Fondamenti di automatica - criterio di stabilità di Nyquist - Appunti

Una funzione di variabile complessa F(s)

Una funzione di variabile complessa F(s) è una legge che associa in modo univoco un punto di un piano complesso detto ad un altro punto F di un altro piano complesso dominio, detto CODOMINIO. La variabile complessa s si può mettere nella forma s=a+jb (a=parte reale, b=parte immaginaria) oppure nella forma POLARE: s=R*e^(jϕ).

Il numero reale R è il modulo del numero complesso [sqrt(a^2 + b^2)], mentre ϕ è la fase del numero complesso s. Occorre stare attenti. Infatti se s si trova nel primo quadrante o nel quarto quadrante del piano complesso (parte reale POSITIVA) si ha: ϕ=arctg(b/a), mentre se s si trova nel secondo o nel terzo quadrante (parte reale NEGATIVA) si ha: ϕ= 180+arctg(b/a).

Ad esempio se s= -3+4j (parte reale negativa) si ha: ϕ=180+arctg (- 4/3)=180+ arctg (4/3).

La forma polare di un numero complesso suggerisce che ad ogni numero complesso si può associare un raggio, cioè un vettore con origine nel centro degli assi, che rappresenta il modulo del numero complesso, e un angolo ϕ che rappresenta la fase del numero complesso.

VETTORE,abbia modulo pari al modulo del numero complesso ed argomento pari alla fase del numero complesso. Se adoperiamo tale rappresentazione vettoriale dei numeri complessi concludiamo che al numero complesso s-z è associabile un vettore che risulti dalla differenza fra i vettori es z associati ad s e z. Tale vettore ha origine nel vertice di e termina nel vertice di come z s, indica la figura (s-z= vettore in grassetto):) OPPOSTA a quella del vettore scopriamo che nel Essendo la fase del vettore 1/(s-s s-s 11 (polo di F) allora ruoterà in verso caso che s ruoti nel verso ORARIO attorno ad s F1ANTIORARIO attorno alla propria origine. Concludiamo che se s si sposta nel verso orario su una curva chiusa che racchiuda Z zeri e P poli della funzione complessa F, allora F farà N = Z - P rotazioni orarie attorno alla sua origine degli assi. Ad esempio se s ruota in senso orario su una curva che racchiuda un solo polo di F (e nessuno zero), allora F ruoterà in senso

antiorario attorno all' origine dei propri assi (dato che N= - P). E' importante notare che una dimostrazione rigorosa del teorema dell'argomento di Cauchy porta ad assumere che sulla curva C su cui si muove s, NON ci siano singolarità (tali singolarità debbono essere INTERNE a C).

3. Caso in cui vi sia una singolarità sulla curva su cui si muove s

Consideriamo a parte il caso in cui la curva su cui si muove s passi attraverso una singolarità di F. Ad esempio consideriamo il caso in cui la curva C passi attraverso l'origine, e che nell'origine vi sia uno zero (figura). Per potere applicare il teorema dell'argomento di Cauchy, dobbiamo modificare il percorso in modo da escludere tale singolarità. Ad esempio possiamo far percorrere alla curva C un piccolo semicerchio ABC in modo da lasciare lo zero alla sinistra di C (figura).

Supponiamo di percorrere la curva C in senso orario. Il vettore F= s-z, quando s percorre il piccolo

semicerchio, si muoverà di ^180° in senso antiorario, attorno alla origine di F. p (posto nella origine) Se avessimo un polo nullo il vettore F=1/(s-p) percorrerebbe una semicirconferenza attorno alla propria origine in (il raggio di tale semicirconferenza sarebbe tendente ad infinito essendo s-p senso orario tendente a zero). Concludiamo che, se la traiettoria sulla quale si muove s, viene modificata in modo da lasciare fuori un polo che inizialmente si trovava di essa, allora F percorrerà, oltre ad N=Z-P (con Z e P interni alla nuova traiettoria), un ALTRO MEZZO GIRO ORARIO su una semicirconferenza di raggio tendente ad infinito. Naturalmente allora (oltre ad N=Z-P) se il polo è DOPPIO F percorrerà un intero giro. E lo stesso dicasi nel caso in cui occorra modificare la traiettoria per orario IN PIù. lasciare fuori due POLI IMMAGINARI. 4. Criterio di stabilità di Nyquist. Consideriamo un sistema reazionato, avente una FDT del tipo: W(s)= G/[1+GH]. I poli diW(s) si ottengono ponendo F(s)=1+GH=0. Coincidono perciò con gli ZERI di F(s). La funzione F(s)=1+GH è detta del sistema.funzione caratteristica Per quanto detto all'inizio, il sistema reazionato è stabile sse W(s) non ha poli a parte reale positiva (può avere tutt'al più un polo nullo oppure una coppia di poli immaginari). Perciò F(s) non dovrà avere alcuno zero a parte reale positiva. Per accertarci che F(s) non abbia zeri a parte reale positiva possiamo definire un percorso chiuso OABCO sul dominio, tale che il segmento OA parta dall'origine e raggiunga il punto A dell'asse immaginario. Il tratto ABC sia un semicerchio di raggio R. Infine il percorso si chiuda attraverso il tratto CO ritornando all'origine (figura). Per R tendente ad infinito il percorso precedente abbraccia tutto il semipiano destro. Esso perciò non dovrà contenere alcuno zero di F(s) se si vuole che il sistema sia stabile. Ma

èN=Z-P dove Z, N sono gli zeri e i poli di F(s), mentre N è il numero di giri di F attorno all'origine dei propri assi.

