Fondamenti di automatica - criterio di stabilità di Nyquist - Appunti

CRITERIO DI STABILITA' DI NYQUIST.

1. Funzione di trasferimento di un sistema e stabilità. del segnale

La funzione di trasferimento W(s) di un sistema è il rapporto fra la trasformata

di uscita e quella del segnale applicato all'ingresso del sistema. Cioè:

W(s)= Vu(s)/Vi(s).

Nel caso che il segnale di ingresso sia una delta di Dirac, si ha: Vi(s)=1.

Perciò Vu(s)=W(s).

Ne segue che antitrasformando la funzione di trasferimento di un sistema si trova la

sua risposta all'impulso.

Un sistema è detto STABILE sse la sua risposta asintotica all'impulso è

limitata, cioè se tale risposta NON DIVERGE nel tempo .

Ad esempio, un sistema che come risposta all'impulso fornisce un'onda sinusoidale è stabile,

poiché tale risposta non diverge nel tempo ma rimane limitata fra due valori (minimo e

massimo della sinusoide).

Un sistema composto da (elementi ai quali si possa applicare la

elementi lineari

come resistenze, condensatori ed induttori) presenta una W(s)

sovrapposizione degli effetti,

che si può porre come rapporto di polinomi: W(s)=N(s)/D(s),

dove N(s) è un polinomio di grado m in s, mentre D(s) è un polinomio di grado n in s.

m n

Cioè: N(s)=a s +…a ; D(s)=b s +…b

m 0 n 0

Utilizzando il teorema di scomposizione in fattori, il polinomio a numeratore si può scrivere

nella forma:

N(s)=a (s-z )(s-z )…(s-z )

m 1 2 m

,z ,z sono le radici dell'equazione N(s)=0.

dove z 1 2 m e sono quei valori di s che annullano la W(s).

Tali radici sono dette ZERI della W(s)

Viceversa , p , .. p dell'equazione D(s)=0 sono dette POLI della W(s)

le radici p 1 2 n

Complessivamente zeri e poli sono dette SINGOLARITA' della funzione di trasferimento

W(s).

Si verifica che in un sistema REALE il numero dei poli è sempre maggiore od uguale al

numero degli zeri.

Se così non fosse, dal momento che , per si avrebbe

in regime sinusoidale s=jω

ω ω → ∞

Vu(jω )→ ,

∞

il che non è fisicamente possibile. /Z =-

NOTA: Il fatto che in un derivatore ideale ad operazionale si verifichi: G(s)=-Z

2 1

R/(1/sC)

Cioè: (1) G(s)= - RCs [uno zero e nessun polo] NON smentisce l'affermazione precedente.

Infatti la (1) si trova nella ipotesi che la funzione di trasferimento dell'operazionale non

abbia nessun polo. Il che è falso. Se si tiene in conto che la FDT dell'operazionale ha

e si ricalcola G(s) si troverà che il numero di zeri NON supera quello dei

almeno un polo ω 0

poli.

Per quanto riguarda la stabilità hanno importanza solo i POLI della funzione di

trasferimento,

dal momento che la W(s) si potrà scomporre nella somma di FRAZIONI PARZIALI del

tipo:

Nella precedente s è un polo nullo (molteplicità semplice), p è un polo reale, il termine

1

2 22 2 2

+p ] corrisponde alla presenza di due poli immaginari, il termine D(s-σ )/ [(s-σ ) +ω ]

C/[s

corrisponde alla presenza di due poli complessi. E così il successivo.

Antitrasformando la precedente si nota che l'antitrasformata del primo termine vale A,

(risposta limitata nel tempo). 2 , cioè se il sistema avesse un polo nullo DOPPIO,

Viceversa se il primo termine fosse A/s

allora l'antitrasformata varrebbe A t. Otterremmo cioè una risposta CRESCENTE nel tempo

(sistema instabile). p t

e .

Analogamente nel caso di polo reale si ha una risposta del tipo B 1

Si vede che la risposta asintotica è limitata sse il polo è NEGATIVO.

supponendo che la molteplicità dei poli sia uno, si

Nel caso di poli complessi coniugati,

ottiene una risposta del tipo:

t t

D cos(ω t)eσ +E sin(ω t)eσ

ω σ ω σ

dove , sono, rispettivamente, la parte reale ed immaginaria dei poli.

σ ω

Anche in questo caso si trova che o

la parte reale dei poli deve essere NEGATIVA,

σ

tutt'al più nulla con molteplicità uno. In quest'ultimo caso la risposta è, appunto, una

sinusoide pura

t diventa 1).

(il termine eσ

Ne segue che un sistema, per essere stabile deve avere poli a parte reale negativa

oppure nulla a molteplicità uno.

