Fondamenti di Automatica - Analisi

A A

[ ] = ω

i i

calcolo della risposta forzata.

• L'equazione di stato che definisce la risposta forzata è:

x 1)=Ax k Bu , x

(k + ( )+ (k ) (0)=0

f f f

calcolandola in maniera esplicita l'espressione della risposta forzata sarà:

k−1

∑ (k−1−h)

x A Bu(k , k

(k )= ) ≥1

f h=0 u

Nel caso invece in cui la variabile indipendente assumi valori costanti (k )=u

e riscrivendo la sommatoria avremmo:

k

−1

x I A) B u

(k )=(I −A) ( −

f k

da cui per :

≥1

k−1

∑ h h

x A B u , A B evoluzione libera con x B

(k )= =

f 0

h=0

Se :

λ ≠1

i k

k −1 1−λ

∑ k i

λ =

i 1−λ

h=0 i

Se :

λ =1

i

k −1

∑ ih

λ =k

h=0

In generale: k

n 1−λ

∑ i

x c v u

(k )=

f i i

1−λ

i =1 i

✗ Nel caso in cui la variabile indipendente u(k) sia una sequenza qualsiasi si può

utilizzare il metodo della trasformata zeta.

∞

∑ f (z )

k=0

F z Questa funzione viene chiamata trasformata zeta della sequenza.

( ):= k

z

L'operazione che consiste nel passare dalla trasformata zeta al dominio temporale si

chiama anti-trasformata.

Proprietà della trasformata zeta:

- Linearità: la trasformata di una combinazione lineare di due funzioni è pari alla

combinazione lineare delle trasformate delle singole funzioni.

Z f k z

[ ( )]=F ( ) allora Z bg z)+ bG

[af (k )+ (k )]=aF ( (z )

Z g z

[ (k )]=G( )

- Anticipo: la trasformata di una sequenza anticipata di un passo è calcolabile come

un'operazione algebrica sulla trasformata della funzione stessa.

Z f k z : Z f 1)]=zF z f

[ ( )]=F ( ) [ (k + ( )− (0)

-Ritardo: −1

Z f k z : Z f F z

[ ( )]=F ( ) [ (k −1)]=z ( )

Calcolo della trasformata zeta:

f

{ (k )} f f 2) f k f k

∞

(1) ( ( ) ( )

∑ z=σ+ i

F f f .....+ , θ

[z ]=Z [ (k )]= (0)+ + + =

2 k k

z z z z

k =0

▪ Impulso unitario :

(δ(k ))

Z f k

[ ( )]=1

▪ k

Gradino unitario :

(δ ( ))

−1

{ 1 k ≥0

k

δ ( )=

−1 0 altrimenti

∞ 1 1 z

∑

F z

( )= = =

1 z−1

k

z 1−

k=0 z

▪ Rampa pendenza unitaria:

f , k

(k )=k ≥0

z

F z

( )= 2

(z−1)

▪ Parabola:

k (k −1)

f , k

(k )= ≥0

2

z

F z

( )= 3

(z−1)

▪ Serie geometrica:

k

f (k )=λ z

Z f k

[ ( )]= z−λ

▪ Serie geometrica con ritardo:

k−1

f (k )=λ 1

k−1

Z [λ ]= z −λ

Teorema del valore finale:

se una sequenza f(k) tende ad un valore costante sul lungo periodo quindi

lim f e F z f

∃ (k ) [ ]=Z [ (k )]

k ⇒+ ∞

allora tale valore si può calcolare come

z−1

lim f k F

( )=lim (z )

z

k z

⇒+ ∞ ⇒1

E' possibile ricavare l'espressione della trasformata zeta della risposta forzata:

{ x 1)= Ax Bu(k

(k + (k )+ )

y(k Du(k

)=Cx(k )+ )

applicando la trasformata zeta:

−1

x zI Bu( z

(z )=( −A) )

f −1

per il calcolo della risposta forzata è fondamentale conoscere la matrice :

zI

( −A)

n−1

A)

(zI −

−1

zI A)

( − = P (λ)

a

P

con polinomio caratteristico della matrice A che è pari a :

( λ)

a n n−1

P z)=α z z ......+ z

( + α + α + α =0

a n n−1 1 0

EQUILIBRI, STABILITA' e COMPORTAMENTO SUL

LUNGO PERIODO

Stati e coppie di equilibrio

➢ Un equilibrio in generale è uno stato del sistema che, in assenza di perturbazioni, rimane

costante al passare del tempo. x

DEF (Stato d' equilibrio) Uno stato si dice stato di equilibrio se l'evoluzione libera a

e

x x x x

partire da è costante e pari a , quindi o .

(t)=x (k )=x

e e l e l e

Nel caso invece che siano presenti anche variabili indipendenti che hanno andamenti

costanti nel tempo avremmo una coppia d'equilibrio.

x , u

DEF (Coppie d'equilibrio) Una coppia viene detta coppia di equilibrio se

[ ]

e e x

l'andamento delle variabili di stato è costante e pari a .

e

L'insieme di tutti gli stati d'equilibrio è un sottospazio dello spazio di stato. L'origine dello

spazio di stato è sempre uno stato di equilibrio del sistema.

Calcolo degli stati e delle coppie di equilibrio

➢ Caso sistemi a tempo continuo.

Affinché l'evoluzione libera sia costante la derivata dello stato deve essere nulla in ogni

istante di tempo:

x Ax

= =0

˙

e e x kerA

Quindi tutti gli stati di equilibrio fanno parte del nucleo (ker) della matrice A ,

∈

e

che contiene l'origine dato che è un sottospazio lineare.

detA≠0

Se la matrice risulta invertibile, ,allora l'unico stato d'equilibrio è l'origine.

