Appunti di Fondamenti di Meccanica Strutturale

RM M

. Sostituendo nell’espressione di si ricava infine (le tensioni tangenziali variano linearmente

k = τ τ = = ρ

t t

I R I

G G

e crescono con il raggio). Le tensioni tangenziali in una sezione circolare hanno la stessa forma di una tensione in una

trave inflessa. Questi ragionamenti sono validi anche per sezioni circolari cave, anche se ovviamente gli sforzi non possono

−

esterno interno

esistere nella regione priva di materiale. Per la sezione cava, .

I = I I

G G G

Sezione ellittica L’unica altra sezione di cui esiste soluzione analitica è la sezione ellittica, che tuttavia presenta ingobba-

mento, la cui funzione è caratterizzata da particolari curve di livello che generano un paraboloide iperbolico.

Considerando un punto diverso dal baricentro, di coordinate , si vuole descrivere la cinematica della sezione

y , z

c c

rispetto a tale punto: −βx −

s = (z z )

y c

−

s = βx (y y )

z c

s = βΨ (y, z)

x C ∇ ∂Ψ

2

Si può dimostrare che, anche con questo approccio, si ottiene e Anche cambiando punto

Ψ = 0 = f (x, z).

C

C ∂n

il problema della torsione presenta ancora una soluzione differenziale. Le soluzioni tra i due problemi (baricentro e punto

−

generico) possono differire al più per una costante, e si ha quindi Ψ = Ψ + y z z y + K.

´

C G c c

Si cerca un punto particolare per cui il valor medio di si annulli: (imponendo la condizione si trova

Ψ Ψ dA = 0

´

C C

A

il particolare valore di ), e si annulli anche il momento statico medio: (da cui si ottiene ), e si annulli

K Ψ zdA = 0 y

C c

A

15 rigidezza torsionale della sezione.

è definita come

GJ 45

MODELLO DI DE SAINT VENANT ´

infine il momento statico rispetto all’asse (da cui si ricava ). Si trovano così i valori che ottimizzano

z: Ψ ydA = 0 z

C c

A

la forma dell’ingobbamento. centro di torsione della sezione.

Il punto che rispetta le caratteristiche è detto Esprimendo la cinematica intorno a quel

punto, si ha che la funzione di ingobbamento determina la fuoriuscita dal piano dei punti della sezione, trascurando gli

effetti di rotazione dovuti alla torsione. Il punto è una caratteristica geometrica della sezione: dipende solo salla forma

C

della sezione e non dal momento torcente applicato o dal materiale. Esso è fortemente associato al taglio.

Analogie

Come si determina lo stato di sforzo? Si osserva che non si ha solo il problema della torsione, ma anche altri problemi

governati dalle stesse equazioni. Si ricorre perciò alle analogie per trovare soluzioni ai problemi della torsione.

Analogia della membrana Prandtl ha osservato che per una membrana insufflata si ha

{ ∇

2 in A

φ = c inΓ

φ =0

Si supponga un recipiente ricoperto da una membrana in un frigo. Se il cibo contenuto all’interno va a male, si esercita

una pressione sulla membrana, che è vincolata alle estremità. Si può dimostrare che il sistema riportato in precedenza

descrive il problema che governa l’innalzamento della membrana soggetta a pressione uniforme. Si ha la stessa espansione,

− pt .

sostituendo con e con

φ w c

Storicamente, Prandtl ha usato le bolle di sapone per studiare il problema della membrana, ed è giunto alla conclusione

)

( 2

− 4z . Si può pensare che tale parabola

che la membrana avesse forma parabolica, descritta dall’equazione φ = φ 1

0 2

b

46

MODELLO DI DE SAINT VENANT

descriva l’andamento analitico ella membrana nel problema di una sezione rettangolare soggetta a momento torcente in

cui una dimensione predomini nettamente sull’altra. Il coefficiente amplificativo è incognito. Essendo nota l’analogia

φ

0

→ si scrive

w φ { ∂w = τ

xy

∂z −τ

∂w = = 0

xz

∂y

Ricordando l’approccio agli sforzi si ha anche l’equazione del momento torcente:

( ) [ ]

´

´ b

b 2 3 2

− −

4z 4z

M = 2 φ (z, y) dA = 2 φ 1 adz = 2φ a z =

2

t 0 0

− 2 2

b b 3b

A − b

( ) 2 2

− M

1 43 da cui si può ricavare rapidamente .

= 2φ a 1 b = φ ab, φ = t

0 0 0 4

3 ( )

ab

3 − − −2

∂y 16

M 6M z M

8z

Si può ora, essendo noto , calcolare la tensione tangenziale .

φ τ = = = = z.

t t t

0 xy 4 2 3

∂z b ab J

ab t

3

L’andamento delle tensioni tangenziali è lineare a farfalla e costante in ogni punto dell’asse Le tensioni tangenziali

y.

massime sono date da M b

t

±

τ =

xy,max 1 3

ab

3

1 3

dove rappresenta la rigidezza torsionale . La rigidezza torsionale somiglia molto al momento d’inerzia di una

ab J t

3 ≫ ⇒ ≪

3

sezione, ma il termine cubico in questo caso si riferisce alla dimensione più piccola della torsione: a b b a.

