Fondamenti di Controlli - Teoria

Teoria feedback

Azione proporzionale

Prendiamo in esame un semplice esempio costituito da un motore elettrico tipicamente utilizzato per ascensori o veicoli elettrici. Potendo ignorare parte della nostra trattazione esaminata da differenziali lineari e relative soluzioni, lasceremo sottinteso che questi ogni differenziale ammettono una unica soluzione. L'obiettivo è evidenziare un nuovo scenario indirizzato nel problema di regolazione, inteso come un problema di controllo in cui si richiede che una variabile di interesse di cui conoscere il valore del motore fisico sia la velocità del motore.

Nel nostro caso, l'oggetto fisico è un motore e la variabile da controllare è la velocità del motore. La dinamica del motore è descritta da:

J ω̇ = u - T_L con T_L = coppia costante di carico J = inerzia del sistema motore/carinae con condizioni iniziali ω(0) al tempo t = 0, in cui u è l'ingresso di controllo da progettare con l'obiettivo di garantire la regolazione della velocità del motore ω ad un dato valore di riferimento ω^*.

Occorre evidenziare, dove possibile, che si ometterà la dipendenza implicita del tempo t e delle variabili coinvolte. Quindi (a') J ω̇ = u - T_L va letta come J ω̇(t) = u(t) - T_L con u e T_L non dipendenti dal tempo perché funzioni costanti nel tempo.

L'obiettivo può essere riformulato nei termini di imporre un errore di regolazione, definito come ω̇ = ω - ω^* la convergenza esponenziale a zero, cioè |ω̇(t)| ≤ < sup { essendo la funzione esponenziale decrescente e valendo |e^-3| ≤ 0,05. Quindi, tanto più il valore di K è elevato, tanto più è piccolo il valore della costante di tempo e tanto più elevata è la velocità di decadimento del transitorio.

J ω̇ = J ω̇ - J ω^* so che ω̇ = ω - ω^* e che J ω̇ = u - T_L perché u^* = costante. Avrò che J ω̇ = J ω̇ che sostituendo nell'a (1) avrò: J ω̇ = u - T_L con la condizione iniziale ω(0) = ω(0) - ω^* ed il valore della velocità iniziale ω(0) ereditato da sistemo stesso.

Supponiamo, per qualche motivo, di essere a conoscenza del valore del carico T_L. Tale conoscenza permette di compensare questo disturbo tramite l'ingresso u. Si giunge a dire che la soluzione risulta essere ω̇(0) = ω(0) - ω^*.

Se denotiamo con τ_s la quantità costante di tempo, essa permette di descrivere che già dopo τ = 3 τ< 3 τ |ω̇(t)| ≤ 0,05 |ω̇(0)|.

Appare evidente che, se possibile, sarebbe opportuno imporre una dinamica di errore pari a ̈ = -k̇ con soluzione ̇(t) = e^-kt ̇(0) il cui andamento esponenziale zero verrebbe assicurato dalla scelta di un K positivo. Se scegliamo un ingresso u = T_L - KJ̇ notiamo subito che è diversa dalla nostra scelta iniziale (u = T_L) per la presenza di (-KJ̇) che ora analizziamo. u(t) = T_L è ora diventato u(t) = T_L - KJ̇(t)

La semplice domanda a cui risponde il controllo u = T_L è la seguente: quale ingresso di controllo eletto, chiamato con u*, è in grado di mantenere la velocità di motore uguale al su- segnale di riferimento qualora la velocità del motore al tempo iniziale sia uguale al segnale di riferimento? Esso è proprio u = u* che esprime la sua azione in funzione dei riferimenti ed ingressi di disturbo. Questo approccio si chiama in catena aperta per evidenziare il fatto che le necessarie informazioni del motore in funzionamento vengono riportate indietro per essere utilizzate dall'ingresso di controllo. Si utilizza l'approccio in catena chiusa per evidenziare il fatto che viene utilizzato dall'ingresso di controllo il feedback del motore in funzionamento.

Siccome u = T_L - KJ̇ = u* = u* + T_L

Nella formula u = T_L - KJ̇ riconosciamo l'azione di 2 componenti:

1. Azione in u = u* = u + T_L che garantisce che l'ingresso abbia le qualità necessarie o mantenere la velocità del motore uguale al riferimento.
2. Azione del feedback che possiede l'abilità di schiacciatore a zero l'effetto di condizioni iniziali non compatibili.

Da ciò si deduce che la legge di controllo u = T_L - KJ̇ si riduce al caso particolare u = T_L quando K=0.

Nel caso in cui ̇ negativo: l'azione dell'ingresso delle coppia di carico è positivo e tende ad aumentare la velocità del motore riducendo lo scostamento delle due. Positiva: l'azione dell'ingresso della coppia di carico è negativo e tende a diminuire la velocità del motore riducendo lo scostamento delle due.

Supponiamo di commettere un minimo errore sulla conoscenza della coppia disturbo T_L agendo sul motore. Questo è molto possibile nella pratica. Sia T_L il valore netto della coppia di carico che differisce di una minima quantità ε della coppia carico effettiva T'_L cioè ̅T_L - T_L = ε. Di conseguenza, invece di fornire al motore l'ingresso...