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PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Si osservi che dal vettore spostamenti si ricavano 3 equazioni scalari, dai tensori di deformazioni e sforzi 6 equazioni

ciascuno, per un totale di 15 incognite; dalle equazioni di congruenza e da quelle di equilibrio indefinito si ricavano 9

equazioni differenziali: sono perciò necessarie altre 6 equazioni (date dalle condizioni al contorno) per permettere la

risolubilità del sistema. Tali equazioni dipendono dal materiale considerato, possono essere equazioni di ogni tipo (lineari,

equazioni costitutive.

differenziali,...) e sono dette

Per quanto riguarda il corso di Meccanica delle Strutture, verrà analizzato solo il comportamento elastico lineare;

esistono in realtà molti altri comportamenti, di seguito riportati per completezza:

• Plasticità (prova a trazione uniassiale su provino metallico)

• Usura (ruote dentate che si corrodono, cuscinetti a sfera, binari dei treni e corde di chitarra)

• Viscosità (dà luogo a deformazioni permanenti a causa di applicazioni di carico costanti nel tempo)

• Danneggiamento (dipendente per esempio dalla porosità)

• Buckling (instabilità dell’equilibrio: struttura che perde la sua linearità a causa di forze di compressione)

• Frattura (soprattutto in caso di materiali fragili, per effetto di un carico dinamico)

• Contatto (elastico o anelastico: impatto tra auto, ruote dentate che ingranano)

23

Parte III

Materiali

24 −

Il legame costitutivo lega le componenti di a quelle di . Viene spesso riportato su appositi diagrammi

σ ε σ ε.

= =

Dato un materiale biologico come la gomma, le fibre di cui è composta si “srotolano” e allineano offrendo una risposta

più rigida: la rigidezza è la pendenza della curva del legame costitutivo. Rappresentando e in funzione di si osserva

σ ε t

danneggianti,

la dipendenza di queste grandezze dalla viscosità. Ci sono materiali, detti per i quali nel legame costitutivo

improvvisamente si passa a rigidezza negativa (nei materiali metallici, quando si scarica la forza, si ottiene una curva

parallela a quella iniziale, nel caso di materiali danneggiabili questo non accade più).

Si consideri una prova monoassiale di trazione, generalmente effettuata su provini a sezione circolare costante e a osso

sforzo di Piola-Kirchhoff

di cane: la trazione provoca un allungamento e lo sforzo, detto (diverso dallo sforzo di Cauchy,

δ, F

il quale si rapporta all’area corrente e non a quella iniziale), è . La deformazione, di conseguenza, non sarà la

σ = A 0

δ

deformazione vera (logaritmica) ma quella nominale . Si noti che i diagrammi costitutivi sono tracciati a partire dai

ε = L 0

valori nominali.

Considerando un diagramma d’esempio per un legame costitutivo monoassiale si possono osservare vari comporta-

menti:

• Reversibile lineare: una retta lungo la quale il materiale passa sia in fase di carico che di scarico

• Reversibile non lineare: a differenza del precedente, non è un tratto rettilineo y

• Comportamento plastico: tratto rettilineo che porta al valore di sforzo di snervamento , oltre il quale le deforma-

σ

zioni sono plastiche m

• Comportamento plastico incrudente: è il comportamento al quale si raggiunge lo sforzo massimo , si manifesta

σ

lo sforzo plastico, associato però ad un aumento dello sforzo.

Nella realtà non esiste alcun materiale che comprenda tutte queste caratteristiche.

Considerando la compressione con un materiale metallico si ottiene un comportamento in gran parte simile tranne nel

tratto finale (la diversità è data dall’uso di sforzi nominali, e non veri: se si usassero gli sforzi veri, il diagramma sarebbe

esattamente simmetrico). −

Viene detta rigidezza la pendenza del diagramma di solito indicata con nel diagramma monoassiale la

σ ε, E = σε;

modulo di Young

rigidezza più importante è quella del tratto rettilineo ed è detta - non funzione di - dimensionalmente

E ε

pari ad una pressione.

Esistono anche legami che rapportano sforzo tangenziale a deformazione tangenziale. Si prenda ad esempio un provino

e lo si sottoponga a momento torcente: si avrà una rotazione finale associata ad uno scorrimento Al momento è

ϑ γ.

associata una tensione tangenziale .

τ

Si otterrà un diagramma esattamente identico (a meno di un fattore di scala) al diagramma Invece dell’angolo

γ−τ σ−ε. modulo di taglio,

si avrà l’angolo e la pendenza della retta corrispondente (definita dalla tangente dell’angolo) è detto

α β, G,

o modulo elastico tangenziale.

Considerando anche elementi che variano nel tempo, ad esempio una trave sottoposta a peso proprio: si manifesta un

creep.

comportamento viscoso, e il fenomeno descritto si chiama Esiste anche il fenomeno duale: un cavo sottoposto a

rilassamento.

trazione presenta il fenomeno viscoso del I fenomeni di viscocità dipendono anche dalla temperatura.

Si può perciò concludere che lo sforzo dipende da tanti fattori:

( )

σ = σ ε , ξ, t, T

= = =

I materiali per cui lo sforzo dipende esclusivamente dalla deformazione sono detti materiali elastici; quelli per cui

è presente anche dipendenza dalle variabili interne (variabili addizionali relative alla storia di carico) sono materiali

ξ

plastici; i materiali viscosi sono quelli per cui si ha dipendenza da deformazioni e da tempo; viscoplastici quelli per cui si

manifesta dipendenza anche dalle variabili interne. Nel corso verranno trattati solo materiali elastici.

Definendo il comportamento di attraverso una linea, si evince che un materiale elastico è legato al concetto di

σ ε

reversibilità: se il materiale segue sempre la stessa linea di carico e scarico, è univocamente definito ogni valore di sforzo e

si può associare un’area sottesa. ´ ´

ε ε

11 12

Si può perciò associare al legame costitutivo una particolare funzione ω (ε ) = σ dε + σ dε + ...: ω

ij 11 11 12 12

0 0

densità di energia di trasformazione

è detta (strain energy density). Il concetto di potenziale è più potente di quello di

∂ω materiale iperelastico

. Se vale anche questa equazione si ha un

elasticità: se esiste un potenziale si può affermare σ =

ij ∂ε

ij

(per il quale lo sforzo dipende solo dal valore finale della deformazione).

Bisogna però essere in grado di provare, con la sperimentazione, ciò che viene predetto dal modello. In generale bisogna

affermare detto legame costitutivo diretto. Esiste anche il legame costitutivo inverso: in

σ = σ (ε ), ε = ε (σ ):

ij ij hk hk hk ij

25

SIMMETRIE DEI MATERIALI

questo secondo caso, in presenza di softening del materiale, si può non avere una funzione iniettiva. Il legame costitutivo

diretto vale finchè il modulo di Young rimane strettamente positivo. ´ σ

ij

Considerando un materiale per cui valga il legame in forma diretta si può descrivere l’area ,

γ = γ (σ ) = ε dσ

ij ij ij

0

·

7

detta energia elastica complementare . Vale perciò σ ε = ω (ε ) + γ (σ ).

ij ij ij ij

Si può considerare, per un certo range di valori di sforzo, un comportamento lineare ideale: i materiali che rispettano

questa caratteristica sono detti materiali lineari. Si supponga ora di estendere il comportamento all’infinito: per questo

12

tipo di materiali elastici lineari si può dire L’energia di deformazione è perciò pari alla metà dello sforzo

ω = σ ε = γ.

ij ij ∂ω

moltiplicato per la deformazione. Quando si scrive si deve supporre che il differenziale in questione sia

dω = dε + ...

11

∂ε 11

esatto, perciò per il teorema di Schwartz si può asserire che le derivate seconde miste della funzione devono essere uguali

∂σ ∂σ

tra loro. Scrivendo la relazione in forma generale si avrà ij = hk

∂ε ∂ε

ij

hk di deformazione per un

In un generico rapporto lineare, introducendo una linearità generalizzata , si ha l’energia

D

ijhk

materiale iperelastico lineare 1

ω = D ε ε

ijhk ij hk

2 2

∂σ

∂ω ∂ω

Nel caso generico, applicando il teorema di Schwartz a , si ha

= D ε = σ = D = =

rs

rshk hk rs rslm

∂ε ∂ε ∂ε ∂ε

rs rs

lm lm

2

∂ω tensore di elasticità)

. Per il teorema di Schwartz il tensore quadruplo (detto deve avere proprietà di

= D D

lmrs

∂ε ∂ε

rs

lm 4

simmetria maggiori: nella linearità generalizzata si ha una matrice di componenti, ma per via delle simmetrie

3 = 81

molti dei componenti si semplificano.

Per agevolare i conti, si consideri il tensore sforzo , composto di 6 elementi indipendenti, e lo si trasformi in un vettore

σ

=

Si può fare lo stesso con le deformazioni, ottenendo analogamente un vettore Si ridurrà perciò la matrice in quattro

σ. ε.

dimensioni ad una 6x6.

Il legame costitutivo può essere riscritto come σ = d ε

=

Si riducono così le incognite del problema, avendo sfruttato tutte le simmetrie del problema. Si introducono infatti

simmetrie legate a tensori di sforzo e deformazione, e altre legate all’applicazione del teorema di Schwartz. Impiegando

tutte le simmetrie si riduce il numero di costanti da 81 a 36. Ma il materiale è iperelastico perciò vale la simmetria

addizionale: la matrice è simmetrica e ci si riconduce perciò a sole 21 componenti indipendenti.

d

=

Non può esistere materiale lineare non iperelastico - anche nel caso più generale possibile. Questo materiale viene

materiale alla Hooke.

spesso chiamato

L’energia di deformazione è effettivamente assorbita dal sistema quando vengono applicate forze e rilasciata quando

cessa il carico. I materiali possono avere simmetrie di comportamento.

Simmetrie dei materiali

Considerando un provino ritagliato lungo gli assi, risulta importante sutdiare come si deforma trasversalmente il materiale

coefficiente di Poisson

introducendo il ε

t

ν = ε

che lega la deformazione trasversale a quella longitudinale. Si noti che molti materiali hanno costante fino al limite

ν

di proporzionalità.

Se tutti i coefficienti diagonali di sono uguali tra loro e così anche tutti i il materiale ha un comportamento

d ν

=

isotropo: le sue caratteristiche di rigidezza sono costanti nelle varie direzioni spaziali. Le proprietà meccaniche (rigidezza e

coefficiente di Poisson) non dipendono dalla direzione di carico. Sono i materiali più facilmente riscontrabili in ingegneria

perchè a questa categoria appartengono, tra gli altri, acciaio, cemento da costruzione e vetro. Il legno, invece, come tutte

le fibre biologiche, è anisotropo.

Focalizzandosi sui materiali isotropi si può studiare l’iperelasticità applicata a tale categoria. L’energia di deformazione

deve dipendere solo da quantità che non variano al variare del sistema di riferimento.

Ricordando che erano stati introdotti gli invarianti nei tensori di deformazione e sforzo, si potrà dire che ω = ω (ε ) =

ij

dove

ω (I , I , I ) ,

3 2 1

7 Si osservi che, matematicamente, è la trasformata di Legendre di

γ ω. 26

SIMMETRIE DEI MATERIALI

( )

• I = det ε

3 = − − −

• I = ε ε + ε ε + ε ε ε ε ε ε ε ε

2 11 22 22 33 33 11 12 21 13 31 23 32

• I = ε + ε + ε

1 11 22 33

si può esprimere come forma quadratica delle deformazioni: questo permette già di escludere la presenza dell’invariante

ω

terzo nell’equazione, essendo tale quantità con andamento cubico. Si avrà infatti

1 −

2 2

ω = aI + bI = (λ + 2µ) I 2µI

2 2

1 1

2

dove è il modulo di taglio e è un modulo elastico non riconducibile ad alcun risultato sperimentale. e

µ G, λ λ µ

costanti di Lamè.

vengono dette Per calcolare il valore dell’equazione si deve perciò applicare la derivata di funzione di

funzione attraverso la chain rule: ∂I ∂ω ∂I

∂ω 1 2

+

σ =

ij ∂I ∂ε ∂I ∂ε

2 ij 2 ij

Risulta più semplice svolgere il conto per componenti, separando gli elementi di indice pari da quelli di indice dispari:

∂I 1 (Delta di Kronecker)

= δ ij

∂ε ij ∂I 2 −

= I δ ε

1 ij ij

∂ε ij

Risostituendo si ottiene − − ⇒

(λ + 2µ) I δ 2µ (I δ ε ) = λI δ + 2µε

1 ij 1 ij ij 1 ij ij

σ = λI δ + 2µε

ij 1 ij ij

legge costitutiva per materiale elastico lineare isotropo.

