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Equazioni di deformazione

Nel riferimento principale gli scorrimenti angolari sono nulli. La soluzione si riduce alla ricerca delle radici della seguente equazione:

3I2 - (I2 + I2 + I2) + 0 = 0

Dove si è posto -I = εε + εε + εε(γγ + γγ + γγ)2

I = ε + ε + ε1

Dove si è posto -I = εε + εε + εε + εε(γγ + γγ + γγ)2

I = det ε

Poiché le deformazioni principali sono proprietà assolute del tensore, ossia indipendenti dal sistema di riferimento, vuol dire che anche gli invarianti di deformazione saranno assoluti. Per questo motivo possono essere espressi anche in funzione delle deformazioni principali.

I = ε + ε + ε1

I = εε + εε + εε + εε + εε + εε

I = εεε

Variazione di volume e variazione di forma

Si consideri il parallelepipedo infinitesimo nella figura 13:

parallelepipedo in Figura ??
Dato il parallelepipedo con gli spigoli paralleli agli assi principali di lunghezza dx nella(I,II,III)configurazione indeformata. A deformazione avvenuta occorre aggiungere un valore di deforma-zione e che cambierà i valori di volume dell'oggetto dopo la deformazione nel seguente(I,II,III)modo: · · · ·
dV = dx dx dx
dV = dx (1 + e) dx (1 + e) dx (1 + e)
0 I II III I I II II III III
da cui si ottiene −dV dV dV 0− −1= = (1 + e)(1 + e)(1 + e) 1I II III
dV dV0 0 = I + I + I1 2 3
26Moscagiuri Pietro Fondamenti di Meccanica Strutturale
Per piccole deformazioni possiamo sottointendere I << I << I di conseguenza scrivere3 2 1−dV dV 0 ' I = ε + ε + ε = e + e + e1 x y z I II III
dV 0
L’invariante lineare rappresenta quindi la variazione di volume dell’intorno.Analogamente a quanto fatto per lo sforzo di Cauchy, anche il tensore delle piccole

deformazionipuò essere decomposto nella forma: ε = ΘI + E

dove 1 ε + ε + εx y zΘ = I =13 3

La componente Θ rappresenta la componente sferica, che è pari ad un terzo della variazionedi volume.

− − 2ε ε ε γ γx y z xy xz

3 2 2  −ε −γ + 2ε ε γyx x y z yz

 −E = ε ΘI =  2 3 2

  −ε −γ γ ε + 2ε

 zx zy x y z2 2 3

Il termine E rappresenta invece il deviatore di deformazione, il quale ha invariante primonullo e configura una deformazione che avviene a volume costante con sole variazioni diforma del contorno

1.9 Le condizioni di congruenza interna

Le deformazioni derivate dagli spostamenti definiscono uno stato deformativo congruente nelsolido. Si supponga di suddividere il corpo in elementi infinitesimi isolati e di attribuire a ognunodi essi

deformazioni arbitrarie: risulterà in genere impossibile ricostruire la continuità del corpo assoggettando i singoli elementi a soli moti rigidi. Questa operazione è possibile se e solo se le deformazioni soddisfano particolari condizioni di integrabilità dette condizioni di congruenza interna.

È facile verificare per sostituzione che ogni tensore delle piccole deformazioni ottenuto da un campo di spostamenti verifica le sei equazioni differenziali:

  • ∂ ε 1 / ∂ γ 1 = ∂γ 1 / ∂x 1 + ∂γ 2 / ∂y 1 + ∂γ 3 / ∂z 1
  • ∂ ε 2 / ∂ γ 2 = ∂γ 1 / ∂x 2 + ∂γ 2 / ∂y 2 + ∂γ 3 / ∂z 2
  • ∂ ε 3 / ∂ γ 3 = ∂γ 1 / ∂x 3 + ∂γ 2 / ∂y 3 + ∂γ 3 / ∂z 3
  • ∂ ε 1 / ∂ γ 2 = ∂γ 2 / ∂x 1 + ∂γ 1 / ∂y 1 + ∂γ 3 / ∂z 1
  • ∂ ε 2 / ∂ γ 1 = ∂γ 2 / ∂x 2 + ∂γ 1 / ∂y 2 + ∂γ 3 / ∂z 2
  • ∂ ε 1 / ∂ γ 3 = ∂γ 3 / ∂x 1 + ∂γ 3 / ∂y 1 + ∂γ 1 / ∂z 1

