Appunti riassuntivi di Fondamenti di Automatica

1) SISTEMI DINAMICI a TC

Descrivo un SD a TC tramite delle EDO che descrivono l’andamento delle variabili di stato (x) e delle variabili di uscita (y) in funzione di a stesse e delle variabili di controllo (u):

Sistema dinamico a TC

{ \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t) = A x(t) + b u(t) y(t) = g(x(t), u(t), t) = c x(t) + d u(t)

con A, b, c, d = decottori del sistema

OSS: Riconosco un sistema dinamico da un sistema non dinamico se l’espressione di u(t)*non è sufficiente per descrivere l’uscita y(t).

*

insieme ad eventuali parametridi sistema

DEFINIZIONI E SIGLE UTILI:

• SISO , Single Input Single Output = un ingresso e un’uscita t ∈ R ; u, y ∈ R ; x ∈ R^m , con m= # variabili di stato
• MIMO , Multiple Input Multiple Output

ORDINE del SISTEMA = numero di variabili di stato (x)Negli esercizi solitamente sono di ordine 2.

L1, Lineare : se f e g sono LINEARI in x e u.

TI, Tempo Invariante : se sia f che g non dipendono o stazionario DIRETTAMENTE dal tempo T.

SP, Strettamente Proprio : se g non dipende da u(t), cioèd = 0

Sistemi Dinamici a TC

Descrivo un SD a TC tramite delle EDO che descrivono l'andamento delle variabili di stato (x) e delle variabili di uscita (y) in funzione di x stesse e delle variabili di controllo (u):

Sistema Dinamico a TC

{ẋ(t) = f(x(t),u(t),t) = Ax(t) + bu(t)y(t) = g(x(t),u(t),t) = c x(t) + du(t)

con A, b, c, d = descrittori del sistema

Nota: Riconosco un sistema dinamico da un sistema non dinamico se l'espressione di u(t) non è sufficiente per descrivere l'uscita y(t).^*insieme ad eventuali parametri di sistema.

Definizioni e Sigle Utili:

• SISO, Single Input Single Output = un ingresso e un'uscita  t ∈R;   u,y ∈R;   x ∈R^m,  con m= # variabili di stato
• MIMO, Multiple Input Multiple Output

Ordine del Sistema = numero di Variabili di stato (x) Nei esercizi solitamente sono di ordine 2.

• L1, Lineare: se f e g sono lineari in x e u.
• TI, Tempo Invariante: se sia f che g non dipendono o stazionario direttamente dal tempo t.
• SP, Strettamente Proprio: se g non dipende da u(t), cioè    d = 0

Equilibrio

Se \( x(t)=\bar{x} \) per \( u(t)=\bar{u} \), allora \( \bar{x} \) si dice stato di equilibrio. Per calcolare \( \bar{x} \) pongo \(\dot{x}(t)=0\), cioè \( f(\bar{x}, \bar{u})=0 \).

Movimento

Per movimento si intende l'andamento delle funzioni che descrivono \( x(t) \) e \( y(t) \). Il movimento complessivo è dato dalla somma di:

• Movimento libero, ML: dipende da \( x(t) \) e non da \( u(t) \)
• Movimento forzato, MF: viceversa

Formula di Lagrange per lo stato:

\( x(t) = x_L(t) + x_F(t) = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)} b u(\tau) d\tau \)

Nota: per calcolare \( x_F(t) \) conviene applicare la proprieta' del MF: non dipende da \( x(0) \) (bisogna usare la TDL, vedi dopo):\[ sX - x(0) = AX + bU \] \[ X_F(s) = \frac{bU}{A-s} \quad \text{antitrasformo con Laplace} \]

Formula di Lagrange per l'uscita:

\( y(t) = y_L(t) + y_F(t) = c e^{At}x(0) + c \int_0^t e^{A t} b u(\tau)d\tau + d u(t) \)

Nota: per calcolare \( y(t) \) è più comodo calcolare \( Y_F(s) \) tramite la formula \( Y_F(s) = G(s) U(s) \) e poi antitrasformare con Laplace

COME SI LINEARIZZA UN SD NON LINEARE?

1) Trovo gli EQUILIBRI del SD NL :

pongo _x(_t) = 0 e trovo _x̄. Gli equilibri potrebbero essere più di uno, in questo caso bisogna scegliere rispetto a quale equilibrio linearizzare.