Quella appena ricavata è la

Provando a riscrivere il legame in forma matriciale si ottiene

σ = d ε

=

 

λ + 2µ λ λ 0 0 0

 

λ λ + 2µ λ 0 0 0

 

 

λ λ λ + 2µ 0 0 0

 

d =  

0 0 0 2µ 0 0

 

=  

0 0 0 0 2µ 0

0 0 0 0 0 2µ

Per un materiale isotropo i tre coefficienti dipendono solo da due parametri (le costanti di Lamè): per via della sim-

metria, inoltre, la matrice è vuota nella parte che lega sforzi normali a deformazioni tangenziali (e viceversa). Per sforzi

tangenziali rapportati a deformazioni tangenziali si hanno solo componenti sulla diagonale principale.

Nella realtà però si usano altre costanti: al posto di si usa e al posto di entrano in gioco (uguali in ogni

µ G, λ E, ν

direzione per via dell’ipotesi di isotropia). Le relazioni che legano i parametri sono

3λ+2µ λ

ν =

E = µ λ+µ 2(λ+µ)

fondamentali:

Esistono poi altre relazioni E

Eν G = µ =

λ = (1−2ν)(1+ν) 2(1+ν)

Volendo utilizzare tali relazioni, la legge costitutiva viene riscritta come:

{ −

σ = [(1 ν) ε + νε + νε ]

1 1 2 3

(1−2ν)(1+ν)

τ = 2Gε

12 12

e analogamente per le altre componenti effettuando la rotazione degli indici.

27

SIMMETRIE DEI MATERIALI

A volte il legame elastico può essere espresso con le deformazioni in funzione degli sforzi, introducendo il legame

inverso elastico lineare isotropo: { −

1

ε = (σ ν (σ + σ ))

1 1 2 3

E

τ

ε = 12

12 2G

Quando si scrive lo sforzo è sempre possibile farlo in funzione di , nel seguente modo:

I 1

I 1

σ = I + s

3

= = =

I

dove è detto pressione isotropa, e la matrice è il deviatore degli sforzi. Chiaramente è possibile fare l’analogo con

s

1

3 =

le deformazioni, ottenendo I 1

− I

e = ε 3 =

= =

v 1 E bulk modulus

Definendo deformazione volumetrica si ottiene dove è detto (lega la deformazio-

I v, = p, k =

1 3 k 1−2ν

ne volumetrica alla pressione isotropa). Ha senso definire solo per materiale lineare isotropo. Si può scrivere

k

{ I 1

= p

1

3 k

1

e = s

= =

Se si ha un materiale isotropo, calcolando le direzioni principali di sforzo, esse coincidono con le direzioni principali

di deformazione: gli autovettori dei tensori e sono allineati tra loro (sulla circonferenza di Mohr, a meno di un fattore

σ ε

= =

di scala, sono uguali). La pressione isotropa, invece, sul cerchio di Mohr, si riduce ad un punto.

Osservazioni sul cerchio di Mohr

Per terminare la parte relativa al legame costitutivo ci si sofferma sul cerchio di Mohr: si studiano gli sforzi piani.

Si parta dal caso più semplice, lo sforzo piano monoassiale: il tensore di sforzo corrispondente a tale stato è

 

σ 0

 

σ =

= 0 0

Procedendo al tracciamento della circonferenza di Mohr si osserva che l’arbelo si riduce a 2 punti e una circonferenza

esterna, essendo e gli sforzi principali. Nello sforzo monoassiale, sia di trazione che di compressione (ragionamento

σ 0

analogo a quello appena visto) la circonferenza di Mohr è sempre tangente all’asse .

τ

Esistono tuttavia altri sforzi notevoli, ad esempio lo sforzo di taglio puro, descritto da

 

0 σ

 

σ =

= σ 0

−σ,

Avendo come sforzi principali e lo sforzo di taglio puro nel piano di Mohr produce sempre una circonferenza

σ

centrata nell’origine.

Si osserva che se si ha un provino soggetto a trazione lungo un asse e compressione lungo l’altro si ottiene un arbelo

identico a quello dello stato di taglio puro: i due stati sono infatti uguali, ma visti da riferimenti diversi (principale nel

primo caso, generico nel secondo).

L’ultimo caso degno di nota è quello di una trave caricata: il carico è dato da soli sforzi tangenziali in direzione

perpendicolare alla linea d’asse: 

 σ τ 

σ =

= τ 0

28

RELAZIONI ANALITICHE DEI LEGAMI COSTITUTIVI

Relazioni analitiche dei legami costitutivi

I legami costitutivi fin qui studiati si riferiscono a comportamenti iperelastici: nella curva del legame costitutivo è possibile

individuare in modo univoco un punto sulla curva e definire l’area sottesa così come anche un’energia comple-

ω (ε ),

ij

mentare Era stato detto che Perchè la relazione sia valida è necessario che il legame

γ (σ ). σ ε = ω (ε ) + γ (σ ).

ij ij ij ij ij

sia invertibile, ovvero la curva sia monotona crescente: in questo caso si possono definire le energie. Si dice perciò che

condizione necessaria e sufficiente per definire e è che l’energia di deformazione sia definita positiva, perciò si può dire

ω γ 12

che se e solo se Per i materiali elastici lineari vale : la condizione che questa

ω (ε ) = 0 ε = 0. ω (ε ) = D ε ε

ij ij ij ijhk ij hk

forma quadratica sia sempre positiva si traduce nel fatto che la matrice sia definita positiva a sua volta, ma questo è un

D ijhk

procedimento complesso perchè è del quarto ordine, ma ricordando le riduzioni introdotte in precedenza si può scrivere

D

12 . Avendo così una matrice a due indici è più facile imporre definita positiva. Questo è possibile se gli

d ε ε d

ω (ε ) = ij i j ij

ij

autovalori di sono tutti positivi, ma la matrice è una e il calcolo risulta laborioso: ci si limita perciò a osservare cosa

d 6x6,

accade per un materiale isotropo, in cui gli autovettori (del tensore di sforzo) sono allineati con gli autovettori

n , n , n

I II III

del tensore di deformazione. In queste condizioni il tensore di sforzo si riduce ad un vettore (e analogamente il tensore

delle deformazioni). Si può scrivere o anche, con il legame inverso (che può essere definito ipotizzando la matrice

σ = d ε

=

−1 −1

definita positiva), è relativamente semplice, essendo

E la matrice

ε = d σ. d

= =  

−ν −ν

1

1  

−1 −ν −ν

1

d = E

= −ν −ν 1

La condizione necessaria e sufficiente affinchè gli autovalori della matrice siano positivi è che tutti i determinanti dei

minori principali siano positivi.

Dalle condizioni risulta perciò { E 0

−1 1

ν 2

Si può giungere al punto precedente anche per un’altra via, evidenziando i legami tra k, G, E, ν.

Dimostrazione pressione isotropa  

σ 0 0

 

k

Si vuole ricavare Si considera uno stato di sforzo uniforme : le deformazioni che nascono

0 σ 0

p = v. σ =

3 = 0 0 σ

−1

dallo stato di sforzo si ottengono sfruttando . Esprimendo gli sforzi sotto forma di vettore, si avrà che

d

= 

 

 

−ν −ν σ

1 1

1 1

    

−1 −ν −ν −

σ

1 1

ε = d σ = = σ (1 2ν)

E E

= −ν −ν σ

1 1

σ+σ+σ . Sostituendo si può dunque affermare che

Anche il vettore di deformazione è isotropo, p = 3  

1

p (1 2ν)  

1

ε = E 1

8 E v v

Poichè la deformazione volumetrica è , invertendo la relazione si ricava il risultato desiderato ,

v = 3ε p = = k

1−2ν 3 3

bulk modulus.

dove è detto Se si applica trazione al volume esso aumenta, perciò, per ovvie ragioni fisiche, deve sempre

k k

8 viene detta deformazione volumetrica perchè per piccole deformazioni rappresenta la variazione percentuale di volume.

ε + ε + ε = I v

1 2 3 1

Dato un oggetto dalle dimensioni fissate, si supponga che si deformi: si ha e . Considerando

V = L L L V = L L L L =

0 10 20 30 1 2 3 1

e dividendo per si ha (analogamente anche per gli altri assi). Si può perciò calcolare il volume fina-

L + ∆L L λ = 1 + ε

10 1 10 1

le sfruttando gli stretch: V = L L L = (1 + ε )L + (1 + ε )L + (1 + ε )L = (1 + ε ) (1 + ε ) (1 + ε ) L L L =

1 2 3 1 10 2 20 3 30 1 2 3 10 20 30

≈ trascurando gli infinitesimi di ordine superiore

(1 + ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε ) V (1 + ε + ε + ε ) V

33

1 2 3 11 22 22 33 33 11 11 22 33 0 11 22 0

− −

all’andamento lineare. Risulta poi immediato calcolare , da cui

∆V = V V = (1 + ε + ε + ε 1) V

33

0 11 22 0

∆V = ε + ε + ε

v = 11 22 33

V

0 29

RELAZIONI ANALITICHE DEI LEGAMI COSTITUTIVI

essere positivo (non avrebbe senso una diminuzione di volume su un corpo soggetto a trazione uniforme):

{ E 0

k 0 1

ν 2

−1.

Si deve ancora verificare ν

Lo si fa sfruttando le circonferenze di Mohr. Si sa che 

 σ 0

 

σ =

= −σ

0

 

ε 0

 

ε =

= −ε

0

− − −

σ

σ ν σ ν 1+ν ν 1+ν

e inoltre Dunque si avrà

Perciò (σ + σ ) = + σ = σ, ε = (σ + σ ) = σ.

ε = 2

1 2 3 2 3 1

1 E E E E E E E E

[ ]

2

2 2

1 1 1 σ (1 + ν)

σ (1 + ν) σ (1 + ν)

ω = σ ε + σ ε = + =

1 1 2 2

2 2 2 E E E

Considerando ora un sistema di riferimento ruotato, si ha invece

 

0 σ

 

σ =

= σ 0 τ σ , da cui

Dalla relazione per la componente tangenziale e = ε + ε =

τ = σ γ = 12 12 21

12 12 G G

2

1 1 σ 1 σ

ω = τ γ = σ =

12 12

2 2 G 2 G

Poichè le due espressioni di devono essere uguali si ottiene

ω 2 2

σ (1 + ν) 1 σ

=

E 2 G

da cui si ricava E

G = 2 (1 + ν)

e imponendo le condizioni sul denominatore si ottiene la limitazione su ν.

L’esperienza, tuttavia, suggerisce che per materiali ingegneristici il coefficiente di Poisson non sia mai negativo, e

≤ ≤

E E

quest’ultima condizione porta a limitare anche il modulo che nel caso di isotropia sarà .

G, G

3 2

Le condizioni imposte sulle costanti e sono necessarie a garantire che l’energia di deformazione del materiale sia

E ν

Teorema di Clapeyron,

strettamente positiva (infatti, per il l’energia di deformazione è legata al lavoro esterno per deformare

il corpo, che è necessariamente positivo).

ortotropi:

Esistono poi anche i materiali si tratta di materiali in cui si possono individuare tre piani (mutuamente

ortogonali) di simmetria. Ci saranno tre moduli elastici, tre moduli di taglio e sei coefficienti di Poisson. Delle 12 costanti

in realtà solo 9 sono indipendenti tra loro, per via del fatto che il materiale è iperelastico e conseguentemente la matrice

−1 è simmetrica.

d

= trasversalmente isotropi:

Si menzionano anche i materiali essi sono materiali che nel piano ortogonale alla direzione in

cui differiscono dalle altre si comportano in maniera isotropa (è questo il caso di legno e compositi). Infine si possono

cubici,

incontrare materiali caratterizzati da tre sole costanti: possono essere considerati dei particolari materiali ortotropi

ma non sono isotropi perchè non esistono legami tra G, E, ν.

