Fondamenti di Elettromagnetismo

FORZA DI COULOMB

DATE DUE CARICHE q₁ E q₂ QUESTE GENERANO OGNUNA UNA FORZA SULL’ALTRA DI TIPO ATTRATTIVO O REPULSIVO. IPOTIZZATO UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI AVENTE CENTRO IN q₁, LA FORZA DI COULOMB ESERCITATA DA q₁ SU q₂ HA LE SEGUENTI CARATTERISTICHE:

MODULO:

DIREZIONE: LUNGO r

VERSO:

• q₁, q₂ OF ATTRATTIVO
• q₁, q₂ REPULSIVO

IN GENERALE:

PRECISAZIONI:

• E₀ E' DETTA PERMEABILITÀ DIELETTRICA DEL VUOTO E VALE 8,854 10^-12 F/m

• LA CARICA q NON E' UNA GRANITA CONTINUA MA HA UN VALORE MINIMO DETTO CARICA ELEMENTARE PARI A 1,6 x 10^-19 C.

• IN UN SISTEMA ISOLATO LA CARICA TOTALE Q_TOT E' COSTANTE NEL TEMPO.

Nel caso in cui q₂ non è sull'origine, invece:

F = ¹/_4πϵo

Modulo: ^1|q₁q₂|/_|r2-r1|²

Direzione: stessa di Δr = r₂-r₁

Verso: q₁q₂ > 0 repulsivo q₁q₂ < 0 attraetivo

In generale:

F = ¹/_4πϵo ^q₁q₂/ (^|r₂-r₁|/_r2-r1)³

CASO PARTICOLARE: FILO INFINITO CON DENSITÀ DI CARICA COSTANTE

Dato un filo infinito con densità di carica λ costante ed un punto P esterno al filo si vuole calcolare il campo elettrostatico generato dal filo nel punto.

Presi due punti A e B simmetrici rispetto ad O, piedi di P, il campo elettrostatico generato da tali punti su P è pari a dE_A e dE_B. Tali vettori generano un angolo α con l’asse delle ascisse, uguale per costruzione, proiettando i due vettori lungo z si ottiene una coppia di vettori uguali in modulo e direzione, ma opposti in verso. La loro somma è, quindi, nulla. Tale ragionamento può essere effettuato per ogni coppia di punti simmetrici rispetto ad O. Da ciò ne deriva che il campo elettrostatico risultatnte non ha componente lungo z. L’unica componente, quindi, lungo x, proiettando E lungo x si ha:

dE_0x = dE₀ cosθ

L'ANGOLO PIANO

L'angolo piano steso su una circonferenza di centro O e raggio R, un arco di lunghezza l. L'angolo piano può, quindi, essere definito come:

θ = l/R

Preso ora una curva avente un estremo in comune con una circonferenza presa in esame si vuole esprimere l'angolo piano in funzione della lunghezza l₀ della curva.

Avvicinando B₁ a B₂ e passando quindi ad angoli infinitesimi la regione ABC diventa un triangolo rettangolo retto in A.

Quindi, per angoli infinitesimi vale:

dL = dLα

Andando a sostiture:

dθ = dL/R cosα

Prendendo in considerate la curva di trazione, i lessori di R addione alla circonferenza e normalo la curva:

Immagino un cono di angolo solido infinitesimo dΩ. Questo è tagliato sulla superficie da due superfici infinitesime che possono essere approssimate a due punti A e B. Si ha dalla definizione di flusso:

d_s(-E_a) + d_s(E_{b · Ea + )Euum2]m3ukdm);}

dΩ(-E_a · E_b d²Ω(l_t(dΩ))

Le due sezioni evidenziate sono respectivamente pari a -dΩ e dΩ. Il flusso diviene, quindi:

dΩ(E) = ((-dΩ+l(Ω_{EuΩ(Ω)sub>Ω(Ω)}

Da cui:

ϕE)=0=0

In cariche interne ed esterne la superficie

Per simplicità pongo _{= 1 o pongo una carica interna ed una carica esterna la superficie:}

s=-q_qino(Qinto)

d^→r = d r u_r+ (r+d r) dθ u_θ

d^→r = d r u_r+ r dθ u_θ

du_r + iθ u_θ = 0

d^→r = d r u_r+ r dθ u_θ

Prendendo, ora, l'integrale:

_γ∫_o^B (E^→) d^→ . r = _γ∫_o^B 1 / 4 π ε _o

- _γ ∫_o^B σ ^→ / r d r

Il lavoro compiuto del campo ε c

quindi dipendente solo da dr, over dalla distanze da a B.

campo elettrostatic e è conservativo e si può definite il potentiale:

Δ V = _v(B) - _v(a) = 1 / 4 π ε _o [ q / r _B - 1 / 4 π

da qui:

v = 1 / 4 π ε _o q / r

GRADIENTE DEL POTENZIALE ELETTROSTATICO

Dalla definizione di potenziale si è visto che:

dv = -_e^-1 ɒF⋅dr

i vettori campo elettrostatico ɒF e spostamento dr presentano, ovviamente, ciascuno tre componenti lungo gli assi cartesiani:

E_x, E_y, E_zdx, dy, dz

Inoltre il potenziale elettrostatico V purando delle coordinate x, y, e z del punto preso in esame (x,y,z).V(x;y;z) -> dV = ∂V/∂x dx + ∂V/∂y dy + ∂V/∂z dz

Andiamo a sostituire tutto nella prima equazione si ha:

∂V/∂x dx + ∂V/∂y dy + ∂V/∂z dz = -(E_x dx + E_y dy + E_z dz

Si scomponga ora, nei tre spostamenti fondamentali, in cui solo una componente è diversa da zero:

• dy = dz = 0∂V/∂x dx = E_x dx
• dx = dz = 0∂V/∂y dy = -E_y dy
• dx = dy = 0∂V/∂z dz = -E_z dz

21 CONDUTTORE CAVO CARICO

Preso un conduttore, questa volta carico, lo si carica tramite un generatore con una carica positiva.

Applicando lo stesso discorso fatto per un conduttore senza carica si può dire che all'interno del conduttore il campo elettrico e la carica sono entrambi nulli. Tuttavia ciò non vale per i punti della superficie interna.

Si prende come superficie gaussiana una sfera di poco più grande la cavità. Dato che tale superficie è totalmente interna al conduttore, il campo elettrico è nullo, come lo è anche il flusso, per il teorema di Gauss si può quindi dire che;

_Qint = 0

Tuttavia questa è la carica complessiva, ma nulla sappiamo della carica punto per punto. Supponiamo una disposizione tale per cui le cariche punto per punto siano diverse da zero pur mantenendo nulla la carica complessiva sulla superficie interna.

Teorema di Coulomb

Preso un conduttore carico positivamente considero come superficie gaussiana un cilindro perpendicolare al conduttore, e per metà interno e per metà esterno il conduttore stesso.

Analizzata molto da vicino la superficie S può essere considerato un piano:

Attraverso tale superficie gaussiana il flusso è pari a:

\[\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \int_{S} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{n} d s + \int_{S_{\text {INT }}} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{n}_{\text {IN }^{\prime}} d s + \int_{S_{\text {SUP}}} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{n}_{d} s + \int_{S_{\text {INF}}} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{n}_{d} s\]

Dato che all'interno del conduttore il campo elettrico è nullo la superficie S_INF non dà contributo.