facciamo riferimento a delle CONVENZIONI ANGOLARI

• EULERO per assi mobili in cui il primo asse di rotazione coincide con l'ultimo x = z
• precessione φ
• nutazione Θ
• rotazione propria ψ
• AERONAUTICI per assi fissi
• angoli vengono chiamati
• rollio → asse x
• beccheggio → asse y
• imbardata → asse z

. si hanno in totale 12 combinazioni di rotazioni

R_A^B_Zx'x({^φψ_}) = R^z(φ) R^x(Θ) R^z(ψ)

R_A^B_xyz({^γβα_}) = R^z(α) R^y(β) R^x(γ)

La SINGOLARITÀ si ha quando

• sen φ = 0, e si può determinare la somma se cosΘ = -1
• differenza se cosΘ = 1

la SINGOLARITÀ si verifica per β = π/2

ATTRITO VISCOSO

si ha nel moto di un corpo fluido

• laminare
• turbolento

Fluido è caratterizzato da

• linee di flusso parallele
• linee di flusso irregolari

quello che definisce un tipo di moto rispetto all'altro è la

PREDOMINANZA DELLE FORZE DI ATTRITO rispetto a quelle d'INERZIA o viceversa

per questo argomento ⇒ NUMERO di Re = _PvD/^μ

si fa riferimento al REYNOLDS

Se il corpo si muove con una bassa velocità v rispetto al fluido, allora (Re < 1)

la resistenza dell'avanzamento T è proporzionale alla velocità stessa

si parla di ATTRITO VISCOSO quando la resistenza T può essere rappresentata

con una LEGGE LINEARE ⇒ T = - cJ

c = coeff. attrito viscoso

EQUAZIONI CARDINALI STATICA

1. affinché un sistema sia in equilibrio deve valere
2. ∑Fi = 0
3. ∑Mi = 0

per i corpi piani si possono scomporre così

∑Fi = 0 ⇒

• ∑Fi,x = 0
• ∑Fi,y = 0

3 equazioni e 3 incognite

∑Mi = 0

Una cosa fondamentale quando si fa l'analisi statica è il DIAGRAMMA del CORPO LIBERO

Permette di capire quali e dove sono le forze in gioco ed è uno schema in cui si rappresenta il corpo in esame

andando a tracciare i vettori forza e i momenti applicati