Fondamenti di automatica - criterio di stabilità di Nyquist - Appunti

Criterio di stabilità di Nyquist

Funzione di trasferimento di un sistema e stabilità del segnale

La funzione di trasferimento W(s) di un sistema è il rapporto fra la trasformata di uscita e quella del segnale applicato all'ingresso del sistema. Cioè: W(s)= Vu(s)/Vi(s). Nel caso che il segnale di ingresso sia una delta di Dirac, si ha: Vi(s)=1. Perciò Vu(s)=W(s). Ne segue che antitrasformando la funzione di trasferimento di un sistema si trova la sua risposta all'impulso.

Un sistema è detto stabile se e solo se la sua risposta asintotica all'impulso è limitata, cioè se tale risposta non diverge nel tempo. Ad esempio, un sistema che come risposta all'impulso fornisce un'onda sinusoidale è stabile, poiché tale risposta non diverge nel tempo ma rimane limitata fra due valori (minimo e massimo della sinusoide).

Un sistema composto da elementi lineari come resistenze, condensatori ed induttori presenta una W(s) che si può porre come rapporto di polinomi: W(s)=N(s)/D(s), dove N(s) è un polinomio di grado m in s, mentre D(s) è un polinomio di grado n in s. Cioè: N(s)=a_ms^m+…a₀; D(s)=b_nsⁿ+…b₀.

Utilizzando il teorema di scomposizione in fattori, il polinomio a numeratore si può scrivere nella forma: N(s)=a_m(s-z₁)(s-z₂)…(s-z_m), dove z₁, z₂, …, z_m sono le radici dell'equazione N(s)=0. Tali radici sono dette zeri della W(s).

Viceversa, le radici p₁, p₂, …, p_n dell'equazione D(s)=0 sono dette poli della W(s). Complessivamente zeri e poli sono dette singolarità della funzione di trasferimento W(s).

Si verifica che in un sistema reale il numero dei poli è sempre maggiore o uguale al numero degli zeri. Se così non fosse, dal momento che in regime sinusoidale s=jω si avrebbe ω→∞, Vu(jω)→∞, il che non è fisicamente possibile.

Nota: Il fatto che in un derivatore ideale ad operazionale si verifichi: G(s)=-Z₂/R/(1/sC), cioè: G(s)= - RCs [uno zero e nessun polo] non smentisce l'affermazione precedente. Infatti, la (1) si trova nell'ipotesi che la funzione di trasferimento dell'operazionale non abbia nessun polo. Il che è falso. Se si tiene in conto che la FDT dell'operazionale ha almeno un polo e si ricalcola G(s) si troverà che il numero di zeri non supera quello dei poli.

Per quanto riguarda la stabilità, hanno importanza solo i poli della funzione di trasferimento, dal momento che la W(s) si potrà scomporre nella somma di frazioni parziali del tipo:

Nella precedente, s è un polo nullo (molteplicità semplice), p₁ è un polo reale, il termine [D(s-σ₂)/((s-σ₂)²+ω₂²)] corrisponde alla presenza di due poli immaginari, il termine C/[s+ω₂²] corrisponde alla presenza di due poli complessi. E così il successivo.

Antitrasformando la precedente si nota che l'antitrasformata del primo termine vale A, cioè se il sistema avesse un polo nullo doppio, la risposta sarebbe limitata nel tempo. Viceversa, se il primo termine fosse A/s, allora l'antitrasformata varrebbe A t. Otterremmo cioè una risposta crescente nel tempo (sistema instabile).

Analogamente, nel caso di polo reale si ha una risposta del tipo B e^pt. Si vede che la risposta asintotica è limitata se e solo se il polo è negativo.

Nel caso di poli complessi coniugati, supponendo che la molteplicità dei poli sia uno, si ottiene una risposta del tipo: D e^σtcos(ωt) + E e^σtsin(ωt), dove σ e ω sono, rispettivamente, la parte reale ed immaginaria dei poli.