30

Parte IV

Teorie strutturali

31

TRAVI AD ASSE RETTILINEO

Travi ad asse rettilineo

Si è già presentato il concetto di trave, e in questa sezione verrà approfondita anzitutto la teoria sulle travi ad asse rettilineo

(anche se essa è generalizzabile a travi ad asse curvo). Si consideri una trave di lunghezza e sezione di forma qualsiasi (ma

l

per semplicità si considera una sezione a simmetria verticale): il movimento della trave è dato dal movimento della linea

d’asse.

Si definiscono s spostamenti, deformazioni, sforzi. Essendo la trave un solido monodimensionale (in cui una

ε σ

dimensione è predominante sulle altre), se la trave è sufficientemente lunga, la sua forma è definita dalla linea d’asse. Se la

trave subisce uno spostamento, in linea di massima tutti i punti della sezione, rispettando la congruenza, possono muoversi

liberamente, ma si osserva che (a meno di tagli o momenti torcenti) la sezione si mantiene piana. Si introduce perciò un

angolo di rotazione φ(x).

Si cerca ora di caratterizzare il movimento della trave: nell’ipotesi che la sezione si mantenga piana, il problema è

bidimensionale, e gli spostamenti in direzione perpendicolare al piano del taglio sono trascurabili. Sulla base di queste

  

  

ε σ

x x

  

  

s   

  

x   

  

, , . Supponendo di conoscere il movimento della linea

osservazioni si scrive s ε σ

= ε = σ =

     

z z

     

s

z γ τ

xz xz variabili cinematiche

d’asse della trave si cerca di ricostruire il movimento in tutto il campo di spostamenti. Si parla di

generalizzate 

 Spostamento orizzontale baricentro

u (x) Spostamento verticale baricentro

w (x)

 Rotazione della sezione

φ (x)

che si riferiscono al comportamento della sezione: questo è tipico di tutte le teorie strutturali, e i ragionamenti - riferirsi

ad una dimensione trasversale piccola rispetto al resto del corpo - possono essere applicati anche a piastre o gusci. Il campo

degli spostamenti viene ricostruito con le variabili cinematiche generalizzate.

{ ≈

s (x, z) = u (x) + zsinφ u (x) + zφ (x)

x − ≈

s (x, z) = w (x) + z zcosφ w (x)

z

Assegnato un campo di spostamenti, si possono calcolare le deformazioni come

 du(x) dφ(x)

∂s

 ε = = + z

x

x ∂x dx dx

∂s

ε = = 0

z

 z ∂z

 dw(x)

∂s

∂s + = φ (x) +

γ = z

x

xz ∂z ∂x dx

deformazioni generalizzate.

Le derivate sono già riferite alla sezione, perciò si parla di In particolare si ha

 du Deformazione assiale

 = η (x)

dx

dφ Curvatura flessionale

= χ (x)

 dx

 dw Deformazione a taglio (scorrimento)

φ (x) + = t (x)

dx

Essendo note le deformazioni della sezione si conoscono anche le deformazioni locali in ogni punto della trave. Risulta

perciò sufficiente esaminare quello che accade su una porzione limitata della struttura - nello specifico la linea d’asse - per

conoscere tutto del corpo. Si usa poi il principio dei lavori virtuali per trasferire quantità distribuite sulla sezione a tutto il

corpo.

Considerando una trave soggetta a carichi (forze di volume o trazioni superficiali) e applicando il principio dei lavori

virtuali si ottiene [ˆ ] [ˆ ]

ˆ ˆ

dL est = b dAs (x, z) = b (u (x) + zφ (x)) dA = b dA u (x)+ b zdA φ (x) = n (x) u (x)+m (x) φ (x)

x x x x x

dx A A A A

Effettuando un ragionamento analogo sulla componente verticale dello spostamento si ha invece

[ˆ ]

ˆ ˆ

dL

est = b dAs (x, z) = b (w (x)) dA = b dA w (x) = p (x) w (x)

z z z z

dx A A A

32

TRAVI AD ASSE RETTILINEO

Perciò dL est = n (x) u (x) + m (x) φ (x) + p (x) w (x)

dx

Ragionando sull’intera trave, si deve semplicemente applicare l’operatore di integrale esteso a tutta la lunghezza l.

Nella trave di partenza, però, oltre ai carichi, si potevano avere anche diversi tipi di vincolo sulla linea d’asse, espressi da

opportuni agli estremi della trave. Se fossero presenti, nella trave, componenti di spostamento, si

u , w , φ , u , w , φ

0 0 0 l l l

dovrebbe sommare al lavoro esterno il lavoro compiuto dalle forze agli estremi per gli spostamenti consentiti dai vincoli.

Per completezza la formulazione diventa

dL

est Pp

= n (x) u (x) + m (x) φ (x) + p (x) w (x) +

dx

 

 

H u

0 0

 

 

H u

 

 

l l

 

 

V w

 

 

0 0

dove P e p .

= =

 

 

V w

 

 

l l

 

 

W φ

0 0

W φ

l l

Si devono poi determinare le componenti di sforzo Con riferimento ad un concio di trave di lunghezza si può

σ. dx,

calcolare (ˆ ) (ˆ ) (ˆ )

ˆ ˆ

dL int = (σ ε + τ γ ) dA = (σ [η (x) + zχ (x)] + τ t (x)) dA = σ dA η (x)+ σ zdA χ (x)+ τ dA t (x

x x xz xz x xz x x xz

dx A A A A A

ˆ l

L

= = (N η + M χ + T t) dx

int 0

I due lavori sono coincidenti se e solo se le forze esterne sono in equilibrio con le azioni interne.

´ ´

l l

L L ⇒ · · ·

Dal principio dei lavori virtuali, Pp

= (n u + p w + m φ) dx + = (N η + M χ + T t) dx

est int 0 0

Si può prescindere dal fatto che le quantità equilibrate non siano in relazione con quelle congruenti, è infatti sufficiente

che esse abbiano lo stesso dominio.

Si può dimostrare che, come conseguenza dell’equazione precedente, vale l’equilibrio indefinito: sviluppando i conti e

applicando il teorema della divergenza si perviene a dN + n =0

dx

dT + p =0

dx

dM −

= T m

dx

Si sa che il principio dei lavori virtuali vale in maniera del tutto indipendente dal legame costitutivo. Ci si deve dunque

aspettare che siano generiche funzioni di Applicando la teoria delle travi di Saint-Venant (verrà affrontata

N, M, T η, χ, t.

dettagliatamente più avanti) si ricava il legame costitutivo · ·

N = E A η

· ·

M = E I χ

· ∗ ·t

T = G A

dove è il momento d’inerzia della sezione e è la cosiddetta area di taglio. Il legame costitutivo relaziona in modo

I A∗

completamente disaccoppiato le varie grandezze. Si può esprimere anche il legame inverso nella forma

1 N

η = EA

1

χ = M

EI

1 T

t = GA∗

33

LINEA ELASTICA

Linea elastica − · ·

dM

Ci si sofferma ora su e per introdurre la linea elastica. Ripartendo dal modello elastico della

= T m M = E I χ

dx

trave, si consideri la seguente cinematica: { dw

t = φ + = 0

dx

χ = dx

in cui la prima equazione esprime la presenza di deformazione data da sola rotazione flessionale, e il sistema diventa

{ { ′

−φ −w

dw = φ =

dx ′ ′′

−w

χ = χ = φ =

dx ′ ′′

−w 1

La cinematica di trave senza deformazioni a taglio è descritta da . Ricordando che , si ottiene

χ = φ = χ = M

EI

′′

−w

M

della linea elastica

l’equazione .

=

EI

Si osservi come la linea elastica imponga congruenza e legame costitutivo. L’equazione riportata è una equazione

differenziale del secondo ordine nella sola variabile perciò integrando e risolvendo si ha

x, )

ˆ ˆ

x x s

1 1 1

′′ ′

− → − → −

w = M (x) w = M (x) dx + C w = M (s) ds dx + C x + C

1 1 2

EI EI EI

0 0 0

Si nota come vengano introdotte delle costanti di integrazione, determinate utilizzando le condizioni al contorno, che

si traducono in vincoli alle estremità della trave. Il vantaggio di questo metodo è che si riesce comunque a trovare anche

w

dT dM

se la struttura è iperstatica. Ci sono altri approcci che uniscono a ma questi portano ad una

+ p = 0 = T m,

dx dx

derivata del quarto ordine e perciò sono sconsigliati nella risoluzione dei problemi.

Esempio

Si consideri una trave con incastro e carrello: essa è una struttura iperstatica, perciò non si possono calcolare le reazioni

vincolari, dunque è impossibile ricavare il momento flettente. Si riduce la struttura ad una con cui sappiamo lavorare,

sostituendo il vincolo con una forza esterna di valore incognito. Scrivendo poi i momenti e le azioni interne si può

sfruttare l’equazione della linea elastica: per determinare, infine, le condizioni al contorno si studia la struttura isostatica

ricordando che i cedimenti imposti rimangono nella struttura. Sostituendo le costanti si ricava infine l’iperstatica.

Verifica di resistenza

L’argomento trattato in questa sezione è molto importante perchè serve a chiarire se le assunzioni fatte sul legame costi-

tutivo elastico sono valide o no. Si ricorda che vale (in caso monodimensionale e regime elastico è poi

σ = D ε

ij ijhk hk

possibile definire il modulo di Young Nella realtà le cose non sono così semplici perchè non si può pensare che il

E).

legame costitutivo sia illimitato: nei materiali si osserva che si ha la fine del tratto rettilineo con sforzo di snervamento (per

materiali metallici/duttili) o con la rottura del provino (per materiali fragili). Bisogna essere consapevoli che la validità dei

legami è limitata. Con un comportamento monoassiale è relativamente semplice definire tensori di sforzo e deformazione,

in quanto assumeranno le seguenti forme:  

σ 0 0

11

 

0 0 0

σ =

= 0 0 0

 

ε 0 0

11

 

0 ε 0

ε = 22

= 0 0 ε

33

La verifica per non superare il limite di linearità è abbastanza facile: basta calcolare che lo sforzo sia contenuto nei

limiti a trazione e compressione, il che si traduce nel rispetto delle DISEQUAZIONI. Quanto mostrato vale in caso di

legame monoassiale. Quando si effettuano le prove sui materiali si riscontrano però valori diversi per provini diversi:

non si può fissare un valore preciso, ma solo calcolare un valore di distribuzione di resistenza. Le resistenze non sono

valori di tipo deterministico ma calcolabili solo come distribuzioni statistiche: il valore da considerare, per ragioni di

σ

¯

sicurezza, dovrà perciò essere inferiore al valor medio degli sforzi a trazione, ovvero , dove è un opportuno

σ = F

t

L S

F

S

34

VERIFICA DI RESISTENZA ≈ ≈

coefficiente di sicurezza. Per i materiali fragili i coefficienti di sicurezza saranno valore che si riduce a

1, 5, 1, 15

per materiali duttili. I coefficienti sono tarati in modo opportuno sulla base delle carateristiche meccaniche del materiale.

≤ ≤

σ σ

Si valutano perciò i limiti di validità della legge lineare: (per materiale fragile), o anche

σ = σ σ =

c t

Lc 11 Lt

F F

S S

σ σ

−σ − ≤ ≤ (per materiale duttile). Finchè si ha uno stato di sforzo monoassiale il calcolo è semplice.

y y

= σ σ =  

L 11 L

F F

S S σ τ τ

11 12 13

 

Ma nel caso più generale si avrà . Come si può controllare che lo stato di sforzo definito dal

τ σ τ

σ = 21 22 23

= τ τ σ

31 32 33

tensore sia ammissibile rispetto ai limiti di resistenza? Si deve introdurre una grandezza che identifichi lo stato di sforzo in

( ) grandezza indice del pericolo.

un punto del corpo: viene detta Essa può essere di qualunque genere: saclare, vettore,

f σ

=

tensore.