2) Sapendo che il sistema linearizzato è:

• ^d_x = L_x ^d_x + L_u ^d_u
• ^d_y = g_x ^d_x + g_u ^d_u

Calcolo :

• L_x |_x̄,ū = d/ dx |_x̄,ū, L_u |_x̄,ū = d/ dū |_x̄,ū
• g_x |_x̄,ū = d/ dx |_x̄,ū, g_u |_x̄,ū = d/ dū |_x̄,ū

E poi:

• ^d_x = x - _x̄
• ^d_u = u - ū
• ^d_y = y - g_u

STABILITA'

Un SD può essere:

• S, Stabile se ||_x(_t) - _x̄|| < ε, ∀ _t > 0
• AS, Asintoticamente Stabile se ||_x(_t) - _x̄|| < ε per _t → +∞
• I, Instabile altrimenti

NB: nei sistemi LTI la stabilita' è una proprietà del sistema, tutti gli equilibri hanno le stesse caratteristiche di stabilita'.

Regole e teoremi per stabilire il tipo di stabilità

• TUTTI gli autovalori di A hanno Re(λ)0 ⟹ sistema I
• det A = 0 ⟹ sistema NN AS
• tr (A) > 0 ⟹ Sistema A
• CRITERIO DI ROUTH

TRASFORMATA DI LAPLACE

Dato che lavorare con le EDO è piuttosto impegnativo, trasformiamo i segnali con variabile temporale N(t), in segnali con variabile se(s), V(s). Questo tramite la TRASFORMATA DI LAPLACE, TDL:

V(s) = [N(t)] = ∫₀^+∞ N(t) e^-st dt

L'operazione inversa è l'ANTITRASFORMATA DI LAPLACE:

N(t) = ⁻¹ [V(s)] = ¹/_2πj ∫_α-j∞^α+j∞ V(s) e^st ds

TA MOTORELI:

ANTITRASFORMATA secondo HEAVISIDE

Se V(s) = ^N(s)/_D(s) allora scompongo V(s) in FRATTI SEMPLICI (come quando devo integrare) ottendendo V(s) come somma di TDL noti.

Le radici di N(s) si chiamano ZERI mentre quelle di D(s) si chiamano POLI.

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO, FdT

G(s) = c (sI-A)^-1 b + d

Y(s) = G(s)⋅U(s)

RAGGIUNGIBILITA' E OSSERVABILITA'

Uno stato x(t) si dice RAGGIUNGIBILE se per un dato istante di tempo t̅ per cui è definita anche la variabile di controllo (t) = ̅, esiste (t̅) = ̅.

Un sistema si dice COMPLETAMENTE RAGGIUNGIBILE se e solo se ogni suo stato è raggiungibile.

MATRICE DI RAGGIUNGIBILITA'

M_R = [b Ab A²b ... A^m-1b]

CRITERIO per stabilire se un SISTEMA è RAGGIUNGIBILE

Sistema R ⟺ M_R NON SINGOLARE

Uno stato x(t) = ̅ si dice NON OSSERVABILE se il movimento ẏ̅ che genera è nullo, ẏ̅ = 0.

Se invece ᵖ produce un effetto sull'uscita allora si dice OSSERVABILE.

MATRICE DI OSSERVABILITᵂ:

M_O =

1. C
2. AC
3. ...
4. A^m-1C

CRITERIO PER STABILIRE SE UN SISTEMA E' OSSERVABILE

Sistema O M_O NON SINGOLARE

NB: Se nel calcolo della FdT G(s) ci sono delle semplificazioni di autovalori con Re≥0, dette CANCELLAZIONI CRITICHE, allora il sistema presenta degli stati che sono o NR (Non Raggiungibili) oppure NO (Non Osservabili).

2) SISTEMI RETROAZIONATI

da_u = DISTURBO IN ANDATAdr = DISTURBO IN RETROAZIONE

OSS: e = w-y è definita come ERRORE del sistema.

FdT:

• FdT d'anello (aperto): L(s) = P(s).R(s)
• FdT di sensibilita' complementare:T(s) = FdT d'andata / (1 + FdT anello) => T(s) = L(s) / (1 + L(s)) = Ψ/W = E/da_u
• FdT di sensibilita': S(s) = 1 / (1 + L(s)) = Ψ/da_u = E/W = E/da_u

TEORIA: Criterio di Nyquist

Sistema in AC AS N ben definito e pari ai PD = #poli con Re>0

N = # giri del DN di L(s) attorno al punto -1.+ se antiorari- se orari

Se il DN passa per -1, allora N non è ben definito.

MARGINI DI STABILITA'

1. MARGINE DI MODULO, \( M_{m} \) : minima distanza del DN di \( L(s) \) dal punto \(-1\), cioè \( \min_{\omega} |L(j\omega) - (-1)| \)

   \(\Rightarrow M_{m} = \min_{\omega} |1 + L(j\omega)|\)

2. MARGINE DI GUADAGNO, \( K_{m} \) :

   Dal grafico si ricava che la stabilità dipende dalla distanza di A da \(-1\) : \( K_{m} = |x_{A} - 1| \)

   Ma \( x_{A} \) è molto variabile. Ciò che rimane costante è l'angolo di A : \(\arg A = -180^\circ \Rightarrow \omega_{A} = \omega_{u} \) allora

   \( K_{m} = \frac{1}{|L(j\omega_{u})|} \), sia \(\alpha = |L(j\omega_{A}| \), allora \( K_{m} = \frac{1}{\alpha} \)

   NB: Conoscendo solo \( \angle L(j\omega_{u}) \) posso ricavarne il modulo tramite il diagrammi di Bode, in cui si legge che il sistema rimane AS per \( K < K_{m} \).