Se la matrice è invertibile, non ha nessun autovalore pari a zero e quindi i modi naturali del

sistema sono convergenti, divergenti o periodici.

L'evoluzione a partire da uno stato di equilibrio rimane costante e pari allo stato

u

d'equilibrio stesso, se la variabile indipendente assume valore costante pari a .

e

Questo avviene se e solo se:

x Ax Bu x , u

ed una coppia è di equilibrio solo se vale questo.

= + =0 [ ]

˙

e e e e e x

Dato che la matrice A è invertibile esisterà una sola coppia di equilibrio e lo stato può

e

essere calcolata come:

−1

x Bu

=−A

e e

Caso sistemi a tempo discreto.

x k 1)= x

( + (k )=x ∀k

e

x Ax

quindi: =

e e

Allora gli stati di equilibrio fanno parte del nucleo (ker) della matrice I-A

x I A)

∈ker ( −

e

Calcolare lo stato di equilibrio corrisponde a calcolare se esiste l'autovettore relativo ad

un eventuale autovalore pari a uno.

Se la matrice A ha un autovalore pari a uno l'evoluzione libera rimarrà costante dato che il

modo naturale corrispondente è costante.

det I

Se la matrice A è invertibile , , allora l'unico stato di equilibrio è l'origine,

( −A)≠0

e non ha nessun autovalore pari a 1 e quindi i modi naturali sono convergenti, divergenti,

periodici o alternanti costanti.

La condizione di equilibrio per sistemi a tempo discreto la condizione di equilibrio è:

x Ax Bu

= +

e e e x

Se la matrice I-A è invertibile esiste una sola coppia di equilibrio e lo stato sarà:

e

−1

x I A) Bu

=( −

e e

Stabilità

➢ E' fondamentale stabilire se lo stato o la coppia di equilibrio sia stabile, cioè se il sistema

tende a tornare nella condizione di equilibrio quando se ne discosti temporaneamente.

DEF (Stato d'equilibrio):

x

Uno stato di equilibrio si dice asintoticamente stabile se l'evoluzione libera a partire

e

x x

da un qualsiasi tende a sul lungo periodo:

0 e

lim x x

(t)= ∀x

l e 0

t ⇒∞

lim x (k )=x ∀x

l e 0

l ⇒∞ x

Uno stato di equilibrio si dice instabile se esiste almeno uno stato iniziale a partire

e x

dal quale l'evoluzione libera si allontana indefinitamente da :

e

x : lim x

∣ ∣

∃ (t) =∞

0 l

t ⇒∞

x : lim x

∣ ∣

∃ (t) =∞

0 l

k ⇒∞

Uno stato di equilibrio che non è né asintoticamente stabile né instabile è detto

marginalmente stabile.

DEF (Coppia d'equilibrio):

x , u

Una coppia d'equilibrio si dice asintoticamente stabile se l'evoluzione a partire

[ ]

e e

x u

da un qualsiasi con un andamento costante delle variabili indipendenti tende a

0 e

x , u sul lungo periodo:

[ ]

e e

lim x x

(t)= ∀x

l e 0

t ⇒∞

lim x (k )=x ∀x

l e 0

l ⇒∞ x , u

Una coppia d'equilibrio si dice instabile se esiste almeno uno stato iniziale a

[ ]

e e

partire dal quale l'evoluzione corrispondente all'andamento costante della variabile

u x

indipendente si allontana sul lungo periodo indefinitamente da :

e e

x : lim x

∣ ∣

∃ (t) =∞

0 l

t ⇒∞

x : lim x

∣ ∣

∃ (t) =∞

0 l

k ⇒∞

Una coppia d'equilibrio che non è né asintoticamente stabile né instabile è detto

marginalmente stabile.

TEOREMA (Natura degli stati d'equilibrio dei sistemi lineari):

Dato un sistema lineare a tempo continuo o a tempo discreto tutti i suoi stati d'equilibrio

hanno l'origine dello spazio con la stessa proprietà di stabilità.

Se l'origine è uno stato d'equilibrio asintoticamente stabile allora qualsiasi stato iniziale

produrrà un evoluzione libera che tende all'origine sul lungo periodo.

Se l'origine è uno stato d'equilibrio instabile (marginalmente stabile) allora esiste un altro

stato di equilibrio che sia marginalmente stabile (instabile), infatti se uno dei due stati

d'equilibrio è instabile allora esiste uno stato iniziale che produrrà un evoluzione libera che

tende all'infinito sul lungo periodo.

TEOREMA(Natura delle coppie d'equilibrio):

Dato un sistema lineare a tempo continuo o a tempo discreto tutte le coppie d'equilibrio

hanno la stessa proprietà di stabilità dell'origine dello spazio di stato.

Se l'origine dello spazio di stato è asintoticamente stabile allora la generica coppia

x , u

d'equilibrio sarà asintoticamente stabile.

[ ]

e e

Allora è possibile definire un sistema asintoticamente stabile, instabile o marginalmente

stabile:

DEF Un sistema si dice asintoticamente stabile, instabile o marginalmente stabile se

l'origine dello spazio di stato è uno stato d'equilibrio rispettivamente asintoticamente

stabile, instabile o marginalmente stabile.

Criteri di stabilità

➢ • Criteri di stabilità per sistemi a tempo continuo

Un sistema lineare a tempo continuo è: 0

1. asintoticamente stabile se e solo se autovalore della matrice A