La scelta viene fatta in base alla natura del materiale.

Questa funzione viene poi confrontata con il tensore di sforzo valutato in corrispondenza di una rottura monoassiale:

)

(

( ) ≤ . Se la condizione di sforzo è accettabile per il materiale il progetto non va modificato: se così non

= f

f σ f σ L

L

= =

fosse (verifica non soddisfatta) si dovrebbe rivedere il progetto, modificando la struttura in modo da ridurre i carichi. A

ogni grandezza indice del pericolo è associato un criterio di resistenza.

Criterio di Galileo-Rankine-Navier

Secondo questo criterio, applicato a materiali fragili (con resistenza a trazione limitata, quali ad esempio il calcestruzzo), il

≤ ≥

massimo sforzo ammissibile deve essere minore dello sforzo limite a trazione: . Analogamente, ,

σ σ σ σ

max Lt min Lc

{σ } {σ }.

dove e La risoluzione del problema agli autovalori è ricavabile

σ = max , σ , σ σ = min , σ , σ

max I II III min I II III ≤ ≤

dalla circonferenza di Mohr. In generale, detto si avrà che . Il criterio di Galileo si applica a

α = I, II, III, σ σ σ

Lc α Lt

tutte le componenti del tensore di sforzo (che, essendo simmetrico, può essere ridotto ad una matrice diagonale). Introdotto

vettoriale

il criterio, le grandezze indici del pericolo sono massimo e minimo sforzo principale. Si tratta di un criterio di tipo

 ≤ ≤

 σ σ σ

Lc I Lt

≤ ≤

perchè ci sono 2 componenti. Riassumendo, si possono definire le seguenti disuguaglianze: σ σ σ

 Lc II Lt

 ≤ ≤

σ σ σ

Lc III Lt

Si può approntare una rappresentazione grafica, introducendo lo spazio degli sforzi principali (uno stato di sforzo

è un punto, ogni disuguaglianza è rappresentata da un piano): unendo i 6 piani si individua un cubo, al cui interno è

contenuta l’origine del sistema di riferimento. Se il punto rappresentativo ricade all’interno del cubo (o sulla superficie) si

ammissibile.

dice che lo sforzo è Se fosse all’esterno del cubo si supererebbe la resistenza limite. Con la verifica di resistenza

si considera lo stato di sforzo di un punto della struttura: si parla allora di verifica locale. Dal punto di vista teorico,

dovrebbe essere applicata a tutti i punti della struttura: ovviamente si considerano solo i punti critici. Nel caso piano, il

criterio di Galileo si semplifica poichè è e la terza coppia di disuguaglianze è automaticamente soddisfatta. La

σ = 0,

III

rappresentazione grafica diventa perciò bidimensionale, e questo permette di osservare che per materiali fragili si ha un

buon comportamento solo se sono compressi in entrambe le direzioni. Il criterio di Galileo non vale per materiali duttili,

per i quali si ha un grafico che porta a osservare che nelle zone a taglio (con materiali metallici) il criterio di Galileo non

va più bene: effettuando prove bidimensionali con sforzi a taglio, il provino si rompe ben lontano dal punto previsto. Il

9

criterio di Galileo non riesce a catturare il comportamento a taglio dei materiali metallici.

Criterio di Guest-Tresca

Questo criterio si applica a materiali duttili (metallici), che sono insensibili alla pressione isotropa siccome si considera la

sola componente deviatorica delle . Per il criterio, deve essere rispettata . Si ricorda, dalla circonferenza di

τ τ τ

{ } max L

|σ −σ | |σ −σ | |σ −σ |

Mohr, che (sono i raggi delle circonferenze di Mohr).

I II II III III I

τ = max ; ;

max  

2 2 2 σ 0 0

L

 

Considerando una prova monoassiale , al raggiungimento del valore limite si ha snervamento

0 0 0

σ =

= 0 0 0

del provino. La rottura avviene non perchè si raggiunge , ma perchè si raggiunge : lo snervamento è causato da

σ τ

L L

9 Sempre relativamente a materiali fragili, esistono anche il criterio di Grashof, che considera come grandezza indice del pericolo le deformazioni ε,

ma è applicabile solo a materiali simmetrici per non incorrere in contraddizioni, e il criterio di Beltrami, che sfrutta l’energia di deformazione essendo

ω:

questa una forma quadratica, il materiale dovrà necessariamente essere simmetrico. Questi criteri sono tuttavia poco impiegati a causa dei risultati assurdi

che si potrebbero ottenere da un loro incauto utilizzo. 35

VERIFICA DI RESISTENZA ◦

dislocazioni giacenti su piani inclinati di rispetto al piano di sforzo. Il criterio diventa dunque

45 }

{ |σ − | |σ − |

|σ − | σ σ σ

σ II III III I L

I II ≤

max ; ;

2 2 2 2 

 −σ ≤ − ≤

 σ σ σ

L I II L

−σ ≤ − ≤

Si possono scrivere tre disuguaglianze (che diventano sei per via della presenza del valore assoluto): σ σ σ

 L II III L

 −σ ≤ − ≤

σ σ σ

L III I L

Anche queste disuguaglianze hanno una rappresentazione grafica: nello spazio degli sforzi principali, ogni disugua-

glianza è un piano (non sono piani paralleli e coordinati, ma inclinati di ). Si ottiene così un cilindro a base esagonale

45

10

(il contorno della figura è illimitato lungo l’asse idrostatico perchè per il criterio di Tresca il materiale è insensibile alla

pressione isotropa).

Si osservi che un’altra possibile rappresentazione per il criterio è disegnare il cosiddetto piano ottaedrale, ovvero il

piano perpendicolare all’asse idrostatico: in tale sistema si otterrà un esagono regolare, sezione del cilindro di Tresca.

Si analizzi infine il caso piano del criterio di Tresca: in questa situazione e le disuguaglianze si semplificano,

σ = 0,

III

−σ ≤ − ≤

 σ σ σ

L I II L

−σ ≤ ≤

con l’ultima coppia che diventa uguale alle equazioni di Galileo. Si avrà infatti: . Ricordando

σ σ

 L I L

−σ ≤ ≤

σ σ

L II L

che nel piano una disequazione identifica un semipiano, la soluzione del sistema sarà data da un esagono che determina lo

stato di sforzo ammissibile. Si noti che nel caso in tre dimensioni il criterio è illimitato (lo sforzo è ammissibile per pressione

isotropa), ma nel caso in due dimensioni la regione è limitata perchè e l’unico sforzo isotropo ammissibile sarebbe

σ = 0

III

p = 0.

Nelle condizioni di taglio, il criterio di Tresca “sottovaluta” le prestazioni del materiale metallico (lungo la linea di

−σ

taglio puro la rottura del materiale è prevista con un errore massimo del circa). Il criterio di Tresca

σ = 15%

I II

diventa più semplice quando si considera lo stato di sforzo delle travi: è un particolare stato di sforzo piano per il quale

 σ τ 0 

 (stato di sforzo

il tensore di sforzo, per un opportuno sistema di riferimento, può essere ricondotto a τ 0 0

σ =

= 0 0 0 ±

della trave di Saint Venant). Calcolando gli sforzi principali con il cerchio di Mohr, si ricorda che

σ , σ σ = σ R =

√ I II I,II 0

( ) ( ) 2

−σ

± ±

σ +σ σ σ 12

2 2 2

. Ma se e risulterà allora che . Nel caso delle travi,

+ τ σ = 0 σ = 0, σ = σ + 4τ

I II I II I II I,II √

2 2 2

− ≤ −

σ 1 σ

2 2

richiamando la forma dell’arbelo di Mohr, il criterio di Tresca si riduce a , ovvero

σ σ σ + σ + 4τ +

√ I II L 2 2 2

1 2 2 , da cui

σ + 4τ σ √

L

2 ≤

2 2

σ = σ + 4τ σ

T RESCA L

Criterio di Von Mises

Quando si usa il criterio di Tresca si sbaglia a valutare il comportamento a taglio: von Mises suggerisce dunque di studiare,

ipotizzando di avere un materiale elastico lineare (per cui sia quindi possibile definire un’energia di deformazione), l’energia

12 12

associata allo stato di sforzo: . Si deve considerare come grandezza indice

ω = ω + ω = pv + s : e

volumetrica deviatorica

( ) = =

≤ −

del pericolo la sola energia deviatorica, avendo così . Per calcolare si ricorda che , dove

ω σ ω ω s = σ pI

dev L dev

= = = =

− 13

1 ed , dove .

(σ + σ + σ ) e = ε vI v = ε + ε + ε

p = 1 2 3 1 2 3

3 = = = −

σ

Il criterio vale per tutti i materiali ma noi lo applichiamo ad un materiale elastico lineare isotropo. Si ha ε = 1

( )

1 E

− − −

ν 1 1 2 2 2

e . Il risultato finale, considerando gli sforzi principali, sarà .

(σ + σ ) γ = τ σ + σ + σ σ σ σ σ σ σ

2 3 12 12 I II II III III I

I II III

E G 6G

Per calcolare si calcola l’energia deviatorica associata allo stato di sforzo limite per un corpo - ad esempio rottura

ω

L 1 2 . Si ottiene così

monoassiale: σ

ω = ω =

snervamento monoassiale

L L

6G

dev( ) − − − ≤

2 2 2 2

σ + σ + σ σ σ σ σ σ σ σ

I II II III III I

I II III L

11 10 Trisettrice del primo ottante, e retta equidistante dai tre assi, identificata da )

σ = σ = σ

I II III

11 Von Mises non ha scritto il criterio pensando ad un materiale elastico lineare isotropo: la dimostrazione partiva dall’invariante secondo del deviatore

√ ≤

degli sforzi (la vera grandezza indice del pericolo) confrontato con l’invariante secondo associato allo sforzo monoassiale di snervamento, cioè J

√ 2

. Per questo motivo il criterio di von Mises viene spesso - soprattutto nella letteratura anglosassone - chiamato “criterio ”.

J = σ J

2

L

2L 36

VERIFICA DI RESISTENZA

La rappresentazione grafica del criterio prevede che in tre dimensioni si ottenga un cilindro a sezione circolare, e nel

piano ottaedrale una circonferenza perfettamente circoscritta all’esagono ottenuto con il criterio di Tresca.

≤ 2

A differenza dei criteri di Galileo e di Tresca, il criterio di von Mises è uno scalare (ω ) perchè si ottiene un

σ

dev L

− ≤

2 2 2

numero come risultato. Nel caso piano il criterio di von Mises diventa : questa è l’equazione

σ + σ σ σ σ

I II

I II L

di un’ellisse, che intersecherà l’esagono di tresca in 6 punti. Essa avrà gli assi principali disposti come le bisettrici dei

quadranti. Dai dati sperimentali, si finisce sul contorno della figura, a conferma del fatto che il criterio di von Mises è

molto realistico. Come per il criterio di Tresca, in tre dimensioni il criterio è illimitato, in due dimensioni no poichè non

è possibile avere pressione isotropa. √

±

σ 12 2 2

Nel caso delle travi si ricorda che deve valere . Sostituendo nel criterio di von Mises si ha che

σ = σ + 4τ

I,II

√ √

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

− ≤

σ 1 σ 12 σ 14 σ 12 σ 14

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 , da cui

σ + 4τ + 2 σ + 4τ 2 σ + 4τ σ

+ σ + 4τ + + σ + 4τ + L

4 4 2 4 2 4

2 2 2 2

σ = σ + 3τ σ

M ISES L

37

Parte V

La trave

38

MODELLO DI DE SAINT VENANT

Si richiamano anzitutto le equazioni di equilibrio: su , su . Esistono poi le equazioni

σ + b = 0 V σ n = t S

( ) ij,i j ij i j f

∂s

∂s

1

di congruenza su , su . Sono poi state aggiunte le equazioni algebriche del legame

j

ε = + V s = s

¯ S

i

ij j j u

2 ∂x ∂x

j i

costitutivo .