3. MARGINE DI FASE, \( \varphi_{m} \)

   Se \( |L(j\omega_{u})| = 1 \), cioè \( L(j\omega_{u}) \) ha modulo unitario, \( \omega_{c} \) si dice PULSAZIONE CRITICA, mentre l'angolo \(\varphi_{c} = \Delta L(j\omega_{c})\) è detto FASE CRITICA.

Dal grafico si ricava che la stabilita’ dipende dalla distanza tra il punto C e -1 lungo la circonferenza unitaria.

Quindi _φm = 180° - |_φc|

Posso calcolare _φm tramite i DB:

CRITERIO DI BODE

Condizioni di applicabilita’:

• Po > 0
• DBM taglia l’asse 0dB una volta sola.

Notazione:

• M_L = guadagno di L

CRITERIO DI BODE:

• AC AS <=> M_L > 0 ∧ _φm > 0

Requisiti del controllo

1) Progetto Statico, PS:

È necessario imporre l'errore a regime nullo, o minore di un valore dato, per ingressi costanti: , _a, _r.

lim_t→+∞ e (t) = lim_s→0 s E(s) = e_∞ ∈ ℝ

Teorema del Valore Finale

OS: se e∞ è prodotto da più cause le condizioni vanno imposte individualmente.

2) Progetto Dinamico, PD:

a) Disegno i vincoli da rispettare

b) Traccio un DBN iniziando con il tratto _{L L}, con _L e gli z ricavati dal PS, e rispettando i vincoli (aggiungendo poli e zeri auloconvenuti^*).

c) Calcolo _L : se rispetta i vincoli allora traccio il diagramma.

^* NB: NO poli con Re>0

OS: Un sistema si dice A FASE MINIMA se non contiene ne' ritardi ne' zeri nel semipiano destro

COMPENSAZIONE DISTURBO IN ANDATA

Se ω_da << \omega_c non conviene aumentare \omega_c. Allora si ricorre alla compensazione.

1. Calcolo il compensatore ideale:

C_ID(s) = - H(s) / (M(s). P(s))

2. Controllo se C_ID è accettabile:
• deve avere #poli > #zeri
• deve essere AS
3. Trovo i limiti nelle bande di disturbo in modo che C(jω) ≃ C_ID(jω)

in modulo e fase come? Aggiungendo e togliendo poli.

3) Regolatori PID

Regolatori PID = ad azione Proporzionale, Integrale, Derivativa

u(t) = K_P e(t) + K_I ∫₀^t e(ζ) dζ + K_{D d}/_dt e(t)

Se pongo: K = K_P = guadagnoK_I = _KP/_TI = _K/_TI, T_I = tempo integraleK_D = K_PT_D , T_D = tempo derivativo

allora: u(t) = K ( e(t) + ₁/_TI ∫₀^t e(ζ) dζ + T_{D d}/_dt e(t) )

U(s) = K ( 1 + ₁/_sTI + s T_D ) E(s)

quindi: R(s) = _U(s)/_E(s) = K ( 1 + ₁/_sTI + s T_D )

⇒ R(s) = K _{sTI +1+s²TITD}/_sTI

Abbiamo due casi:

1. Regolatore PI :

   R_PI(s) = K _{s + sTI}/_sTI

2. Regolatore PID:

   R_PID(s) = K ( 1 + ₁/_sTI + s T_D )

4) SISTEMI DINAMICI a TD

Nei SD a TEMPO DISCRETO, TD, l'indice temporale è intero e si indica con K∈N.

SISTEMA DINAMICO a TD

• x (k) = A x (k-1) + b u (k-1)
• y (k) = c x (k) + d u (k)

EQUILIBRIO

Se x (k+1) = x (k) = x̄ per u(k)=ŭ, allora x̄ si dice STATO DI EQUILIBRIO.

Per calcolare x̄ pongo f (x̄,  ŭ) = x̄.

