Fondamenti di Controlli - Teoria

TEORIA

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Prendiamo in esame un semplice esempio costituito da un motore elettrico tipicamente utilizzato per asservire veicoli elettrici. Poiché gran parte della nostra trattazione consisterà di equazioni differenziali e relative soluzioni, lasceremo sottinteso che queste esprimono mediante un'unica soluzione.

Consideriamo innanzitutto la regolazione per problema di regolazione.

Si intende un problema di controllo in cui si richiede che una variabile di interesse di cui è misurata la velocità di moto. La dinamica del motore è descrivibile in corrente, di far variare la velocità del motore.

[A] ∫J&domega;=u-T_L, con T_L = coppia costante di carico.

J = inerzia del sistema.

A condizione iniziale ω₀ (al tempo t=0, in cui u è l'ingresso di controllo da progettare) deve garantirsi la regolazione della velocità del motore.

Occorre evidenziare che, idee possibili, si ometterà la dipendenze implicità del tempo t e delle variabili dinomicie. Quindi

∫J&domega;=u-T_L, la letta come:

&dfrac;dω(t)u(t)-T_L, con T_L non dipendenti dal tempo perchè funzioni costanti nel tempo.

L'obiettivo può essere riformulato nei termini di imporre l'errore di regolazione, definito come:

&ddot;ω=u-ω la convergenza esponenziale a zero, cioè:

|ω(t)|ω₀|≤e^-3(k) per ∀ t≥ 0 per un quale K positivo.

Nel caso in qui questo errore convenga a zero, allora qis dopo un intervallo di tempo esponenziale la varianza intorno alla zero. Piccola la velocità del motore, è quale così riferuto cu+cu*

Se denotiamo con τ_x=1/ la quantità costante di tempo, essa permette di descrivere che già dopo t³=t≤3τx

|ω(t)| ≤ 0,05 i ω₀

essendo b funzioni esponenziali.

Una funzione decrescente di valendo e^-3≤0,05. Quindi, tanto più il valore di τx è elevato, tanto più piccolo è il valore della costante di tempo e tanto più elevata è la velocità di decadimento del transitorio.

Arrò che ∫Jū=Jū so che ωū-ω* e che ∫cū=K è pagherà pongo: ū-K

e ∫J&ddot;ω=J˙ω che sostituendo nell'á (4) avrà: ∫J&ddot;ω=u-T_L

con la condizione iniziale ω₀=cω₀-ω*

Supponiamo, per qualche motivo, di essere a conoscenza del valore del carico T_L. Tale conoscenza permette di compensare questo disturbo tramite l'ingresso u. Si giunge a dire di T, e

∫L=0

Supponiamo, per qualche motivo, di essere a conoscenza del valore del carico T_L. Tale conoscenza permette di compensare questo disturbo tramite l'ingresso u. Si giunge a dire di T, e ∫L=0

La soluzione risulta essere:

u(t) =cω(t)-ω

Quindi, l'errore di misile ω(t) rimane inverso allo scrimento del tempo.

Solo nel caso in cui velocità del motore si mantengano a tempo iniziale, cioè ω(t)=0 valurra ∴ω(t)=0; questo mudice

di più il valore della velocità del motore ω(t) si mantiene eguale al suo riferimento cu* con più queste fosse possibile, cioè

ω(0) = ω

Vorrebbe dire che il motore già giri con una velocità costante al suo riferimento già al tempo iniziale t=0

Appare evidente che, se possibile, sarebbe apportuno imporre una dinamica di errore.

Quale scelta di ingresso u_s se esiste, garantisce che l'errore di regolazione Ĥ(t) tende a zero esponenzialmente e monotonamente.

Aggiungiamo alla nostra legge di controllo u_c = T_z- JKĉ un termine v da progettare con Ĥ.

Ma sappiamo che:

lim (t→∞) ω(t) = 0 in modo esponenziale e per qualunque condizione iniziale ĉ(0).

cioè, avremo che:

∫ĉ = - ∂K∫ĉ + ∫ w => Ĉ = -Kĉ + ∫ w

ω = - k ĉ + Tĉ˙˙

Fruittando il fatto che ĉ = T_e - T_i sappiamo che è costante nel tempo e quindi diventerà zero

Assumiamo che l'errore e il nostro ω da progettare sia continuo e derivabile

ω = K ĉ + ∫ w

Ĥ = -K ĉ + Tĉ

K = un guadagno positivi.