σ = D ε

ij ijhk hk

Si può dimostrare che, se le condizioni al contorno sono ben poste, si può arrivare alla soluzione del problema. Si

osservi che ad esempio se un corpo ha degli spigoli la normale non è definita e la soluzione matematica è difficile.

se esiste una soluzione è unica. (Teorema di Kirchhoff)

Matematicamente il problema è ben posto e

Modello di De Saint Venant

Verrà analizzato un unico problema: la trave di De Saint Venant. Si devono considerare le travi come dei continui in cui

si instaurano campi di deformazioni e sforzi e a causa del legame costitutivo si generano sforzi che compensano le forze

esterne.

Il modello di De Saint Venant è una trave estremamente semplificata per cui valgono ipotesi di natura geometrica,

statica e materiale.

• Geometriche: il solido di De Saint Venant è un cilindro. Considerando una sezione casuale tutte le rette perpen-

principali d’inerzia,

dicolari alla sezione sono direttrici del cilindro. La sezione ha un baricentro e due assi, detti

non ci sono vincoli

perpendicolari al terzo asse, che è la linea d’asse della trave. Inoltre (la trave “galleggia” per aria) e

asse rettilineo

la trave deve avere un (poichè è un prisma retto).

• Statiche: ipotesi relative ai carichi applicati. Le forze di volume sono nulle (b per rendere più semplice la

= 0,

j

risoluzione matematica). Su tutto il contorno le trazioni superficiali sono nulle (t sulla superficie laterale

= 0 Γ).

j

Le forze sono applicate solo sulle facce della trave: e sono autoequilibrate sulle due basi.

t t

0 l

elastico, lineare, isotropo e omogeneo

• Materiale: deve essere (il materiale deve essere lo stesso, per poter usare ).

E, G, ν

Nonostante le ipotesi siano molto restrittive esse permettono di ottenere una soluzione più che accettabile. Esiste il

postulato di equivalenza elastica Postulato di De Saint Venant):

(o si consideri una distribuzione di trazione superficiale e si

ricavi il valore delle azioni interne pari al valore della massima dimensione della sezione. Per la trave si ricorda che deve

valere dove indica la lunghezza della trave e la massima dimensione trasversale. A distanza il valore delle

L 10D, L D D

azioni interne non dipende dall’effettiva distribuzione delle trazioni superficiali ma solo dalla loro risultante. Il postulato

di De Saint Venant permette di dire che, anche se le condizioni al contorno non rispettano le ipotesi di De Saint Venant, a

distanza sufficiente si ritrovano gli sforzi previsti da De Saint Venant.

Dimostrazione del modello di De Saint Venant

Richiamando la struttura, l’oggetto non è vincolato e si possono perciò utilizzare le equazioni di congruenza interna. Si

semiinverso

può sfruttare il metodo secondo cui si ipotizzano noti alcuni sforzi. In particolare si suppone che lo stato di

 

σ τ τ

x yx zx

 

sforzo sia governato da un tensore . Per l’ipotesi di De Saint Venant, Se si

τ 0 0

σ = σ = σ = τ = 0.

xy y z zy

= τ 0 0

xz

considerano e si sostituiscono nelle equazioni di equilibrio si può osservare che alcune di esse, per definizione,

σ , τ , τ

x xy xz

sono automaticamente soddisfatte. A causa del legame costitutivo ci possono essere solo alcune componenti del tensore

elast.lineare

τ 2(1+ν) 2(1+ν)

−νε

1

delle deformazioni: , , ,

xy

ε = σ ε = ε = γ = = τ γ = τ

x x y z x xy xy xz xz

E G E E

Si possono ora usare le equazioni di congruenza interna: sono 6 equazioni, 4 delle quali sono automaticamente soddi-

sfatte (e danno una condizione particolare su ). Perchè le equazioni possano essere dichiarate vanno introdotte le oppor-

σ

x n, deve valere n t (ov-

tune condizioni al contorno: sulla superficie laterale della sezione definita la normale σ = = 0

Γ,

     

=

σ τ τ 0 τ n + τ n

x yx zx xy y xz z

     

vero deve esserci assenza di trazioni superficiali). Questo implica τ 0 0 n 0

= =

yx y

τ 0 0 n 0

  zx z

0

 

: la condizione al contorno di Cauchy si traduce nel fatto che Questo, nel piano della sezione,

0 τ n + τ n = 0.

xy y xz z

0 [ [

] ]

τ n

xy y

significa che en devono essere ortogonali tra loro.

τ = =

τ n

xz z 39

MODELLO DI DE SAINT VENANT

La soluzione finale del problema (saltando passaggi intermedi) dice che

 dτ

 dτ

xy + = b y + b z Equilibrio

xz

 ( )

1 2

 dy dz dτ

− −

d ν

xy = b Congruenza

xz 2

( )

 dy dy dz 1+ν

 dτ

d ν

xy = b Congruenza

xz 1

dz dy dz 1+ν

C’è poi la condizione sul contorno Le 4 equazioni di congruenza permettono di pervenire ad

Γ: τ n + τ n = 0.

xy y xz z

una soluzione generale data da −

σ = a + a y + a z x (b y + b z)

x 1 2 1 2

Lo sforzo è perciò noto in forma analitica (campo di sforzo lineare nelle variabili Per quanto riguarda le

σ y, z).

x 12

tensioni tangenziali si mettono a sistema le restanti equazioni differenziali . Il problema è capire i valori - e il significato

- delle costanti di integrazione . Ci si soffermerà ora sull’equazione che descrive , dimostrando che è

a, a , a , b , b σ

1 2 1 2 x

causato da un’azione assiale e da uno dei due momenti flettenti . Analogamente le condizioni al contorno sono

N M , M

y z soluzione di De Saint

causate da un momento torcente e da azioni di taglio . Quella associata a viene detta

M T , T σ

t y z x

Venant per sforzi normali.

Sforzo , pressoflessione e flessione retta

σ

x ´

´ Deve essere garantito l’equilibrio

e

Richiamando di nuovo il solido, si osserva che si ha t zdA.

t dA M =

N = x0

0 x0 0y

A A

dell’intera struttura, perciò: (l’azione assiale deve essere costante) - l’equazione esprime l’equilibrio lungo

N = N = N

0 l −

Si avrà poi, scrivendo l’equilibrio alla rotazione, Analogamente,

x. M = M + T l. M = M T l.

ly 0y z lz 0z y

In una generica sezione della trave, a distanza dall’origine, si dovrà introdurre un momento flettente dalle proprietà

x

analoghe: e Con riferimento ad una generica sezione si scriva ora l’equazione di

M = M + T x M = M T x.

y 0y z z 0z y

equivalenza tra equazioni di equilibrio e sforzi di De Saint Venant. Preso un generico elemento di area collocato a

dA

distanza e rispettivamente dagli assi e su cui agiscono sforzi uscenti dal piano della sezione. Si avrà

y z z y σ

x

ˆ

N = σ dA

x

A

ˆ

M = σ zdA

y x

A

ˆ

M = σ ydA

z x

A

Non si considera l’azione tagliante perchè si stanno studiando i soli sforzi normali.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Si avrà: − −

N = a dA + a ydA + a zdA xb ydA xb zdA

1 2 1 2

A A A A A

Sfruttando il riferimento principale d’inerzia, e sono assi baricentrici e i loro momenti statici sono tutti nulli e ci si

y z

riconduce a da cui

N = aA, N

a = A

Si ripetano ragionamenti analoghi con i momenti:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

− −

2 2

M = M + T x = a zdA + a zydA + a z dA b x yzdA b x z dA

y 0y z 1 2 1 2

A A A A A

´ 2

Anche in questo caso alcuni integrali si annullano e, ricordando che è il momento d’inerzia rispetto a si

z dA y,

A

potrà scrivere, uguagliando i termini con e quelli senza,

x M 0y

M = a I a =

0y 2 y 2 I y

T

z

−b ⇒ −

T = I b =

z 2 y 2 I y

12 L’insieme di queste equazioni dà luogo ad un problema ben posto: noto il contorno la soluzione analitica può essere risolta.

Γ

40

MODELLO DI DE SAINT VENANT

Analogamente [ ]

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

− − − −

2 2

M = M T x = a ydA + a y dA + a yzdA b x y dA b x yzdA

z 0z y 1 2 1 2

A A A A A

da cui si ricaverà poi M 0z

−a ⇒ −

M = I a =

0z 1 z 1 I z

T

y

−b ⇒ −

T = I b =

y 1 z 1 I z

Sostituendo ora i valori delle costanti in si avrà

σ x −

N M T x M + T x

0z y 0y z

σ = y + z

x A I I

z y

Perciò N M M

y z

σ = + z y

x A I I

y y

formula della pressoflessione

Questa è nota come (soluzione del problema di De Saint Venant in assenza di momenti

torcenti e tensioni tangenziali).

La formula della pressoflessione si può particolarizzare nel caso in cui alcune azioni siano nulle: se si

N = 0, M = 0

z

formula della flessione retta

ha la (corrisponde al momento flettente che agisce nel piano della struttura, ed è la formula alla

base dei diagrammi del momento nel tracciamento delle azioni interne):

M y

σ = z

x I y

Studiando più in dettaglio il problema, l’equazione sopra riportata dice che, nel caso in cui il momento flettente sia

allineato con un asse principale d’inerzia, gli sforzi variano linearmente, con una distribuzione a farfalla, assumendo valore

massimo nei punti più distanti dall’asse considerato. Tutti i punti che giacciono sull’asse hanno sforzo nullo, lo stesso

varrà per le deformazioni (uguali agli sforzi a meno della costante c’è una retta nella sezione per cui sono nulle le

ε E):

x

deformazioni. asse neutro

Si definisce il luogo dei punti della sezione a deformazione nulla. Esso è l’asse intorno a cui la sezione ruota

rigidamente mantenendosi piana. Questa rotazione è associata alla curvatura della trave (quella che dà luogo alla deformata

M

elastica). Si avrà dunque y

ε = z = χ z.

x y

EI y

Si introducono altri due assi per studiare più approfonditamente la flessione retta. Sul piano si possono disegnare,

zy

in sostituzione del momento , due forze a distanza tra di loro (tali che ). Le forze devono appartenere

M F d F d = M

piano di sollecitazione

al piano detto (ortogonale al vettore momento). L’asse di sollecitazione è perpendicolare al

zx, ss

vetore momento per definizione. L’asse oltre a essere l’asse di sollecitazione, è quello per cui si ha la massima crescita di

z,

e

σ ε. piano d’inflessione

Il piano che contiene sia la linea indeformata della trave che quella deformata è detto (nel caso

specifico è ancora La traccia del piano di inflessione nel piano di sezione è detta asse di inflessione (che viene a

zx). ii

coincidere con Se il momento flettente agisce secondo un asse principale d’inerzia (ovvero si ha flessione retta), asse di

ss).

inflessione e asse di sollecitazione coincidono. Inoltre, per definizione, l’asse di sollecitazione è perpendicolare al vettore

momento, mentre l’asse di inflessione è perpendicolare all’asse neutro. M − M

N

Esiste il problema della combinazione di azione assiale e momento flettente: si ricorda che Si

y

σ = + z y.

z

x

[ ] A I I

y y

M

y

M

supponga di avere la presenza contemporanea di e , ovvero di un vettore . Si avrà e

=

M M M = M cosγ

y z y

M

z

M .

da cui

M = M sinγ, tan γ = z

z M y

Si potrebbe avere una sezione non simmetrica con informazioni relative ad un sistema di riferimento principale d’i-

nerzia: si potreanno calcolare area, momento statico, baricentro, momento d’inerzia e momento centrifugo essendo noti

i valori geometrici della sezione. Si potrà ricavare angolo di inclinazione tra asse principale d’inerzia e asse essendo

α, x,

√( ) 2

−I

I

2I I +I ± 2 . Il momento potrà essere somposto sugli assi principali

. Si ricorda che x y

xy x y + I

tan 2α = I =

u,v

−I xy

I 2 2

x y 41

MODELLO DI DE SAINT VENANT

d’inerzia: e (il momento va sempre decmposto sugli assi principali d’inerzia), e si scriverà

M = M cosα M = M sinα

u v

dunque N M M

u v

σ = + v u

x A I I

u v

Si verifica ora cosa accade quando i momenti flettenti sono applicati contemporaneamente: una volta individuato il

vettore momento è univoco determinare il piano di sollecitazione (perpendicolare al momento stesso). Per comprendere

la cinematica della sezione, si scriva la distribuzione degli sforzi:

M M

y z

σ = z y

x I I

y z

1

Ci sarà anche una deformazioneε , e sicuramente in qualche punto della sezione ricercare tali

= σ σ = ε = 0:

x x x x

E I

M

punti equivale a ricercare l’asse neutro. Per trovarlo si deve dunque risolvere questa, nel piano della sezione,

y

z = y:

z

M I

y z

è una retta passante per l’origine. I y

z = tan γ y = tan βy

I z

̸

In generale l’angolo formato dall’asse neutro con l’asse è diverso da (nel caso della flessione retta i due

tan β = tan γ: y γ

assi coincidono). L’asse neutro identifica la direzione della massima crescita degli sforzi (asse di inflessione, perpendicolare

− 1

all’asse neutro): z = y

tan β

Questo significa che la trave sottoposta a flessione si deforma in un piano non coincidente con quello di sollecitazione,

flessione deviata.

e si parla allora di Il momento flettente non agisce sugli assi principali d’inerzia.