Adesso dovendo essere Z=0, saràCioè un sistema è stabile sse il numero di giri che la funzione caratteristica fa in senso antiorario attorno all'origine è pari al numero di poli a parte reale positiva della F stessa.

Ma è F=GH+1, dove GH è un numero complesso. Ponendo GH=s la funzione caratteristica si scrive: F=s+1.

La precedente indica che -1 è uno zero di F.

Dal teorema dell'argomento sappiamo che il numero di giri di s=GH attorno allo zero di F è uguale al numero di giri di F attorno alla propria origine.

Vale anche il viceversa: il numero di giri di F attorno alla propria origine è pari al numero di giri di s=GH attorno al punto -1 detto punto critico.

Riassumendo, il criterio di stabilità di Nyquist si può così enunciare: Un sistema reazionato W(s)=G/[1+GH]

è stabile sse il numero di giri in senso (quando la s si muova in senso orario su una antiorario di GH attorno al punto critico curva chiusa che passi per l'asse immaginario e comprenda tutto il semipiano destro) è pari al numero di poli positivi di GH poli di F sono anche i poli per GH).

Rimane da chiarire un punto. Si è detto che la curva chiusa C deve racchiudere tutto il semipiano destro. Per fare ciò occorre far tendere ad infinito il raggio R del semicerchio ABC. La s si dovrà far variare dapprima sul tratto OA, poi sul semicerchio di raggio infinito ABC, infine sul tratto rettilineo CO. Durante la variazione di s sul tratto OA, la varia da 0 a +∞. Durante la variazione di s da ωA fino a C (semicerchio di raggio infinito), si ha:

h)…(s-z )/ s [s-p )…(s-p )]F=k (s-z 1 m 1 n

Ma, tenendo presente che in un sistema REALE il numero dei poli è sempre MAGGIORE od UGUALE al numero degli zeri,

per s→ si ha F= K (se il numero dei

<p>&infin;poli &egrave; uguale al numero degli zeri) oppure F=0 (se il numero dei poli &egrave; maggiore del numero degli zeri). Di conseguenza lo spostamento di s lungo il tratto ABC non produce alcun effetto sulla fase di F (K &egrave; una costante). Ne segue che durante l'applicazione del criterio di Nyquist l'unico spostamento di s che interessa &egrave; quello che avviene lungo l'asse immaginario. E poiché lo spostamento deve avvenire in senso orario, occorrerà far variare da -&infin; a +&infin; .&omega; Si ricava facilmente che l'andamento di F relativo alle frequenze negative &egrave; il simmetrico (rispetto all'asse reale) del tratto relativo alle frequenze positive. Questo (a coefficienti reali) perché se una equazione F(s)=0 ammette una radice complessa, ammetterà come radice anche la sua coniugata. Riassumiamo: Un sistema reazionato &egrave; stabile se il numero di giri ANTIORARI del guadagno di anello GH durante il passaggio da = - ad =</p>

+ eguaglia il numero di poli positiviω ∞ ω ∞di GH.5. Caso di poli nulli o immaginari

Il teorema dell'argomento di Cauchy richiede che la curva C su cui si muove la variabile complessa s

Questo equivale a dire, nell'enunciato del criterio di Nyquist, che la variabile s non deve passare per poli nulli o immaginari durante il passaggio daω- a - .∞ ∞

Nel caso di un polo nullo possiamo evitare che la variabile s passi per esso facendo fare alla s un piccolo percorso semicircolare attorno al polo.

Si è visto ne paragrafo 3 che quando la s percorre tale piccolo semicerchio in senso antiorario- +ad =0 ) la F percorre un semicerchio di raggio R tendente ad(durante il passaggio da =0 ωωinfinito, in senso ORARIO. - +

Il che, tradotto nel criterio di Nyquist significa che nel passaggio da =0 ad =0 la GH siω ωsemicerchio Analogamente muoverà su un di raggio tendente ad infinito,

in senso ORARIO.- +nel caso di polo nullo DOPPIO si ha ad =0 la GH si muoverà suche nel passaggio da =0 ωωun cerchio, di raggio R tendente ad infinito, in senso ORARIO. - a i+si ha che nel passaggio di da p p la GHAnalogamente nel caso di un polo immaginario p ωi icompirà un mezzo giro ORARIO (muovendosi su un semicerchio di raggio tendente ad infinito).Sia ad esempio:La precedente presenta un polo nullo. Questo significa che in corrispondenza ad =0+ il modulo diω- -= 90 - [180 arctg(ω )]= -270+ arctg(ω )GH sarà tendente ad infinito. Si ha ϕ GH +La precedente indica che la fase varia da -270 a -180 gradi (durante il passaggio di =0 ad =∞ )ω ωCome si vede il punto critico viene abbracciato volte in senso ORARIO (senso assunto comeN =1positivo nel criterio di Nyquist). La funzione GH ha inoltre un numero di poli a parte realeP=1positiva. Z=N+P=2 .Dal teorema dell'argomento di Cauchy si trovaNe segue che il

reazionato presenta DUE poli a parte reale positiva, e perciò è fortemente instabile. Come verifica ricerchiamo la equazione caratteristica 1+GH, che vale: Come si vede l'equazione caratteristica presenta due zeri a parte reale positiva, cioè il sistema reazionato presenta due POLI a parte reale positiva. QVD. ***************************************************************************** Secondo esempio: Sia GH=Ponendo s=jω si ha GH =<1 si ha = -arctg(ω )ϕ Per ωPer >1 si ha: = 180 - arctg(ω )ω ϕ - +1 e per 1 si ha un modulo tendente ad infinito e unaω →Tenendo presente c