Appunti riassuntivi di Fondamenti di Automatica

1) SISTEMI DINAMICI a TC

Descrivo un SD a TC tramite due EDO che descrivono l'andamento delle VARIABILI DI STATO (x) e delle VARIABILI DI USCITA (y) in funzione di x stesso e delle VARIABILI DI CONTROLLO (u).

SISTEMA DINAMICO a TC

• 𝕊(t) = 𝜇(f(𝕊(t),𝜔(t)), t) = A 𝕊(t) + b 𝜔(t)
• 𝜔(t) = 𝜒(𝕊(t),𝜔(t), t) = c 𝕊(t) + d 𝜔(t)

con A, b, c, d = coefficienti del sistema

OSS: Riconosco un sistema dinamico da un sistema non dinamico se l'espressione di 𝕊(t) NON è sufficiente per descrivere l'uscita 𝜔(t). insieme ad eventuali parametri di sistema.

DEFINIZIONI e SIGLE UTIL:

• SISO, Single Input Single Output = un ingresso e un'uscita
• _t ∈ R; u, y ∈ R; 𝕊 ∈ R^m, con m=# variabili di stato
• MIMO, Multiple Input Multiple Output

ORDINE del SISTEMA = numero di Variabili di stato (x)Negli esercizi solitamente sono di ordine 2.

• L: Lineare: Se 𝜒 e 𝜇 sono LINEARI in 𝕊 e 𝜔.
• TI: Tempo Invariante: se sia 𝜇 che 𝜒 non dipendono o stazionario DIRETTAMENTE dal tempo T.
• SP: Strettamente Proprio: Se 𝜒 non dipende da 𝜔(t), cioè d=0

EQUILIBRIO

Se x(t)=_d per u(t)=_d, allora _d si dice STATO DI EQUILIBRIO.

Per calcolare basta porre x'(t)=0, cioe' f(_d,_d)=0.

MOVIMENTO

Per MOVIMENTO si intende l'andamento delle funzioni che descrivono x(t) e y(t).

Il MOVIMENTO COMPLESSIVO e' dato dalla somma di:

• MOVIMENTO LIBERO, ML: dipende da x(0) e NON da u(t)
• MOVIMENTO FORZATO, MF: viceversa

FORMULA DI LAGRANGE per lo STATO:

x(t)=x_L(t)+x_F(t)=e^Atx(0)+∫₀^te^A(t-τ)⋅b⋅u(τ)dτ

Nota: per calcolare x_F(t) conviene applicare la proprietà del MF: NON dipende da x(0) (bisogna usare la LDL, vedi dopo):

• sX(s)-x(0)▼=AX(s)+BU
• X_F(s)=^bU/_A-s

FORMULA DI LAGRANGE per l'USCITA

y(t)=y_L(t)+y_F(t)=ce^Atx(0)+∫₀^te^Aτ⋅b⋅u(τ)dτ+d⋅u(t)

Nota: per calcolare y(t) e' piu' comodo calcolare Y_F(s) tramite la formula Y_F(s)=G(s)U(s) e poi antitrasformare con Laplace

Se invece ñ produce un effetto sull'uscita allora si dice OSSERVABILE.

MATRICE DI OSSERVABILITÀ

_Mo = [ C AC ... A^m-1C ]

CRITERIO per stabilire se un SISTEMA è OSSERVABILE

Sistema O <=> M_o NON SINGOLARE

NB: Se nel calcolo della FdT G(s) ci sono delle semplificazioni di autovalori con Re ≥ 0, dette CANCELLAZIONI CRITICHE, allora il sistema presenta degli stati che sono o NR (Non Raggiungibili) oppure NO (Non Osservabili).

Compensazione Disturbo in Andata

Se da << wc non conviene aumentare Wc. Allora si ricorre alla compensazione.

1. Calcolo il compensatore ideale: C_ID(s) = - ^H(s)/_{M(s). P(s)}

2. Controllo se C_ID è accettabile:

   • deve avere #poli > #zeri
   • deve essere AS

3. Trovo i limiti nelle bande di disturbo in modo che Q(jw) ≃ C_ID(jw) in modo e fase

   Come? Aggiungendo e togliendo poli.

Metodo di Tustin

R^*(z) = R( ₂/^T_s z - 1 / z + 1 )

Criteri per la scelta di T_s

Criterio 1: Vincolo su ω_s

ω_s = 2π / T_s Frequenza di campionamentoω_c ≫ K ω_s con K ≃ 10÷50

Criterio 2: Vincolo su |L(jω)|

|L(jω)| < tot dBω_N = Frequenza di Nyquist = ω_s / 2ω_N ≫ X ⋅ ω_c

Criterio 3: Vincolo su φ_m

φ_m < totRitardo di calcolo trascurabile (solo S&H): 1/2 ω_c T_s < tot radRitardo di calcolo non trascurabile: 3/2 ω_c T_s < tot rad

Come si calcola μ (LK) data R^*(z)?

Sia R^*(z) = N(z) / D(z)allora: N(z) / D(z) = U(z) / E(z)N(z) E(z) = U(z) D(z)

Si calcola la Tz^-1 e isolo rispetto l'uscita più recente