Volendo tracciare il diagramma degli sforzi normali per flessione deviata si disegnano due parallele all’asse neutro e si

proiettano le estremità: deve essere tracciato parallelo all’asse di inflessione con nullo sull’asse neutro.

σ

Si torni ora a considerare il caso in cui sia applicata anche un’azione assiale: essa determina uno sforzo costante σ (N ) =

x

N , quindi il suo effetto sarà incrementare dello stesso valore tutti gli sforzi della flessione deviata, perciò l’asse neutro non

A M − M

N

avrà più sforzi nulli. Si ricerca se esiste un nuovo luogo dei punti del piano per cui valga Si otterrà

y

σ = + z y.

z

x A I I

y y

così: M I N I

z y y

z = y = tan βy + B

M I M A

y z y

Questa è l’equazione di una retta che non passa per l’origine. L’asse neutro è parallelo al precedente e passa per B

quindi non più per il baricentro della sezione: il diagramma degli sforzi, in presenza di azione assiale, viene traslato.

Anche in questo caso si può calcolare l’equazione dell’asse di inflessione:

1

ii = z = y

tan β

A volte può essere conveniente supporre che l’azione assiale venga applicata in un punto appartenente all’asse di infles-

sione ma non sul baricentro. Si parla in questo caso di azione eccentrica e la distanza di cui viene traslata l’azione assiale

eccentricità.

rispetto al baricentro della sezione viene detta Questo è difficile da riconoscere con una flessione deviata ma è

molto utile con la flessione retta: mano a mano che si sposta dal baricentro, al limite all’infinito, aumenta il momento,

N

arrivando al limite a diventare predominante. · M

Calcolando analiticamente e l’eccentricità (misurate sull’asse di inflessione), risulta che con e

δ δ e = cost e = cost

N

negativa.

Resta infine da definire l’energia di deformazione. Supposto il materiale iperelastico, per cui valga la legge di Hooke,

12

1 : nel caso studiato finora però nell’energia di deformazione si ha . Si supponga di avere un

si ha σ ε ω = σ ε

ω = ij ij x x

2 M − M

N

concio di trave con sforzi dati da si vuole calcolare l’energia di deformazione assorbita dal concio

y

+

σ = z y:

z

x A I I

y z

per effetto dello sforzo: ˆ

1 σ ε dV =

dE = x x

2 V

supponendo densità di energia costante ˆ

1

= σ ε dAdx

x x

2 A 42

MODELLO DI DE SAINT VENANT

da cui, dividendo per si ottiene l’energia specifica per unità di lunghezza di trave:

dx, ( )

ˆ 2

1 1 N M M

y z

+ z y dA =

2 E A I I

y z

A

( )

ˆ 2

2 2

M

1 N M N M N M M M

y z z y

y − −

z

2 2

= + z + y +2 z 2 y 2 zy =

2 2 2

2E A I I A I A I I I

y z z y

A y z

Essendo nulli gli ultimi tre integrali (poichè gli assi sono baricentrici e principali d’inerzia, il momento statico e quello

centrifugo sono nulli), l’espressione si riduce a

[ [ ]

] 2

2

2 2 2 2

M

M

1 N M 1 N M

y

y z z

+ =

= A + I + I = +

y z

2 2 2

2E A I I 2 EA EI EI

y z

y z

[ ]

M M

1 N y z

= N + M + M

y z

2 EA EI EI

y z

dove si possono riconoscere nelle frazioni i termini e già incontrati nello studio della linea elastica.

η χ

Si è infine visto che  M − M

N

 y

+ z y

σ = z

 ( )

x

 A I I

y z

 dτ T

− − −

dτ T dσ

xy y

+ = y z =

xz z x

( )

dy dz I I dx

z y

 dτ T

 − − −

dτ T

ν

xy y

= z y + C

xz z

 dy dz 1+ν I I

 z y

τ n + τ n = 0

xy y xz z

Le due equazioni di equilibrio e congruenza dipendono dalle forze di taglio (e non si sa da dove provenga ). Tali

C

equazioni differenziali diventano più senplici se non hanno termini noti perchè sono omogenee. Si riveda il problema in

dτ dτ

→ −

dτ dτ

assenza di forze di taglio: Ci sono dei problemi in cui non ci sono

xy xy

T = T = 0 + = 0; = C.

xz xz

y z dy dz dy dz

forze di taglio sulla struttura ma compaioni tensioni tangenziali: sono i casi relativi al momento torcente . Si vedrà

M t

dunque la cinematica della sezione soggetta a momento torcente.

La torsione

Il problema della torsione si riduce allo studio della sezione soggetta a momento torcente. Riassumendo, le equazioni sono:

∂τ ∂τ

xy + =0 Equilibrio

xz

∂y ∂z

∂τ

∂τ xy = C Congruenza

xz

∂y ∂y Condizioni al contorno

τ n + τ n = 0

xy y xz z

Ci sono due approcci diversi che possono portare ad una soluzione, e sono l’approccio agli sforzi (si ipotizza una

possibile soluzione per quanto riguarda gli sforzi) e l’approccio agli spostamenti (si ipotizza una soluzione in termini di

spostamenti).

Approccio agli sforzi

In questo caso si cerca una soluzione per la quale l’equazione di equilibrio sia automaticamente soddisfatta. Un modo di

procedere è introdurre il potenziale degli sforzi, una funzione tale che

φ (y, z)

∂φ

τ =

xz ∂y

e ∂φ

τ =

xy ∂z

Sotto quest’ipotesi si verifica che l’equazione di equilibrio è automaticamente soddisfatta:

43

MODELLO DI DE SAINT VENANT { 2 2

∂ φ ∂ φ = 0

∂z∂y ∂y∂z

2 2 ⇒ ∇

∂ φ ∂ φ 2

+ = C φ = C

2 2

∂y ∂z

− · ⇒ ·

∂φ ∂φ

Infine si ha Si ricorda che però n n Da ciò si può osservare che

n n = 0. τ = 0 ds = 0. d n + d n = 0,

y z y y z z

∂z ∂y n − dz

e da questa relazione si può ottenere che . Sostituendo nella condizione al contorno,

y =

n dy

z ∂φ ∂φ

− ⇒

dz dy = 0

∂z ∂y

13 dφ

⇒ ⇒ ⇒

ds = 0 dφ = 0 φ = cost = 0

ds

Dove la scelta è per comodità.

φ = 0 ∇

2

Partendo dall’approccio agli sforzi, l’equazione di congruenza diventa e l’altra ipotesi si traduce in su

φ = C φ = 0

problema di Dirichlet.

Essendo assegnato il valore della funzione sul contorno, il problema è un C’è poi da rispettare la

Γ.

condizione sull’equilibrio globale: la risultante delle tensioni tangenziali deve equilibrare il momento torcente applicato:

)

(

ˆ ˆ per parti

∂φ ∂φ

− −

M = (τ y τ z) dA = y + z dA =

t xz xy ∂y ∂z

A A

[ˆ ]

ˆ ˆ

d d

− − −

= (φy) + (φz) dA φdA φdA =

dy dz

A A A

Trasformando l’integrale di superficie in uno sul contorno:

ˆ ˆ ˆ ˆ

− −

= (φyn + φzn ) dS + 2 φdA = φ (yn + zn ) dS + 2 φdA

y z y z

Γ A Γ A

Il primo integrale è nullo perchè sul contorno perciò si ottiene

φ = 0, ˆ

M = 2 φ (y, z) dA

t A

Approccio agli spostamenti

Il secondo approccio è il cosiddetto approccio agli spostamenti, applicato quando si hanno a disposizione risultati speri-

·

mentali. Studiando due sezioni poste a distanza l’una dall’altra, una faccia ruota rispetto all’altra di dove

dx dϑ = β dx, β

indica l’angolo di torsione unitaria.

Si vuole provare a descrivere per un punto a distanza dal baricentro della sezione lo spostamento nel piano:

(y, z)

−ϑz −βxz

s = =

y

s = ϑy = βxy

z

L’espressione è riduttiva perchè non esprime tutto quello che accade nella sezione: a causa delle tensioni tangenziali,

ci sono degli sforzi che agiscono all’interno della sezione, ma non solo. Se ci sono delle tensioni tangenziali, per la legge

di Hooke ci devono anche essere delle componenti di spostamento in direzione che fanno sì che le sezioni non si

x,

mantengano piane, come invece accadeva nel caso di momento flettente. Gli spostamenti in questione prendono il

s

x

ingobbamento

nome di della sezione. Si considera dunque l’ingobbamento rispetto al baricentro espresso dalla funzione

14

Per completare, lo spostamento sarà . Noti gli spostamenti - sicuramente congruenti

Ψ (y, z). s s = βΨ (y, z)

G x x G

perchè la rotazione rigida è congruente, e è una funzione continua, regolare e differenziabile - si ricavano le deformazioni

Ψ

. Le equazioni vengono sostituite in quella di congruenza, che risulta automaticamente soddisfatta

ε , ε , ε , γ , γ , γ

x y z xy yz zx

13 Si osservi come l’equazione riportata sia l’espressione del differenziale totale della funzione sul contorno.

14 Questo spostamento è fuori dal piano della sezione, mentre e causano una rotazione rigida.

s s

y z 44

MODELLO DI DE SAINT VENANT

(si avrà con modulo di taglio). Passando attraverso il legame costitutivo si ricavano . Sostituendole

2Gβ = c, G τ , τ

xy xz

2

nell’equazione di equilibrio si ha Ψ = 0.

G ∂Ψ

La condizione al contorno è piuttosto elaborata ma si può arrivare a dire che La condizione al

= g (y, z).

G

∂n

contorno viene posta sulla erivata della funzione. Il problema, affrontato in termini di congruenza, porta a un’equazione

problema di Neumann-

differenziale le cui condizioni iniziali sono poste sulla derivata della funzione stessa, ovvero ad un

Dini. La difficoltà di tale problema risiede nel fatto che le equazioni differenziali possono essere risolte analiticamente solo

se il contorno è sufficientemente regolare.

´ 15

Partendo da si arriva a concludere (dimostrazione omessa) che dove ha le dimensioni

M = 2 φdA, M = GβJ, J

)

(

t t

´

A −

∂Ψ ∂Ψ fattore di

di un momento d’inerzia ed è data da A volte viene anche considerato il

J = I + y z dA.

G G

G ∂z ∂y

A

I

torsione q = G

J

Si osserva una forte somiglianza tra e l’equazione della linea elastica : entrambe hanno infatti

M = GJβ M = EI χ

( )

´

t y y y

≤ ≥

2 2

parametri sul materiale della sezione. Si ricorda che Essendo , l’integrale risulta e in

I = y + z dA. J I 0

G G

A

particolare uguale a 0 solo se la sezione si ingobba. La rigidezza torsionale della sezione è tanto meno elevata quanto più

una sezione si ingobba (e tanto più ruota).

Sezioni particolari

Il problema della torsione è molto complesso, ed esistono poche sezioni per le quali è determinabile una soluzione analitica.