∂y∂z∂                                                                                                      

Figura 14: Continuo deformabile di riferimento
Figura 14: Continuo deformabile di riferimento

Si definisce inoltre cinematicamente ammissibile o virtuale un atto di moto a partire dalla configurazione Γ se costruito da velocità v̂ rispettose della condizioni di vincolo su S e dai uun tensore di velocità di deformazione da esse derivato:

d s ds i j = d x dx j i →s = s su S

L'atto di moto non è in alcun modo relazionato alle forze e sforzi presenti nel corpo in tale configurazione.

Dopo aver espresso i seguenti vincoli possiamo definire il principio dei lavori virtuali.

Ogni distribuzione statisticamente ammissibile in Γ e ogni atto di moto virtuale da Γ soddisfano l'identità:

Z L = b s dV + t s dS = b s dV + σ n s dS

Meccanica Strutturale Del lavoro esterno non consideriamo alcun tipo di energia. Di questa espressione, ricorrendo al teorema della divergenza, analizziamo: \int \int \int \mathbf{d}(\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{s}) \cdot \mathbf{d}\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{ds} = \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{dV} = \mathbf{s} \cdot \mathbf{dV} + \mathbf{dV} \cdot \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{s} \end{math} Prendendo l'ultimo termine, dall'analisi fatta nei capitoli precedenti ci riconduciamo al gradiente di spostamento: \mathbf{ds} = \boldsymbol{\Psi} = \boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\omega} \Rightarrow \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\omega}) = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\omega} \end{math} L'espressione \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\omega} da come risultato zero poiché si tratta di un prodotto scalare tra tensori antisimmetrici. \int \int \int \mathbf{d}\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{L} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{s} \cdot \mathbf{dV} + \mathbf{s} \cdot \mathbf{d} + \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{dV} \end{math} Il primo termine si annulla da ipotesi di sforzo equilibrato e otteniamo in fine \mathbf{L} = \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{dV} = L_{est} \end{math} Il lavoro virtuale esterno coincide con il lavoro virtuale.internoZZ Xt s dS = P Ub s dV +L = j j k kj jest ∆S∆V k=1Z X Q qL = σ ε dV = k kin ij ij∆V k=1 comportamento di un materiale e la sua definizione non può che prescindere dall'esperienza. A partire dalla statica e dalla cinematica abbiamo definito 15 equazioni da determinare:

( → Statica σ 6 funzioni σ (x)ij ij k → Cinematica s, ε 3 + 6 funzioni s (x), ε (x)j ij j k ij k

Grazie alle analisi svolte nel capitolo precedente abbiamo definito:

 dσ ij →+ b = 0 in V 3 equazioni differenziali

 j

 dx →Dall'equilibrio i

 →σ n = t su S condizioni al contorno

 ij i j t

 1 ds dsi j →ε̂ = + in V 6 equazioni differenziali

 ij

 2 dx dx →Dalla congruenza j i

 →s = s su S condizioni al contorno

 j j t

Di conseguenza mancano 15 - 9 = 6 equazioni che possiamo ottenere studiando direttamente il materiale. Il legame costitutivo è esprimibile con una dipendenza dello sforzo in funzione della deformazione σ = σ(ε)ij ij hk 15 la forma più generale del legame

La formula costitutiva è la seguente: σ = σ (ε , t, T, χ )ijijhkr

Dove assumiamo:

  • t = tempo
  • T = temperatura
  • χ = parametri di prova

2.1 Energia specifica di deformazione e i legami termodinamici

L'ipotesi su cui si poggia la descrizione del problema elastico è l'esistenza di un potenziale di deformazione. Si assume dunque che il lavoro impiegato per deformare il materiale si accumuli sotto forma di potenziale di energia (Figura 15), a spese della quale le deformazioni vengono recuperate una volta rimossa la causa deformante.

15 h e k rappresentano degli indici differenziati rispetto agli sforzi

Moscagiuri Pietro Fondamenti

Dettagli
Publisher
pietro_moscagiuri
A.A. 2021-2022
122 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/14 Progettazione meccanica e costruzione di macchine
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pietro_moscagiuri di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di Meccanica Strutturale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Pandolfi Anna Maria.