Appunti di Fondamenti di Meccanica Strutturale

APPUNTI DI

MECCANICA

STRUTTURALE

Fondamenti di Meccanica Strutturale

Appunti di Teoria

A cura di

Giorgio Montorfano

e

Riccardo Rota

Indice

I Strutture rigide 4

Statica delle strutture articolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Movimento dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Vincoli tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Vincoli doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Vincoli semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Strutture articolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Arco a tre cerniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Strutture articolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Equazioni indefinite di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Verifiche ai nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Meccanica dei continui 11

Il continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ipotesi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Sforzo di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Equazioni di equilibrio indefinito e al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Problemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Circonferenza di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Arbelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ipotesi di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Trattazione analitica delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Deformazioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Significato fisico dei tensori delle piccole deformazioni e delle piccole rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . 20

Deformazioni principali e direzioni principali di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Cinematica linearizzata dei continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

III Materiali 24

26

Simmetrie dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Osservazioni sul cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Relazioni analitiche dei legami costitutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Dimostrazione pressione isotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

INDICE INDICE

IV Teorie strutturali 31

Travi ad asse rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Verifica di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Criterio di Galileo-Rankine-Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Criterio di Guest-Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Criterio di Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

V La trave 38

Modello di De Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Dimostrazione del modello di De Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Sforzo , pressoflessione e flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

σ

x

La torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Approccio agli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Approccio agli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Sezioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Formula di Bredt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Riscontri pratici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Il taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Formula di Jourawski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Taglio con sezione generica e centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Jourawski - Sezioni compatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Riscontri pratici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

VI Teoremi energetici 52

Teorema energetico 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Teorema energetico 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Le travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Teorema di Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Teorema di Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Teorema di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Teorema di Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Teorema di Menabrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Teorema di Hellinger-Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

VII Stabilità dell’equilibrio 58

VIII Definizioni utili 62

Strutture rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Risultante e momento risultante di carichi distribuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Carico uniformemente distribuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Carico variabile linearmente da 0 (carico triangolare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Carico variabile linearmente da a (carico trapezoidale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

q q

1 2

Azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Equazioni indefinite di equilibrio

dN

− ⇒ −p(s)

N (s) + dN N (s) + p(s)ds = 0 =

ds

2

INDICE INDICE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Meccanica dei continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Ipotesi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Sforzo di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Equazioni di equilibrio indefinito e al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Circonferenza di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ipotesi di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Deformazioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3

Parte I

Strutture rigide

4

STATICA DELLE STRUTTURE ARTICOLATE

Statica delle strutture articolate

All’interno di questa sezione si tratteranno alcuni argomenti fondamentali per lo studio delle strutture rigide, ed in

particolare:

• Movimento dei corpi rigidi

• Vincoli

• Reazioni vincolari

• Sforzo nelle strutture (ovvero le azioni interne che agiscono sulle strutture stesse)

Introduzione

Un corpo è un qualunque oggetto dotato di un volume - e di relativa superficie. L’obiettivo affrontato nella prima parte

della dispensa è studiare la statica dei corpi (infatti, ancor prima di studiare la dinamica e le interazioni tra corpi, bisogna

sapere come tener fermo il corpo stesso): il più delle volte tali corpi sono sottoposti ad azioni - ad esempio, la pressione

atmosferica.

Movimento dei corpi rigidi sistema di riferimento

La prima cosa da fare per studiare il movimento di un corpo è scegliere un (preferibilmente cartesiano

ortogonale). Si ipotizzi, anzitutto, che l’oggetto sotto studio sia indeformabile, ovvero che il corpo sia rigido.

Un corpo è rigido quando la distanza tra due suoi punti non varia, qualsiasi sia la forza che si applichi.

Sotto questa ipotesi, si può schematizzare il corpo come un segmento che unisce i punti A e B (VEDI FIGURA).

Il movimento dei corpi nel piano può essere quindi identificato da tre parametri:

• 2 parametri traslazionali (traslazioni arbitrarie, legate alla scelta del sistema di riferimento)

• 1 parametro rotazionale incipienti:

Per quanto concerne questo corso, ci si concentrerà sugli spostamenti si tratta di spostamenti infinitesimi che

indicano il passaggio dallo stato di quiete al moto. In questo caso si può approssimare lo spostamento con la velocità (che

è tangente alla traiettoria). gradi di libertà.

I vari parametri appena presentati vengono detti centro di istantanea

Nel caso di una rotazione intorno ad un punto, il centro intorno a cui il corpo ruota è detto

rotazione (d’ora in poi verrà chiamato CIR), indicato con la lettera Si noti che se lo spostamento, cioè il vettore che

Ω.

unisce due punti della traiettoria, è piccolo, esso tende ad allinearsi con il vettore velocità: si può perciò confondere lo

spostamento con l’atto di moto, ovvero soffermarsi sull’istante del passaggio dallo stato di quiete al moto. Se il CIR è a

distanza infinita dagli estremi del corpo, il campo di velocità è uniforme; ogni traslazione nel piano può perciò essere vista

come una rotazione infinitesima nel piano con CIR a distanza infinita - ovvero lungo una direzione.

Ogni corpo rigido possiede 3 gradi di libertà, e sono presenti vari sistemi per bloccare uno o più gradi di libertà.