MOVIMENTO

FORMULA DI LAGRANGE a TD per lo STATO:

x (k) = x_L(k) + x_F(k) = A^kx(0) + ∑_l=0^k-1A^k-ℓ-1 b u (ℓ)

FORMULA DI LAGRANGE a TD per l'uscita:

y (k) = y_L(k) + y_F(k) = cA^kx(0) + c∑_l=0^k-1A^k-ℓ-1 b u (ℓ) + d u (k)

STABILITÀ, regole:

• TUTTI gli autovalori di A hanno |λ| < 1 → sistema AS
• ALMENO UN autovalore di A ha |λ| > 1 → sistema I
• Tutti gli autovalori di A hanno |λ| < 1 e almeno uno ha |λ| = 1 → sistema NON AS

TRASFORMATA ZETA

É la corrispettiva della TDL.Sia v^(k) segnali a TD, la suaTZ, V(z) = L [v^(k)] =∑_k=0 v^(k) z^-k

• imp^(k) 1/z-1 per |z| > 1
• scal^(k) z/z-a^k per |z| > |a|

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO, FdT

G(z) = c (zI—A) b +d, G(z) = USCITA FORZATA / INGRESSO FORZANTE

RAGGIUNGIBILITA’ e OSSERVABILITA’Esattamente come TC: Sistema R <—> MR non singolareSistema O <—> MO non singolare

5) SCHEMA DI CONTROLLO RETROAZIONATO IBRIDO

Notazione:

• * serve per sottolineare che la variabile è a TD.
• H = Holder
• S = Sampler
• T_S = Sampling Time

Tre ipotesi sotto cui si opera:

1. SAMPLER IDEALE → y^*(K) = y(KT_S)
2. HOLDER DI ORDINE ZERO → u(t) = u^*(K) per KT_S ≤ t < (k+1)T_S
3. Sampler e Holder sincronì

DISCRETIZZAZIONE

Dati R(s) e T_S posso ricavare R^*(z) tramite il processo di discretizzazione.

METODO DI EULERO ESPLICITO

METODO DI EULERO IMPLICITO

METODO DI TUSTIN

R^*(z) = R( ²/_Ts ⋅ ^{z − 1}/_{z + 1})

CRITERI per la SCELTA di T_s

CRITERIO 1: VINCOLO su W_s

W_s = ^2π/_Ts FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO

W_C ≥ k W_s con k ≈ 10÷50

CRITERIO 2: VINCOLO SU |L(jw)|

|L(jw)| < tot dB trovo la corrispondente w

W_N = FREQUENZA DI NYQUIST = ^W_s/₂

W_N ≥ x⋅w_C

CRITERIO 3: VINCOLO SU φ_m

φ_m < tot

•RITARDO DI CALCOLO TRASCURABILE (solo S&H):

¹/₂ W_C T_s < tot ⟹ rad!

•RITARDO DI CALCOLO NON TRASCURABILE:

³/₂ W_C T_s < tot

Come si calcola U(K) data R^*(z)?

Sia R^*(z) = ^N(z)/_D(z)

allora:

^N(z)/_D(z) = ^U(z)/_E(z)

N(z)⋅E(z) = U(z)⋅D(z)

↓ calcolo la T^z−1 e risolvo rispetto e l'uscita più recente

6) CONTROLLO DIGITALE

WINDUP

NB: Il saturatore ha la "cornice" perché non è lineare.

Senza saturazione:

Con saturazione:

Nel blocco giallo, l'azione P e l'azione D diventano mano a mano trascurabili. L'azione I invece aumenta e produce un aumento anche di y(t) (dopo la linea gialla): WINDUP. y(t) si riazzererà solo quando l'azione integrale si sarà annullata (vedi area negativa dopo linea gialla).

NB: Il windup si può presentare anche senza azione I, accade perché il calcolato supera di molto l'applicata (che ha raggiunto un valore max dovuto alla saturazione).

ANTI WIND-UP: soluzione al windup

Si può fare in molti modi, noi ne abbiamo visti tre:

1. PI a TC "per feedback" dell'errore di attuazione

coep. azione Iazione I∫ azione I

in questo modo si riduce l'azione I proporzionalmente alla saturazione

• Tracking Time
• campanello di quanto è stato saturo lo u

deve essere scelto con cura:

• se troppo piccolo, allora si riduce troppo
• se troppo grande, si riduce troppo poco

2. PI a TC senza parametri aggiuntivi

se u non saturo => ingresso e uscita del blocco sono uguali:

U / E = ¹ / _{1 - ¹ / 1 + sTi}

= K ^{1 + sT_i} / _sTi

PI

se u saturo, l'anello si apre => non integratore => no windup

3) Regolatore a TD, realizzazione non minimale

u(k) = a₁u(k-1) + ... + a_mu(k-m) + b₀e(k-1) + ... + b_me(k-m)

R(z) =

• b₀ + b₁z^-1 + ... + b_mz^-m
• a₀ + a₁z^-1 + ... + a_mz^-m

Nota: m + m variabili di stato mentre R e' di ordine m.

4) Regolatore a TD in forma incrementale

Δu_k = u(k) - u(k-1) ⇒ ΔU_z = (1 - z^-1)U(z)

TRACKING

• TS (booleano) = TRACK SWITCH
• TR (numerico) = TRACK REFERENCE