Teoria di Fondamenti di meccanica teorica ed applicata

Richiami di Cinematica del Punto

Posizione:

\[ p = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\]

Velocità:

\[v_p = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{bmatrix} = \dot{x}\hat{i} + \dot{y}\hat{j} + \dot{z}\hat{k}\]\[ v_p = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}\]

Accelerazione:

\[a_p = \frac{dv_p}{dt} = \frac{d^2p}{dt^2} = \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{bmatrix} = \ddot{x}\hat{i} + \ddot{y}\hat{j} + \ddot{z}\hat{k} \]\[a_p = \sqrt{\ddot{x}^2 + \ddot{y}^2 + \ddot{z}^2}\]

Il problema di ricavare la legge di moto a partire dalla velocità o dall'accelerazione di un punto si risolve tramite integrazione:

\[v_p = \int_0^t a_p dt + v_0\]\[ p = \int_0^t v_p dt + p_0\]

Moto rettilineo

\[a = \ddot{x} = 0\]\[v = \dot{x} = v_0 = cost\]\[x = x_0 + \int_0^t v dt = x_0 + v_0 t\]

\[a = \ddot{x} = a_0 = cost\]\[v = \dot{x} = v_0 + \int_0^t a dt = v_0 + a_0 t\]\[x = x_0 + \int_0^t v dt = x_0 + v_0 t + \frac{a_0 t^2}{2}\]

Moto Balistico

Moto bidimensionale sul piano verticale. Si definisce gittata la distanza x_f - x₀.

a_p = [0 -g]   v_p = [v₀cosα v₀sinα - gt]

P = [x₀ + v₀cosαt]^T [y₀ + v₀sinαt - 1/2 g t²]

Ascesa Curvilinea

Punto animato a muoversi lungo una traiettoria fissa S(t).

P = [x(s(t))]^T [y(s(t))]^T [z(s(t))]^T

v_p = dp/dt = dp/ds ds/dt = [x']^T s'   (x' = dx/ds)

a_p = dp/ds s' + dp/ds s''

Acc. Centripeta

Acc. Tangenziale

Moto Circolare

Moto di un punto animato a percorrere una traiettoria circolare.

P = [x(t)]^T [y(t)]^T = r [cosθ(t)]^T [senθ(t)]

v_p = dp/dt = dp/dθ dθ/dt = r [-senθ]_T [cosθ] Ω=ωr^t

θ(t) → ascesa curvilinea

ω → velocità angolare

a_p = dp/dθ Ω' + dp/dθ Ω² = r [-cosθ sinθ] Ω'

Ω' →

a_p,t = acc. tangenziale

a_p,n = acc. centripeta

Qfi.

RIFERIMENTO: dobbiamo riconnettere con un membro fissato al riferimento assoluto, e questo membro fisso è detto basico.

ANALISI DI MOBILITÀ: determinazione del comportamento non di porte, monti. È funzione:

• della struttura
• della geometria
• della configurazione del meccanismo

Grosso: a fine del studio della mobilità, si definisce un meccanismo rispetto a quello originale. Attraverso la sostituzione della copnia scomona piena con un amblio inserzionato sogli saldoni. Oa e copie elementari, facilmente reticolati.

EQUAZIONI DI STRUTTURA

FORMULA DI KUTZBACH

n = 6(m-1) - 5c₁ - 4c₂ - 3c₃ - 2c₄ - c₅

dove:

• n = numero gradi di libertà
• m = membri rigidi. a tr ordine n-1 restante i di loro è il bosio.
• C_i = numero delle copie cinematiche di doben't' presenti nel meccanismo

m ≥ 1 → MECCANISMO

m = 0 → STRUTTURA ISOSTATICA

m < 0 → STRUTTURA IPERESTATICA

NELLO SPAZIO

EQUAZIONE DI GRÜBLER

m = 3(m-4) - 2c₁ - c₂

NEL PIANO

TEOREMA DI CHASLES

Qualunque sia il punto P

Il teorema di Chasles permette di identificare

da rotazione

vettore

scompone

MOTO RELATIVO TRA RIFERIMENTI

Sia O'x'y'z' un terra ferma e O''x''y''z'' muove in

Per MOTO ASSOLUTO di P

riferito alla terra O'x'y'z'

nel caso della accelerazione,

osservazione di Corrida

PER LA VELOCITA':

• Vp = Vr + Ve
• V = velocità relativa
• Vt = velocità di trascinamento

PER L'ACCELERAZIONE:

Ap = Ar + At + Ac

• Ar
• Ac = 2ωu r/v

ACCELERAZIONE ASSOLUTO

FORZA DI CORIOLIS

osservata ma

rispetto a un

accetta i

Trasformazione di Coordinate

Notazione Omogenea

La roto-traslazione può essere trattata con più eleganza riscrivendo la relazione nella forma compatta:

A_P = A_RB_P + A_trasl

Per formulazione di primo immediato è detta notazione omogenea.

• Proprietà Associativa:

  (A^T_B C^T_D)_T = A^T_B (B⁻¹_CC^T_D).

• Esistenza Elemento Neutro:

  A^T_A = I_4x4, I_4x4 = A^T_A

• Esistenza Inverso:

  A^T_B = B⁻¹_TA⁻¹_B, A⁻¹_B = I_4x4

ERRORE COMUNE

Se in esercizio chieda di calcolare la forza di attrito statico non si calcola così: Rt = Rs·fx

φ = angolo di aderenzafx = fattore di attrito statico (o fattore di aderenza)

dipende dallo stato delle superfici e non dalla forza normale (es. la prova di carrello e influisce alla scorrevolezza del materiale)

CASO DINAMICO

Se due solidi in contatto di attrito sono con in moto relativo l'uno rispetto all'altro, la forza di attrito Rt che si origina ha direzione tale da opporsi al moto e modulo pari a:Rt = Rn

φ = sosten(F)f = fattore di attrito dinamico

valgono le stesse dipendenze di variazione illustrate per l'attrito statico e si assume anche l'indipendenza dalla velocità relativa di attrito scorrimento, da ( ... ) di attrito scorrimento si fa una variazione descrittiva.

ATTRITO VOLVENTE

Questo della deformabilità delle superfici e da fenomeni dissipativi che si verificano nel moto di rotolamento, si manifesta come una componente assiale HR con asse nel piano tangente di contatto che si oppone al moto di rotolamento.

Viene spesso interpretato come una resistenza in esercizi del punto di applicazione della reazione R di una quantità X detta COEFFICIENTE DI ATTRITO VOLVENTE:

HR = µ·Rm

DINAMICA

PROPRIETÀ DI MASSA

Centro di massa (sistema a masse concentrate)

En. un sistema di n punti materiali P₁, P₂, ..., P_n di masse m₁, m₂, ..., m_n, si definisce baricentro G l'estremo dei vettori peso parallelo ed equivalente a m g.

* Σ(G-O) = Σ m_i (P_i-O)

con m = Σ m_i

(esempio m o

conoscere perfettamente, ad esempio della θ di un corpo, massa o media di un sistema di eqγ-term palette (centro)

COME SI DETERMINA IL CENTRO DI MASSA? SEMPLICE: CASO SISTEMA DISCRETO

Dicendo anche al centro e vista l'immagine precedente, è la media pesata di queste lettere di indagine: *

X_G = Σ X_i m_i / m

Y_G = Σ Y_i m_i / m

Z_G = Σ Z_i m_i / m