Vincoli

I vincoli, sistemi per bloccare gradi di libertà di un corpo rigido, si dividono in:

• Assoluti: bloccano i gradi di libertà del corpo rispetto al mondo esterno

• Relativi: bloccano i gradi di libertà di 2 corpi rigidi collegati tra di loro

I vincoli possono poi essere suddivisi in base ai gradi di vincolo che hanno, e di seguito verranno riportati tutti i casi

possibili.

Vincoli tripli

• INCASTRO: impedisce sia le rotazioni che le traslazioni.

5

STRUTTURE

Vincoli doppi

• CERNIERA: blocca gli spostamenti di un solo punto del corpo rigido (rimane libera la rotazione).

• PATTINO: permette la sola traslazione parallela al piano di scorrimento.

• MANICOTTO: permette la sola traslazione parallela all’asse del corpo rigido.

Vincoli semplici

• CARRELLO: blocca un grado di libertà di traslazione. Può essere visto come una cerniera montata su un pattino.

• PATTINO MANICOTTO: blocca il grado di libertà di rotazione. Formato da un pattino e da un manicotto.

Si osservi che nel caso di vincoli semplici gli effettivi CIR sono due (siano essi entrambi dei CIR impropri, ovvero delle

direzioni, o una direzione ed un centro di rotazione fisico). A questo proposito, si ricorda che esiste un teorema che afferma

che, se esiste un corpo rigido che ha più centri di rotazione, esso ha infiniti CIR, che giacciono sulla congiungente tra i

retta d’azione

centri di rotazione stessi. La retta congiungente viene indicata con e nel caso del carrello prende il nome di

ω

(luogo dei CIR del carrello).

Le proprietà appena enunciate possono essere rapidamente verificate mediante alcuni esempi, tra cui la verifica della

rigidità del moto di un vincolo a carrello e l’estensione del concetto di CIR multipli al pattino manicotto (per il quale si

giunge all’importante conclusione che sono consentiti spostamenti in tutte le direzioni del piano).

Strutture

Le strutture vengono classificate secondo vari criteri e l’azione dei vincoli sulle strutture stesse viene verificata mediante

analisi cinematica. Per semplicità, si affronta l’argomento partendo dai sistemi composti da un solo corpo rigido, per poi

assemblati,

estendere i ragionamenti a sistemi in cui più corpi rigidi sono legati da vincoli relativi.

Una prima classificazione delle strutture è data dalla loro staticità. Considerando una struttura soggetta a vincoli, si

può effettuare un confronto tra gradi di libertà e gradi di vincolo, ottenendo la seguente divisione:

• ISOSTATICA: il numero di gradi di libertà è pari al numero di gradi di vincolo (ad esempio un’asta vincolata ad

incastro).

• IPOSTATICA: il numero di gradi di libertà è maggiore del numero di gradi di vincolo (ad esempio un’asta vincolata

con una cerniera).

• IPERSTATICA: il numero di gradi di libertà è minore del numero di gradi di vincolo (ad esempio un’asta vincolata

con cerniera - vincolo doppio - e successivamente con manicotto - altro vincolo doppio - per bloccare le rotazioni).

Questa classificazione è molto importante perchè una struttura isostatica può essere risolta con le equazioni cardinali della

statica. Una struttura ipostatica (tali strutture, in alcune condizioni, si rendono necessarie: basti pensare ad una porta,

cui è consentita la rotazione intorno ad un asse) può invece sostenere solo alcuni carichi. Una struttura iperstatica, infine,

a causa dell’elevato numero di vincoli, ha troppe variabili rispetto alle equazioni disponibili (i gradi di libertà): non può

perciò essere risolta con le equazioni cardinali.

Tuttavia, anche essendo dei vincoli applicati ad una struttura, è fondamentale determinare se la struttura ha ancora

gradi di libertà o meno. Se non sono consentiti movimenti residui a seguito dell’applicazione dei vincoli, la struttura è

NON LABILE (ad esempio un’asta vincolata da tre carrelli), altrimenti si dice LABILE (ad esempio un’asta vincolata da

un pattino e da un carrello).

Strutture articolate

Le strutture articolate sono composte da almeno due corpi rigidi connessi da vincoli relativi. Di seguito vengono riportate

le più importanti. 6

REAZIONI VINCOLARI

Arco a tre cerniere

L’arco a tre cerniere è la struttura articolata più semplice, ed è composta da due corpi rigidi (con vincolo doppio relativo, in

isostatico.

particolare una cerniera) ciascuno vincolato a terra da una cerniera. Questo sistema, per definizione, è Tuttavia,

se i vincoli sono mal disposti, l’arco a tre cerniere potrebbe essere labile: è necessario perciò approntare l’analisi cinematica

del problema per verificare la condizione di labilità. Per procedere con l’analisi cinematica, si sceglie dapprima uno dei

corpi rigidi e lo si considera solo con i vincoli assoluti; successivamente, il ragionamento viene esteso anche agli altri

corpi rigidi della struttura. Dallo studio dei gradi di libertà e gradi di vincolo si può ricondurre questa struttura ad una

non

composizione di una cerniera ed un carrello. Affinchè il sistema non sia labile è sufficiente che l’asse del carrello passi

per la cerniera di vincolo relativo.

Si osservi che un corpo rigido con due vincoli doppi (non necess