Sezione circolare In questa sezione le rotazioni avvengono intorno al baricentro: gli sofrzi variano linearmente al-

l’interno della sezione. Nel caso della sezione perfettamente circolare non si osserva alcun fenomeno di ingobbamento:

( )

´ 2 2 e Si avrà dunque : si può facilmente ricavare, essendo noti tutti gli

J = I = y + z dA Ψ = 0. M = GβI

G G t G

A M

altri parametri, . Si può pensare di calcolare sfruttando coordinate cilindriche e non cartesiane. Definendo

β = β

t

GI

G

ρ , l’integrale relativo al momento torcente si traduce in

τ = τ (ρ) = k R ˆ ˆ

2π R

M = τ ρρdρdϑ =

t 0 0

sostituendo τ ˆ ˆ

2π R ρ 1 1 π

4 3

= k ρρdρdϑ = k R 2π = R k

R R 4 2

0 0 4

2M πR

Da cui si ricava . Poichè la quantità rappresenta il momento di inerzia polare della sezione, si riscrive

k = t

3

πR 2 kρ

RM M

. Sostituendo nell’espressione di si ricava infine (le tensioni tangenziali variano linearmente

k = τ τ = = ρ

t t

I R I

G G

e crescono con il raggio). Le tensioni tangenziali in una sezione circolare hanno la stessa forma di una tensione in una

trave inflessa. Questi ragionamenti sono validi anche per sezioni circolari cave, anche se ovviamente gli sforzi non possono

esterno interno

esistere nella regione priva di materiale. Per la sezione cava, .

I = I I

G G G

Sezione ellittica L’unica altra sezione di cui esiste soluzione analitica è la sezione ellittica, che tuttavia presenta ingobba-

mento, la cui funzione è caratterizzata da particolari curve di livello che generano un paraboloide iperbolico.

Considerando un punto diverso dal baricentro, di coordinate , si vuole descrivere la cinematica della sezione

y , z

c c

rispetto a tale punto: −βx −

s = (z z )

y c

s = βx (y y )

z c

s = βΨ (y, z)

x C ∇ ∂Ψ

2

Si può dimostrare che, anche con questo approccio, si ottiene e Anche cambiando punto

Ψ = 0 = f (x, z).

C

C ∂n

il problema della torsione presenta ancora una soluzione differenziale. Le soluzioni tra i due problemi (baricentro e punto

generico) possono differire al più per una costante, e si ha quindi Ψ = Ψ + y z z y + K.

´

C G c c

Si cerca un punto particolare per cui il valor medio di si annulli: (imponendo la condizione si trova

Ψ Ψ dA = 0

´

C C

A

il particolare valore di ), e si annulli anche il momento statico medio: (da cui si ottiene ), e si annulli

K Ψ zdA = 0 y

C c

A

15 rigidezza torsionale della sezione.

è definita come

GJ 45

MODELLO DI DE SAINT VENANT ´

infine il momento statico rispetto all’asse (da cui si ricava ). Si trovano così i valori che ottimizzano

z: Ψ ydA = 0 z

C c

A

la forma dell’ingobbamento. centro di torsione della sezione.

Il punto che rispetta le caratteristiche è detto Esprimendo la cinematica intorno a quel

punto, si ha che la funzione di ingobbamento determina la fuoriuscita dal piano dei punti della sezione, trascurando gli

effetti di rotazione dovuti alla torsione. Il punto è una caratteristica geometrica della sezione: dipende solo salla forma

C

della sezione e non dal momento torcente applicato o dal materiale. Esso è fortemente associato al taglio.

Analogie

Come si determina lo stato di sforzo? Si osserva che non si ha solo il problema della torsione, ma anche altri problemi

governati dalle stesse equazioni. Si ricorre perciò alle analogie per trovare soluzioni ai problemi della torsione.

Analogia della membrana Prandtl ha osservato che per una membrana insufflata si ha

{ ∇

2 in A

φ = c inΓ

φ =0

Si supponga un recipiente ricoperto da una membrana in un frigo. Se il cibo contenuto all’interno va a male, si esercita

una pressione sulla membrana, che è vincolata alle estremità. Si può dimostrare che il sistema riportato in precedenza

descrive il problema che governa l’innalzamento della membrana soggetta a pressione uniforme. Si ha la stessa espansione,

− pt .

sostituendo con e con

φ w c

Storicamente, Prandtl ha usato le bolle di sapone per studiare il problema della membrana, ed è giunto alla conclusione

)

( 2

− 4z . Si può pensare che tale parabola

che la membrana avesse forma parabolica, descritta dall’equazione φ = φ 1

0 2

b

46

MODELLO DI DE SAINT VENANT

descriva l’andamento analitico ella membrana nel problema di una sezione rettangolare soggetta a momento torcente in

cui una dimensione predomini nettamente sull’altra. Il coefficiente amplificativo è incognito. Essendo nota l’analogia

φ

0

→ si scrive

w φ { ∂w = τ

xy

∂z −τ

∂w = = 0

xz

∂y

Ricordando l’approccio agli sforzi si ha anche l’equazione del momento torcente:

( ) [ ]

´

´ b

b 2 3 2

− −

4z 4z

M = 2 φ (z, y) dA = 2 φ 1 adz = 2φ a z =

2

t 0 0

− 2 2

b b 3b

A − b

( ) 2 2

− M

1 43 da cui si può ricavare rapidamente .

= 2φ a 1 b = φ ab, φ = t

0 0 0 4

3 ( )

ab

3 − − −2

∂y 16

M 6M z M

8z

Si può ora, essendo noto , calcolare la tensione tangenziale .

φ τ = = = = z.

t t t

0 xy 4 2 3

∂z b ab J

ab t

3

L’andamento delle tensioni tangenziali è lineare a farfalla e costante in ogni punto dell’asse Le tensioni tangenziali

y.

massime sono date da M b

t

±

τ =

xy,max 1 3

ab

3

1 3

dove rappresenta la rigidezza torsionale . La rigidezza torsionale somiglia molto al momento d’inerzia di una

ab J t

3 ≫ ⇒ ≪

3

sezione, ma il termine cubico in questo caso si riferisce alla dimensione più piccola della torsione: a b b a.

Essendo a denominatore, le saranno grandi, e devono essere riequilibrate da una sequenza di piccoli momenti torcenti

τ

disposti lungo l’asse principale della sezione. Questa è una formula di verifica, perchè si possono avere sollecitazioni di

torsione che portano a carichi critici. La formula può anche essere estesa ad altre tipologie di sezione, che possono essere

viste come porzioni di sezioni allungate, interpretabili come insieme di elementi rettangolari di dimensioni . In

n a , b

i i

profilo in parete sottile.

genere ci si riferisce alle sezioni partendo dalla linea media del profilo: si parla di Si può immaginare

di avere in ogni elemento dei momenti torcenti che si oppongono al momento esterno applicato:

M

t

−2

i =

τ n i

xs J

t

M t

±

i,max

τ = b

i

xs J t ∑ n 13 3

Bisogna avere accuratezza nel calcolo della rigidezza torsionale . La formula è attendibile in tutte le

J = a b

t i i

i=1

regioni a sezione allungata (è meno precisa alle estremità e nei raccordi).

Un’ulteriore generalizzazione è data dalla presenza di aste curve: applicando un momento torcente, si genera una

´ l

−2 M 1 3

distribuzione di tensioni tangenziali governate dalla legge e la rigidezza torsionale sarà

τ = n, J = b (s) ds.

t

xs t i

J 3 0

t

Analogia idrodinamica L’ultimo caso relativo alla torsione è quello dei profili chiusi. La soluzione ottenuta con l’analo-

gia della membrana non è più corretta, si deve perciò sfruttare l’analogia idrodinamica, sempre governata da un’equazione

∇ 2

del tipo in su L’analogia si basa su un recipiente della stessa forma della sezione pieno di fluido

φ = c A; φ = 0 Γ.

incomprimibile e non viscoso, supponendo che venga messo in rotazione con costante. Si analizza come sono disposte

α̇

le linee di flusso del fluido: esse sono parallele al profilo lungo i lati del recipiente, diventano turbolente in prossimità degli

angoli per i quali si hanno punti di ristagno, la velocità varia linearmente lungo gli assi principali d’inerzia tra l’interno e

l’esterno. Si osserva che la sul lato corto è maggiore di quella sul lato lungo. Inoltre, ponendosi su una diagonale, la

v max

distribuzione non è più lineare ma deve portare alla conservazione della portata. Si avrà

v τ

z zx

v τ

y xy

Le velocità sono analoghe alle tensioni tangenziali. L’analogia idrodinamica permette di analizzare in modo più effi-

ciente i profili chiusi: dato un fluido con portata costante quando il fluido si mette in movimento, se

q (s) = q = cost,

≤ 1 (con massima dimensione trasversale della sezione), si può approssimare che le linee di flusso siano tutte

t (s) D D

10

parallele tra loro. Le tensioni tangenziali e le velocità sono caratterizzate da scarsa variabilità nell’ascissa (l’approssima-

s

zione è valida per un profilo sottile): Se e sono costanti, si può risolvere il problema

v (s) = cost; τ (s) = cost. q (s) τ (s)

scrivendo l’equazione di equilibrio globale grazie alla formula di Bredt.

16 è supposto nullo anche se in realtà non lo è, ma rimane una valida approssimazione.

τ xz 47

MODELLO DI DE SAINT VENANT

Formula di Bredt

Sotto le ipotesi di (conseguenza dell’analogia idrodinamica) e (ipotesi di Bredt), vale la seguente relazione,

q (s) = cost τ (s)

nota come formula di Bredt: M

t

τ (s) = 2Ωt (s)

dove è l’area racchiusa dalla linea media del profilo. L’approssimazione fornita da tale formula è talmente buona che

essa viene utilizzata anche per sezioni con punti angolosi (ad esempio sezioni quadrate o rettangolari).

Dimostrazione Sottoponendo la sezione (non costante) a momento torcente , si genereranno tensioni tangenziali

M

t

costanti lungo una qualsiasi corda. Tali saranno parallele alla linea media del profilo. Si consideri un piccolo segmento

τ xs ·

di lunghezza e un elemento d’area (su cui agiscono le tensioni) Le forze elementari che agiscono su

ds dA = ds t (s). dA

sono Si calcoli ora il momento equivalente in un qualunque punto della sezione: si determina il braccio

dF = τ (s) dA.

xs

della forza (pari alla distanza tra retta d’azione e baricentro) ottenendo

r (s), ·

dM = r (s) dF = r (s) τ (s) ds t (s)

t xs

Il momento torcente complessivo sarà la risultante di tutti i momenti lungo il profilo:

˛ ˛

M = dM = r (s) τ (s) t (s) ds =

t t xs

Poichè il flusso è costante, il termine può dunque essere portato fuori dal segno di integrale,

q = τ (s) t (s) = cost:

xs ˛

avendo così = τ (s) t (s) r (s) ds = τ (s) t (s) 2Ω

xs xs

Invertendo la relazione si ricava il valore della tensione tangenziale

M t

τ =

xs t (s) 2Ω M . Le tensioni tangenziali

Se la formula di Bredt dice che le sono costanti lungo l’intero profilo:

t (s) = cost, τ τ = t

xs 2Ωt

≫ ≈ ≈ ≥

2

in un profilo chiuso sono piuttosto piccole (Ω essendo e e A causa di questa particolare

A, Ω D A lt, D 10t).

espressione (pur approssimata), si conclude che le sezioni cave resistono meglio a torsione rispetto a quelle piene.

Si immagini di avere il medesimo profilo, prima aperto poi chiuso, soggetto a momento torcente. Nel primo caso le τ

saranno date da una distribuzione a farfalla, nel secondo da una distribuzione uniforme. In quest’ultimo caso il braccio è

grande quindi si può applicare una forza minore a parità di momento.

Riscontri pratici

Nella realtà di tutti i giorni, molti elementi soggetti ad una torsione sono generalmente cavi. Questo discende dalla solu-

zione del problema di torsione: la sezione cava è infatti tale da concentrare tutta la massa all’esterno del corpo, ottenendo

momento d’inerzia massimo e conseguentemente valore minimo per . Ovviamente, ad esempio nelle costruzioni di

τ

interesse aeronautico, la situazione di aste cave è vantaggiosa perchè permette anche di risparmiare peso.