2. Il teorema dell'argomento di Cauchy

Una funzione di variabile complessa F(s) è una legge che associa in modo univoco un punto

s di un piano complesso detto ad un altro punto F di un altro piano complesso

dominio,

detto CODOMINIO.

La variabile complessa s si può mettere nella forma s=a+jb (a=parte reale, b=parte

jϕ .

immaginaria) oppure nella forma POLARE: s=R e 2 2

Il numero reale R è il modulo del numero complesso [sqrt(a +b )], mentre è la fase del

ϕ

numero complesso s.

occorre stare attenti. Infatti se s si trova nel primo quadrante o nel

Per il calcolo di ϕ

quarto quadrante del piano complesso (parte reale POSITIVA) si ha: =arctg(b/a), mentre

ϕ

se s si trova nel secondo o nel terzo quadrante (parte reale NEGATIVA) si ha:

= 180+arctg(b/a).

ϕ -

Ad esempio se s= -3+4j (parte reale negativa) si ha: =180+arctg (- 4/3)=180 arctg (4/3).

ϕ

La forma polare di un numero complesso suggerisce che ad ogni numero complesso si può

associare un cioè un vettore con origine nel centro degli assi, che

RAGGIO VETTORE,

abbia modulo pari al modulo del numero complesso ed argomento pari alla fase del numero

complesso.

Se adoperiamo tale rappresentazione vettoriale dei numeri complessi concludiamo che al

numero complesso s-z è associabile un vettore che risulti dalla differenza fra i vettori e

s z

associati ad s e z. Tale vettore ha origine nel vertice di e termina nel vertice di come

z s,

indica la figura (s-z= vettore in grassetto):

) OPPOSTA a quella del vettore scopriamo che nel

Essendo la fase del vettore 1/(s-s s-s 1

1 (polo di F) allora ruoterà in verso

caso che s ruoti nel verso ORARIO attorno ad s F

1

ANTIORARIO attorno alla propria origine.

Concludiamo che se s si sposta nel verso orario su una curva chiusa che racchiuda Z zeri e P

poli della funzione complessa F, allora F farà N = Z - P rotazioni orarie attorno alla sua

origine degli assi.

Ad esempio se s ruota in senso orario su una curva che racchiuda un solo polo di F (e

nessuno zero), allora F ruoterà in senso antiorario attorno all' origine dei propri assi (dato

che N= - P).

E' importante notare che una dimostrazione rigorosa del teorema dell'argomento di

Cauchy porta ad assumere che sulla curva C su cui si muove s, NON ci siano

singolarità (tali singolarità debbono essere INTERNE a C).

3. Caso in cui vi sia una singolarità sulla curva su cui si muove s

Consideriamo a parte il caso in cui la curva su cui si muove s passi attraverso una singolarità

di F.

Ad esempio consideriamo il caso in cui la curva C passi attraverso l'origine, e che

nell'origine vi sia uno zero (figura). Per potere applicare il teorema dell'argomento di

Cauchy, dobbiamo

modificare il percorso in modo da escludere tale singolarità. Ad esempio possiamo far

percorrere alla curva C un piccolo semicerchio ABC in modo da lasciare lo zero alla sinistra

di C (figura ).

Supponiamo di percorrere la curva C in senso orario.

Il vettore F= s-z, quando s percorre il piccolo semicerchio , si muoverà di 180° in senso

antiorario, attorno alla origine di F. p (posto nella origine)

Se avessimo un polo nullo il

vettore F=1/(s-p) percorrerebbe una semicirconferenza attorno alla propria origine in

(il raggio di tale semicirconferenza sarebbe tendente ad infinito essendo s-p

senso orario

tendente a zero).

Concludiamo che, se la traiettoria sulla quale si muove s, viene modificata in modo da

lasciare fuori un polo che inizialmente si trovava di essa, allora F percorrerà, oltre ad

N=Z-P (con Z e P interni alla nuova traiettoria), un ALTRO MEZZO GIRO ORARIO

su una semicirconferenza di raggio tendente ad infinito.

Naturalmente allora (oltre ad N=Z-P)

se il polo è DOPPIO F percorrerà un intero giro

E lo stesso dicasi nel caso in cui occorra modificare la traiettoria per

orario IN PIU'.

lasciare fuori due POLI IMMAGINARI.

Appunti per il corso di Fondamenti di Automatica del professor Mascolo con particolare attenzione ai seguenti argomenti trattati: descrizione del criterio di stabilità secondo Nyquist e iterazione con l'argomento di Cauchy per calcolare la stabilità, raggio vettore, il caso di poli nulli o immaginari.