L'equazione di errore diventa:

ω = - K ĉ + T

Q(s) = Λ(s)

Denotando con T₄ e T₂ le radici del polinomio Π

Π(s) = s² + Ks + T

Λ(s) =:

Se (ĉ≠T): ω(0)=0

L₂(s) = ^Q(s)/_(s-η)(s-T4) = A₂(T₄-η) lim_s→T4 Q(s)

A₂ = Q(s)

ω(t) - ∫

T₄≠T₂ RADICI REALI DISTINTE

Se, η₄ = Re(η₄)+j Im(η₄)

η₂ = Re(η₄)-j Im(η₄) con η ≠ η₄ ).

A₂ = Ā₂

Abbiamo quindi che per t ≥ 0

ω(t) = {

A₄ e^{η₄ t} + A₂ e ^{η₂ t} se η₄ ≠η₂

A₄ e ^{η₄ t} + Ā₄e ^η₂t se η₂ ≠

A₄e ^η₄t

+ t A₂ e ^η₄t se η₄ = η₂

Prendiamo l'esame la se

condizioni iniciali

Quindi

Dal'algebra lineare prendiamo la definizione di MATRICE NIHL-POTENTE di grado p, cioè è una matrice che quando elevata alla potenza p si riduce alla matrice nulla.

Procedendo a ritroso, grazie a P₁, passiamo esprimere

Ritorniamo alla nostra matrice

• Dobbiamo risolvere il sistema

• Ricordando che il polinomio caratteristico è
• e le sue radici sono ν₁ e ν₂ allora

• Radici reali distinte
• Radici reali coincidenti

Nelle condizioni di antitrasformare X(s), avremo per t>0

• ν₁ ≠ ν₂
• ν₁ = ν₂

Nel caso di AUTOVALORI COINCIDENTI possono aprirsi due scenari:

1. Tutti i blocchi di Jordan associati a tale autovalore hanno dimensione e ciò significa che la matrice di partenza è diagonalizzabile e non appare nessun modo polinomiale nelle espressioni dei vettori X(t).
2. C'è almeno un blocco di Jordan associato a λ di dimensione maggiore di e ciò si esprime con valori di X(t).

Consideriamo il caso in cui nel controllare il motore descritto da _M presuppiamo che la coppia di carico sia costante quando invece essa ha una componente sinusoidale.

U sen(xt + φ) di pulsazione ω , fase φ [π, ρ] e ampiezza ρ imposta sul valore costante _M. Presumiamo che _M= _M quando invece _M = _M + U sen(xt + φ).

Imponiamo il nostro controllo proporzionale integrale u =  K_C₍ - ∫₍(t)dt

e ci aspettiamo che l'errore di regolazione ₍(t) converga esponenzialmente a zero con l'azione integrale in grado di stimare il valore non nullo di carico _M. Ma notiamo che questo non accade quando _M è una volta assoluti i transitori: un andamento sinusoidale di pulsazione. Vediamo perc...

Cu = , _MU sen(xt + φ) che derivato ẖ

l'espressione di u imposta, otteniamo

J₍ = - J K_C ∫dt - U_r cos(xt + φ)

Se vediamo _M come uscita e cos(xt + φ) come ingresso, abbiamo un caso particolare di un modello generale ingresso-uscita

+ _M + _M⁽⁴⁾

che coinvolge la generica uscita _M e il generico ingresso ₍ con le loro derivate.

Nel caso di U = 0, ossia di coppia di carico costante e pari a _M, ritroviamo l'equazione di errore

ẖ =

Ora trasformiamo l'eq. di differenziale con variabile con l'ingresso cos(xt + φ) nel sis

x₁ = x₂ x₂ = - K_C - K_C -

y=x₁

La funzione W(s) = @^-1

X(s) = (sI - A)^-1 x₀ + (sI - A)^-1

C = C x(s) = C (sI - A)^-1 x₀ +

L'obiettivo è quello di capire perché l'errore di regolazione ₍(t) invece di convergere esponenzialmente a zero, presente una volta assodati i transitori; un andamento sinusoidale di pulsazione , pari alla pulsazione di carico U sen(xt + φ)

Consideriamo nella matrice A a parte reale negativa.

Aiutando …