Fondamenti di Automatica, Analisi

Analisi eq. alle differenze e differenziali

Considereremo sempre combinazioni lineari a coefficienti costanti:

• x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1)
• x(t+1) = Ax(k) + Bu(k) (2)

dove x(t) é una matrice n×1

u(t) é una matrice p×1 → Termini di forzamento

A é una matrice m×m

B é una matrice m×p

Nota: ∀ a_ii ≠ 0, allora ∃ λ: a_ij = λ a_ji = 0

Lavorando con matrici, assumono valore importante gli autovalori:

• Reali
  • Aℏ = λℏ
  • => autospazio di dim=1 contenente ∅
• Immaginari
  • A(ℏ_R + jℏ_C) = (α ± jω)(ℏ_R + ℏ_C)
  • => autospazio di dim=2 contenente ∅

Per comodità la matrice A avrà solo λ distinti.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Consideriamo di conoscere x₁(t₀) e u₁(t)

       e la soluzione di [A], x₁‘(t). Conoscendo anche

x₂(t₀), u₂(t)           t≥t₀ e x₂‘(t), prendo due valori

α e β e considero

      x“‘(t₀) = α x₁(t₀) + β x₂ (t₀)

      u“(t) = α u₁(t) + β u₂(t)        t ≥ t₀

posso dire che la soluzione

      x“(t) = α x₁(t) + β x₂(t)

Dim:

      Soddisfa le condizioni iniziali?

      x“(t = 0) = α x₁(t₀) + β x₂(t₀) = x“‘(t₀)

      soddisfa l’equazione iniziale?

      x“‘(t) = α x₁‘(t) + β x₁‘(t) = Δ x“(t) + B u“(t)

        = α Δ x₁(t) + β Δ x₁(t) + α B u₁(t) + β B u₂(t)

Ossia:

• CAUSE
• x₁(t₀)
• u₁(t)
• x₂(t₀)
• u₂(t)
• x₁(t₀), x₂(t₀)
• u₁(t), x₂(t)

• EFFETTO
• x₁(t)
• x₂(t)
• α x₁(t) + β x₂(t)

ẋ(t) = (⁰ 1^a -s⁾ x(t)   x₀ = ^{( 3 3})

pₐ(λ) = |λI - A| = | ^λ -1 ^{a λ -s} | = (λ + λ)(λ + a) = 0

λₐ = -λ   e   λ₂ = -a

• base dell'autospazio relativo a λₐ:

(^{a -1 a -s}) ^{(a b)} = (a b)

=> U₁ = (λ, -λ)

• base dell'autospazio relativo a λ₂:

=> U₂ = (-λ, a)

troviamo quindi

^{(3 3)} = C₁U₁ + C₂U₂ =   {

3 = C₁λ - C₂   { C₁ = S

3 = -C₁ + aC₂   { C₂ = 2

quindi la soluzione del sistema è:

x(t) = s (^{1 λ}) e^-t - 2 (^{1 -α}) e^-at

=> { x₁(t) = se^-t - 2e^-at

x₂(t) = -se^-t + 8e^-at

Se verifichi le condizioni iniziali e l'edo la soluzione è verificata.

dove

( ²/₅, ²/₅, -¹/₅ ) è il vettore vi normalizzato

e si nota che un λ = 1 e gli altri sono |λ| < 1

Calcola λ_i e v_i di

( 1 2 1 0 -2 0 1 3 1 )

p_A(λ) = (λ + 2) [(λ - 1)² + 1]

λ_1,2 = -2 λ₂ = -1 + j λ₃ = -1 - j

I relativi autovettori sono:

• λ_{λ = -2}: ( 1 2 1 0 -2 0 1 3 1 ) ( a b c ) = -2 ( a b c )
• λ_{λ = -2}: ( 1 2 1 0 -2 0 1 3 1 ) ( a + jd b + je c + jf ) = (1 + j) ( a + jd b + je c + jf )

x(k+1) = A * x(k)

Dato x₀, so che la soluzione è

x(k) = ∑ c_i * v_i * λ_i^k

dove v_i, λ_i^k e' il moto naturale.

• λ_i > λ :

x₀ = c_i * v_i

x(k) = c_i * v_i * λ_i^k = x₀ * λ_i^k ->

velocità di una sequenza geometrica

modo naturale divergente non alternato

• 0 < λ_i < λ :

modo naturale convergente non alterno.

• λ_i = λ : modo naturale costante non altern.
• λ_i < -λ : modo naturale divergente alternante

Supponiamo:

α > 0

moto naturale oscillante divergente

α < 0

moto naturale oscillante convergente

α = 0

moto naturale periodico

Metodo di calcolo:

\(\dot{x}(t) = A \times(t)\)

calcolo λ₁...λₘ autovalori reali associati agli autovettori _J1..._JM e α ± jω_S...d_S ± jω_S

autovalori complessi coniugati associati a _JR ± j_JAC..._JSR ± j_JSC Trovo C:

x_o = \(\sum_i=1ⁿ c_iJ_i + \sum_k=1^q (c_kR J_UR + c_kC J_kC)\)

Esercizio 29

Dato un sistema

_x(t) = ^{(2   -2)} _x(t)

               (1     0)

si vuole determinare se il sottospazio x₁-2x₂=0 è invariante del sistema.

Una z_etta per essere un sottospazio invariante deve essere associato a un autovalore di A

con sidera un vettore della z_etta: (2, 1)^T

^{(2   -2) (2)} = ⁽²⁾ α ⁽²⁾ => non è invariante

 (1     0)    (1)     (2)  (1)

Esercizio

Dato un sistema

_x(t) = ^{(-4   1)} _x(t)

         (2   -2)

si vuole determinare se il sottospazio x₁-x₂=0 è invariante del sistema.

se è invariante:

^{(-4   1) (1)} = ⁽⁰⁾ => è invariabile

   (2   -2)    (1)      (0)

quindi:

J_a = ^{(a b)}_{(1 0)} J_b = ^{(c d)}_{(–a 2)}

e dunque le componenti di x_o lungo J_a e J_b:

x_o = c_aJ_a + c_bJ_b = ^{(0 1)}_{(1 1)} = ^{(c_a - c_b)}_(2cb)

=> c_a = c_b = 1/2

e la soluzione è:

m = √(c_a² + c_b²) = 1/√2

ϕ: { senϕ = c_a/m = √2/2 cosϕ = c_b/m = √2/2 }

x(t) = 1/√2 e^-t [sen(t + π/4)^{(1 0)}_{(1 1)} + cos(t + π/4)^{(1 0)}_{(-1 2)}]

ossia

x(t) = ^{[1/√2 e-t sen(t + π/4) - cos(t + π/4)]} [1/√2 e^-t + 2cos(t + π/4)]