Fondamenti di Automatica, Analisi

Analisi eq alle differenze e differenziali

Considereremo sempre combinazioni lineari a coefficienti costanti:

x(t) = A x(t) + Bu(t) ₍₁₎x(t+1) = A x(t) + Bu(k) ₍₂₎

• dove x(t) é una matrice n x 1
• u(t) é una matrice p x 1 → Termini di forzama
• A é una matrice m x m
• B é una matrice m x p

Nota: se ∀α_ij≠0, allora ∃ λ = 1 | A℧ = ℧

Lavorando con matrici, assumono valore importante gli autovalori:

• Reali

  A℧ = λ℧=> autospazio di dim = 1 contenente ∅

• Immaginari

  A(℧_R + ≤ω)_C) = (α ± jω)(℧_R + ≤ω)_C)=> autospazio di dim = 2 contenente ∅

Per comodita' la matrice A avrá solo λ distinti.

Analisi eq. alle differenze e differenziali

Considereremo sempre combinazioni lineari a coefficienti costanti:

x(t) = A x(t) + B u(t) ₍₁₎

x (k+1) = A x(k) + B u(k) ₍₂₎

dove x(t) è una matrice nx1

u(t) è una matrice px1 -> termini di forzanti

A è una matrice mxm

B è una matrice mxp

Nota: se ∀ a_ij≠0 , allora ∃ λ=1 | A J = J

Lavorando con matrici, assumono valore importante gli autovalori:

• Reali

  A J = λ J

  => autospazio di dim=1 contenente ∅

• Immaginari

  A(J_R+j J_C)=(α±j ω)(J_R+J_C)

  => autospazio di dim=2 contenente ∅

Per comodità la matrice A avrà solo λ distinti.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Consideriamo di conoscere x¹(0) e u¹(t) ∀ t ≥ 0 e la soluzione di ( A | x¹(t) . Conoscendo anche x²(0), u²(t) ∀ t ≥ 0 e x²(t), prendo due valori α e β e considero

x³(0) = α x¹(0) + β x²(0)

u³(t) = α u¹(t) + β u²(t) ∀ t ≥ 0

posso dire che la soluzione

x³(t) = α x¹(t) + β x²(t)

Dim:

Soddisfa le condizioni iniziali?

x³(t = 0) = α x¹(0) + β x²(0) = x³(0)

soddisfa l'equazione iniziale?

x'³(t) = α x'¹(t) + β x'²(t) = A x¹(t) + B u¹(t)

= α A x¹(t) + β A x²(t) + α B u¹(t) + β B u²(t)

Ossia:

• CAUSE
• EFFETTO
• x¹(0)
• x¹(t)
• u¹(t)
• x²(t)
• x²(0)
• x³(t)
• u²(t)
• x¹(t), x²(t)
• α x¹(t) + β x²(t)

Per tale principio posso considerare la sovrapposizione di due problemi con caratteristiche particolari

Scompongo il seguente problema:

• x(0) = x_o
• u(t)

La soluzione dell'equazione omogenea è di:

• x_h(0) = x_o ≠ ∅
• u_h(t) = 0    ∀ t≥0

è detta evoluzione libera

La soluzione particolare deriva da:

• x_p(t) = 0
• u_p(t) = u(t)    ∀ t≥0

è detta evoluzione forzata

Quindi la soluzione di (*) è:

x(t) = x_e(t) + x_f(t)

dove x_e(t) deriva da:

• x(t) = A x(t)
• x(0) = x_o

e x_f(t) è soluzione di:

• x(t) = A x(t) + B u(t)
• x(0) = 0
• u(t)

EVOLUZIONE LIBERA x_e(t) (u(t)=0)

\(\dot{x}(t) = A x(t)\)

Hp.: la matrice A ha almeno un autovalore reale

∃ λ∈ℝ | p_A(λ)=0, A=λ

• x_o = c · ossia x_o è autospazio di

Allora:

\(\dot{x}(t) = A x(t) \Rightarrow x(t) = x{_o}e^{\frac{\lambda t}{c}}\)

Dim:

• verifichiamo le condizioni iniziali:
• x(t = 0) = x_o e⁰ = x_o = x(0)
• verifichiamo l'edo

x(t) = λ x_o e^{\(\lambda t\)}?

posso notare che

A · x_o e^{\(\lambda t\)} = A · c e^{\(\lambda t\)}

= c A e^{\(\lambda t\)} = λ c e^{\(\lambda t\)}

= λ x_o e^{\(\lambda t\)}

Ossia, se x_o sta nell'autospazio di , anche

la soluzione dell'edo appartiene all'autosp.

(l'evoluzione è divergente λ>0 o convergente λ