appunti fondamenti di automatica

CONTROLLI AUTOMATICI

finalità: s'imporre un funzionamento desiderato ad un processo preesistente

SISTEMA

oggetto astratto orientato

non ci interessa la natura ma è modellis identificazione delle grandezze causa ed effetto

Descrizione di un sistema

• Ingresso - Uscita
  • eq. differenziale

• funz. di trasferimento

P(s) = () / () = an^n + an-1^(n-1) + ... + a0/ریل^ + pn-1^(m-1) + ... + p0

_il[±i]_j [±2j]_k ...

1. Regole generali per ottenere una descrizione I.S.U. di un sistema
   • 1) Scrivete l'argomento del problema
   • 2) Scrivete le cause
   • 3) Scrivete le uscite
   • 4) Scrivete gli elementi in termini dello stato X

equazione di stato

(¹ = . + .

= . + . (.e. io sistemo ,,, dovuto dal tempo))

CONTROLLO AUTOMATICO

finalità: si propone un funzionamento desiderato ad un processo assegnato

SISTEMA

oggetto astratto orientato

non si intuisce la natura ma si modellizza

identificazione delle grandezze causa ed effetto

Descrizione di un sistema

• Ingresso - Uscita
• eq differenziale

f(y_r", ..., y, u^(m), ..., u) = 0

• funz di trasferimento

P(s) = \(\frac{Y(s)}{U(s)}\) = \(\frac{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_0}{b_p s^p + b_{p-1} s^{p-1} + ... + b_0}\)

n ≥ m

• risposta armonica

P(jω) = \(\mu \left(\frac{\prod_{i} (jω + z_i)}{\prod_{j} (jω + p_i)}\right)\)

Regole generali per ottenere una descrizione I/S/U di un sistema

1. Sempre identificare i componenti del processo.
2. Separare le cause (grandezze di ingresso) dall'effetto (grandezze di uscita).
3. Scrivere le equazioni in termini delle variabili di stato X.

Ingresso - Stato - Uscita

modello (forso prado storico)

equazione di stato

trasformazione di uscita

\(\dot{x} = A \cdot x + B \cdot u\)

\(y = C \cdot x + D \cdot u\)

lineare stazionario(se i elementi A, B, C, D sono costanti nel tempo)

Classificazione dei sistemi

• Monovariabile (SISO) -> Singolo input singolo output Multivariabile (MIMO) -> Multiplo input multiplo output
• Statico -> sistema in cui il legame ingresso uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita al tempo T dipende solo del valore dell'ingresso al medesimo istante
• Dinamico -> sistema in cui il legame ingresso uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita al tempo T dipende da tutti i valori dell'ingresso (fino a "istante" t)
• Proprio -> L'uscita dipende direttamente dall'ingresso
• Strettamente proprio (o massimo fisicamente) -> L'uscita non dipende direttamente dall'ingresso, ma dipende da esso attraverso lo stato
• Invariabile nel tempo (o stazionario) -> La risposta del sistema ad un qualunque sollecitazione non dipende dal valore della sollecitazione stessa (f e g non dipendono esplicitamente dal tempo)
• Variabile nel tempo -> f o g dipendono del tempo
• Lineare -> Sistema in cui le funzioni f e g sono lineari in u e x, cioè quando per ogni x(t) e u(t) sono combinazioni lineari delle vari componenti dei vettori x(t) e u(t)
• Non lineare -> f e g non lineari in u e x
• A dimensione finita (o parametri concentrati) -> Sistema in cui lo stato, il tempo e l'uscita sono un numero di variabili finite e descritte mediante un numero limitato di equazioni scritte in forma normale dello stato
• A dimensione infinita -> Stato, altro di tempo ed uscita sono funzioni di più variabili e l'uscita è la soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali

Passaggio da una descrizione ad alfa

• Modello con spazio di stato -> Modello con eq. differenziale
• L -> Modello con funzione di trasferimento
• M -> Modello per risposta armonica

Equilibrio di un sistema

Uno stato di equilibrio è uno stato in cui il sistema, sollecitato da un ingresso costante, ha il valore nullo delle derivate dello stato e permarrà indefinitamente se vi si trova in un qualunque istante di tempo

x,u : f(x,y) = 0

Nota l'equazione, in un qualunque punto operativo y è costante perché non esistono variabili che possono esservi espresse con essa dentro variabili, e considerato esterno al sistema

Stabilità

• Stabilità dell'equilibrio

Uno stato di equilibrio è detto