Essendo a denominatore, le saranno grandi, e devono essere riequilibrate da una sequenza di piccoli momenti torcenti

τ

disposti lungo l’asse principale della sezione. Questa è una formula di verifica, perchè si possono avere sollecitazioni di

torsione che portano a carichi critici. La formula può anche essere estesa ad altre tipologie di sezione, che possono essere

viste come porzioni di sezioni allungate, interpretabili come insieme di elementi rettangolari di dimensioni . In

n a , b

i i

profilo in parete sottile.

genere ci si riferisce alle sezioni partendo dalla linea media del profilo: si parla di Si può immaginare

di avere in ogni elemento dei momenti torcenti che si oppongono al momento esterno applicato:

M

t

−2

i =

τ n i

xs J

t

M t

±

i,max

τ = b

i

xs J t ∑ n 13 3

Bisogna avere accuratezza nel calcolo della rigidezza torsionale . La formula è attendibile in tutte le

J = a b

t i i

i=1

regioni a sezione allungata (è meno precisa alle estremità e nei raccordi).

Un’ulteriore generalizzazione è data dalla presenza di aste curve: applicando un momento torcente, si genera una

´ l

−2 M 1 3

distribuzione di tensioni tangenziali governate dalla legge e la rigidezza torsionale sarà

τ = n, J = b (s) ds.

t

xs t i

J 3 0

t

Analogia idrodinamica L’ultimo caso relativo alla torsione è quello dei profili chiusi. La soluzione ottenuta con l’analo-

gia della membrana non è più corretta, si deve perciò sfruttare l’analogia idrodinamica, sempre governata da un’equazione

∇ 2

del tipo in su L’analogia si basa su un recipiente della stessa forma della sezione pieno di fluido

φ = c A; φ = 0 Γ.

incomprimibile e non viscoso, supponendo che venga messo in rotazione con costante. Si analizza come sono disposte

α̇

le linee di flusso del fluido: esse sono parallele al profilo lungo i lati del recipiente, diventano turbolente in prossimità degli

angoli per i quali si hanno punti di ristagno, la velocità varia linearmente lungo gli assi principali d’inerzia tra l’interno e

l’esterno. Si osserva che la sul lato corto è maggiore di quella sul lato lungo. Inoltre, ponendosi su una diagonale, la

v max

distribuzione non è più lineare ma deve portare alla conservazione della portata. Si avrà

∝

v τ

z zx

∝

v τ

y xy

Le velocità sono analoghe alle tensioni tangenziali. L’analogia idrodinamica permette di analizzare in modo più effi-

ciente i profili chiusi: dato un fluido con portata costante quando il fluido si mette in movimento, se

q (s) = q = cost,

≤ 1 (con massima dimensione trasversale della sezione), si può approssimare che le linee di flusso siano tutte

t (s) D D

10

parallele tra loro. Le tensioni tangenziali e le velocità sono caratterizzate da scarsa variabilità nell’ascissa (l’approssima-

s

zione è valida per un profilo sottile): Se e sono costanti, si può risolvere il problema

v (s) = cost; τ (s) = cost. q (s) τ (s)

scrivendo l’equazione di equilibrio globale grazie alla formula di Bredt.

16 è supposto nullo anche se in realtà non lo è, ma rimane una valida approssimazione.

τ xz 47

MODELLO DI DE SAINT VENANT

Formula di Bredt

Sotto le ipotesi di (conseguenza dell’analogia idrodinamica) e (ipotesi di Bredt), vale la seguente relazione,

q (s) = cost τ (s)

nota come formula di Bredt: M

t

τ (s) = 2Ωt (s)

dove è l’area racchiusa dalla linea media del profilo. L’approssimazione fornita da tale formula è talmente buona che

Ω

essa viene utilizzata anche per sezioni con punti angolosi (ad esempio sezioni quadrate o rettangolari).

Dimostrazione Sottoponendo la sezione (non costante) a momento torcente , si genereranno tensioni tangenziali

M

t

costanti lungo una qualsiasi corda. Tali saranno parallele alla linea media del profilo. Si consideri un piccolo segmento

τ xs ·

di lunghezza e un elemento d’area (su cui agiscono le tensioni) Le forze elementari che agiscono su

ds dA = ds t (s). dA

sono Si calcoli ora il momento equivalente in un qualunque punto della sezione: si determina il braccio

dF = τ (s) dA.

xs

della forza (pari alla distanza tra retta d’azione e baricentro) ottenendo

r (s), ·

dM = r (s) dF = r (s) τ (s) ds t (s)

t xs

Il momento torcente complessivo sarà la risultante di tutti i momenti lungo il profilo:

˛ ˛

M = dM = r (s) τ (s) t (s) ds =

t t xs

Poichè il flusso è costante, il termine può dunque essere portato fuori dal segno di integrale,

q = τ (s) t (s) = cost:

xs ˛

avendo così = τ (s) t (s) r (s) ds = τ (s) t (s) 2Ω

xs xs

Invertendo la relazione si ricava il valore della tensione tangenziale

M t

τ =

xs t (s) 2Ω M . Le tensioni tangenziali

Se la formula di Bredt dice che le sono costanti lungo l’intero profilo:

t (s) = cost, τ τ = t

xs 2Ωt

≫ ≈ ≈ ≥

2

in un profilo chiuso sono piuttosto piccole (Ω essendo e e A causa di questa particolare

A, Ω D A lt, D 10t).

espressione (pur approssimata), si conclude che le sezioni cave resistono meglio a torsione rispetto a quelle piene.

Si immagini di avere il medesimo profilo, prima aperto poi chiuso, soggetto a momento torcen