Il taglio

Il problema del taglio è il più complesso dei problemi di De Saint Venant perchè viene sempre inclusa un’altra componente

di sollecitazione. Si prenda una sezione e si supponga di sottoporla ad una forza di taglio. Ciò provoca una rotazione,

che andrà contrastata con l’applicazione di un momento torcente. Un momento flettente induce degli sforzi normali

M

y

M T x

(come visto nella flessione retta) Lo sforzo non è più costante ma variabile linearmente.

y

σ = z = z. σ

z

x x

I I

y y

Sulla sezione si può ipotizzare che esistano delle tensioni tangenziali e . Il problema è molto complesso nella

τ τ

xz xy

sua formulazione matematica e nella risoluzione. Per risolvere il problema si ricorre perciò a formule approssimate che

formula di Jourawski.

portano ad una soluzione credibile sotto alcune ipotesi semplificative. Tra queste si ha la

48

MODELLO DI DE SAINT VENANT

Formula di Jourawski

Se la sezione è simmetrica e caricata simmetricamente, si può semplicemente scrivere un’equazione globale di equilibrio e

ottenere una valida approssimazione. Si immagini di tagliare la trave in un punto generico si ha un concio sottoposto

x:

a forza di taglio e momento Si supponga poi di effettuare un taglio parallelo all’asse neutro e si consideri la parte

T T x.

z z

inferiore delle due ottenute con il taglio. Si possono intercettare delle tensioni tangenziali perpendicolari alla corda.

τ xz

´ b

1

Secondo Jourawski, il valor medio delle tensioni tangenziali sarà Considerando la porzione

τ̄ = τ (y) dy.

2

xz xz

− b

b 2

inferiore del concio di trave, definita l’area su cui lavorare, Jourawski procede a scrivere l’equilibrio in direzione

A x

(orizzontale) del blocco inferiore: ˆ ˆ

T T ∗

z z

σ dA =

R = x zdA = xS

x y

I I

∗ ∗

y y

A A

ˆ τ dA = τ̄ bx

H = zx xz

A

Si osservi come le tensioni tangenziali non dipendano dall’ascissa (taglio costante) ma da

x y.

Imponendo l’equilibrio: T ∗

z

R = H τ̄ b = S

xz y

I y

formula di Jourawski:

Si perviene così alla ∗

S

T

z y

τ =

xz I b

y

Essa è una formula sempre vera perchè rispetta l’equilibrio ma l’approssimazione è buona solo per sezione simmetrica

e simmetricamente caricata (ovvero con sull’asse di simmetria) con corda parallela all’asse neutro.

T

z

Chiaramente, la formula avrebbe potuto essere ricavata anche con riferimento all’altra porzione di concio, descritta da

∗∗

S

∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗

⇒ −S − T

. Valgono le relazioni e , da cui si ha . Per la formula

y

A A = A + A S = S + S = 0 S = τ = z

y xz

y y y y I b

y ∗

di Jourawski, le convenzioni sui segni sono tali per cui le tensioni tangenziali sono considerate positive se entranti in (la

A

sezione di cui si sta scrivendo l’equilibrio).

Taglio con sezione generica e centro di taglio

Si vuole ora affrontare il problema del taglio relativo ad una sezione di forma generica: si era già introdotto il concetto

che il taglio non dovesse passare per il baricentro. Si può sempre legare il problema ad un altro con la forza passante

per il baricentro introducendo il momento torcente, ovvero due forze disallineate a distanza che formino una coppia di

d

·

momento Se la forza di taglio passa per il baricentro c’è anche un momento torcente e la giustificazione di

M = T d.

t

questo si ha osservando come si deforma la trave.

Si consideri ad esempio una trave in parete sottile: osservando frontalmente la sezione, per effetto della forza di taglio

essa si abbassa; se la forza di taglio è applicata nel centro di taglio la sezione trasla senza ruotare, altrimenti, se la forza è

angolo di torsione,

applicata nel baricentro, essa porta la sezione a ruotare. La presenza di indica che c’è un momento

β,

torcente applicato.

centro di taglio

Si definisce quel punto del piano per cui, se la retta di taglio passa per quel punto, non si ha rotazione

della sezione (β = 0).

Ma come si calcola il centro di taglio? Si consideri una forza applicata nel centro di taglio, si avranno σ , τ , τ

x xy xz

(per Jourawski) e (per Hooke). Si studi il problema di taglio puro (se ne considerano solo gli aspetti

ε , ε , ε , γ , γ

x y z xy xz

cinematici: siccome le deformazioni sono di un problema vero sono congruenti) e quello di torsione pura (solo momento

torcente : ci saranno . Trascurando gli aspetti cinematici e considerando quelli statici gli sforzi sono equilibrati).

M τ , τ

t xy xz

Si calcoli il lavoro interno mutuo compiuto dalle forze del problema di torsione per le deformazioni di quello di taglio:

ˆ

dL

int = (τ γ + τ γ ) dA

xy xy xz xz

dx A

Si definisce centtro di taglio il punto per cui tale lavoro è nullo. Per il PLV, imponendo tale quantità pari a zero, si

ottiene (le deformazioni indotte dalla forza di taglio compiono lavoro nullo con momento torcente).

β = 0

Riassumendo, il centro di taglio “è quel punto del piano tale per cui, se la forza di taglio passa per quel punto...”

• “... le rotazioni medie della sezione nel proprio piano sono nulle (β - Definizione cinematica o di Goodier

= 0).”

49

MODELLO DI DE SAINT VENANT · 17

• “... la distribuzione di nella sezione è equivalente a ” - Definizione statica o di Maillart

τ M = d T

t

• “... il lavoro mutuo degli sforzi di torsione per le deformazioni a taglio è nullo.” - Definizione energetica o di Trefftz

Se il materiale avesse la prima e la terza definizione sarebbero equivalenti, altrimenti le tre definizioni portano

ν = 0,

all’identificazione di tre punti diversi. Solo con profili in parete sottile senza chiusure (ad esempio un profilo a C) la

seconda definizione è equivalente alle altre. Solo trascurando le deformazioni nel piano indotte dal momento flettente

(descritte dal ) le definizioni sono valide: la sezione altrimenti cambia forma nel proprio piano. Occorre rendere la

ν

sezione sufficientemente rigida nel piano in modo da rendere minimi i cambiamenti di forma della sezione.

Jourawski - Sezioni compatte ∗

S (y) 18

T

Per sezioni compatte con corde parallele all’asse neutro, . Se la sezione ha dei lati curvi devono esistere le

y

τ

¯ = z

xz

√ I b(y)

y

2 2

, e il vettore deve essere tangente alla sezione: (per rispettare le condizioni al contorno). L’andamento

τ τ τ = τ + τ

xy xz xy

delle all’interno della sezione è descritto dalla formula di Jourawski. Imponendo le equazioni di equilibrio indefinite si

τ

ha ∂σ ∂τ ∂τ

x xy xz

+ + =0

∂x ∂y ∂z

M T x

Si sa che Calcolando la derivata dell’equazione lungo la corda, i contributi di e vanno a 0:

y

σ = z = z. σ τ

z

x x xz

I I

y y [ ] 2

∂σ ∂τ ∂τ ∂ τ

∂ x xy xz xy

⇒ ⇒

+ + =0 = 0 τ = A + By

xy

2

∂y ∂x ∂y ∂z ∂y

Le tensioni variano dunque linearmente lungo la corda. La formula di Jourawski è estremamente generale: trascurando

la congruenza, essa può essere applicata a qualunque corda.

Considerando sempre la stessa sezione, ma cercando di valutare rispetto a una corda non parallela all’asse neutro, si

τ

avrà ∗

S

T

z y ̸ = τ (s)

τ̄ = xn

xn I b

y

17 Tale definizione non è valida per sezioni iperstatiche.

18 Le reali sono in realtà .

τ τ̄

xz xz 50

MODELLO DI DE SAINT VENANT

Si osservi come il valore ottenuto sia esatto in quanto rispetta l’equilibrio ma come allo stesso tempo la distribuzione

delle tensioni sia sbagliata (non si hanno risultati attendibili se la corda non è parallela all’asse neutro).

Introducendo l’energia di deformazione associata al taglio: ˆ

momento taglio

dE dE 1

dE = + = σ ε dA =

x x

dx dx dx 2 A

ˆ ˆ ˆ

2

2 M

M

1 1 1 1 1

1 y y

2 2 2

= σ dA = z dA = z dA =

x 2 2

2 E 2 E I 2 E I

A A A

y y

2 2

M M

1 1 1 1 1 M 1

y y y

I = = M = χ M

= y y y y

2

2 E I 2 E I 2 EI 2

y y

y

Si calcoli ora ˆ ˆ ( )

taglio 1

dE 1 1 2 2

(τ γ + τ γ ) dA = τ + τ dA =

= xy xy xz xz xy xz

dx 2 2 G

A A

· 19

Per una sezione simmetrica e simmetricamente caricata, (distribuzione lineare ), quindi si avrà

τ = τ C (y)

xy xz

ˆ ˆ ∗

2

( ) ( )

2 S (y)

1 1 1 1 T y

z

2 2 2

= τ̄ 1 + C (y) dA = 1 + C (y) dA =

xz 2 2

2 G 2 G I b (y)

A A

y

( )

´ 2

S (y) 20

A 2 fattore di taglio

Detto , l’equazione si riduce a

y

µ = 1 + C (y) dA

2 2

I b (y)

A

y 2

1 T 1 T 1

z

z

= µ = T = T t

z z z

2 GA 2 GA 2

T T T

T scorrimento a taglio

. è detto e rappresenta

In forma generale, y y

µ + µ ; t = µ + µ t

t = z

z

z z zy y y yz z

GA GA GA GA

l’abbassamento della sezione per effetto della forza di taglio.

Un momento flettente che agisce su un asse ha curvature solo su quell’asse: si ha deformazione diretta. il problema

del taglio è più complicato di quello della flessione perchè ci sono anche deformazioni indirette. Si osservi che è lo

t z

scorrimento a taglio, il fattore di taglio diretto e il fattore di taglio indiretto (o fattore di taglio mutuo, termine che

µ µ

z zy

si annulla in sezioni doppiamente simmetriche). Si può inoltre dimostrare che .

µ = µ

zy yz ) )

( (

taglio

dE 12

1 12 1 1 1

2 2 2 2

Si è ricavato che µ + µ T T = µ

µ + µ T T + T µ + 2µ T T + T

= T t + T t = T T

y yz y z y

z z y y z zy z y z zy z y

y y

z z

dx 2 2 GA GA

Nell’espressione dell’energia di deformazione del momento flettente il termine noto è assente (appare solo nel taglio).

Riscontri pratici

Lo sforzo di taglio è molto importante in vari campi: anzitutto, per rimanere nell’ambito dell’ingegneria industriale, le bar-

re di torsione e l’albero motore di una macchina sono generalmente sottoposti a questo tipo di sforzo. Ma è fondamentale

conoscere a fondo lo sforzo di taglio anche per costruire in sicurezza, in quanto cedimenti o frane del terreno potrebbero

essere causati dal peso di una costruzione.

Infine, lo sforzo di taglio compare anche in campo medico-biologico, in quanto esso permette di determinare come un

fluido scorre lungo una superficie: nel caso dell’apparato circolatorio, le cellule sono in grado di riconoscere lo sforzo e

inviano il segnale alle altre cellule in modo da modificare la struttura dei vasi per far sì che le pareti siano sufficientemente

spesse.

19 Per la precisione, si tratta di una distribuzione lineare ed antisimmetrica, definita da una relazione dipendente dalla tangente dell’angolo tra le

α

componenti della forza .

τ

20 Coefficiente che non ha informazioni sul carico esterno ma solo di tipo geometrico. Esso esprime il rapporto tra rigidità corrispondente ad una

T

distribuzione di tensioni tangenziali ipotetica (con la presenza del solo termine ) e quella effettiva. Questo è anche il motivo per cui viene

τ =

zy A

introdotta l’area di taglio. 51

Parte VI

Teoremi energetici

52


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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher rrmg di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di Meccanica Strutturale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Pandolfi Anna Maria.

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