Fondamenti di Automatica - Analisi

2° PARTE ANALISI

Principio di sovrapposizione degli effetti

ẋ Ax(t Bu( t) sistema dinamico lineare invariante a tempo continuo

(t) = )+

i

x k 1) Ax Bu sistema dinamico lineare invariante a tempo discreto

( + = (k )+ (k )

L'effetto combinato di più cause è pari alla somma degli effetti prodotti dalle singole cause, quindi

avviene la decomposizione della soluzione in due soluzioni particolari: una che dipende

esclusivamente dalle condizioni iniziali e l'altra che dipende dal solo andamento della variabile

indipendente.

TEOREMA(evoluzione libera e risposta forzata)

Dato un sistema dinamico lineare invariante a tempo continuo/discreto si chiama evoluzione libera

x o x u

la soluzione corrispondente al caso in cui la variabile indipendente sia

(t) (k ) (t )

l l x o x k

nulla e lo stato iniziale x(0) sia quello assegnato. Si chiama risposta forzata la

(t ) ( )

f f

soluzione corrispondente al caso in cui lo stato iniziale x(0) sia nullo e la variabile indipendente

u(t) abbia l'andamento assegnato. x x x

(t) = (t)+ (t)

l f

x k x x

( ) = (k )+ (k )

l f

-sistemi dinamici lineari invarianti a tempo continuo

calcolo dell'evoluzione libera.

•  Ha almeno un autovalore reale λ i

x v v

, autovettore relativo all'autovalore

=c λ

0 i i i i

soluzione evoluzione libera:

t

λ

x t) x e

( = i

l 0

0

se soluzione convergente (all'aumentare di t la soluzione tende a zero ad

λ <

i una velocità esponenziale )

0

se soluzione divergente

λ >

i

se soluzione costante

λ =0

i

 Ha tutti autovalori reali e distinti

x può stare ovunque

0

Gli autovettori associati agli autovalori sono n e tutti linearmente indipendenti tra

di loro e formano una base n-dimensionale del sottospazio.

n

∑

x c v

=

0 i i

1

La soluzione è data dalla somma delle soluzioni associate a queste condizioni:

n

∑ t

λ

x c v e

= i

t i i

1

x(t), quindi, è la combinazione lineare dei modi naturali. 1

L'inverso degli autovalori reali negativi con il segno cambiato prende il

τ =−

i λ i

t

λ

nome di costante di tempo del modo naturale e v

i i

 Autovalori complessi e distinti

v

α±iβ ±iv

a b

ad una coppia di autovalori complessi coniugati è associata una coppia di

autovettori complessi coniugati.

x v c v

=c +

0 a a b b

in questo caso l' evoluzione libera sarà:

t

α [ ]

x sen t+ cos(ω t+

(t)=me (ω φ )v + φ )v

l a b

√ 2 2

m= c c

con ,ossia il modulo

+

a b {

{ c

c a

a arctan se c

sen ≥0

φ = b

c

m

φ= φ= b

c c

b a

cos arctan se c 0

φ = + π <

b

m c b

0

se la traiettoria è una spirale che va all'infinito

α> 0

se la traiettoria è una spirale che va a zero

α<

se la traiettoria è circolare costante

α=0

un'evoluzione libera che si origina nell'auto-spazio generato dai vettori parte reale e

parte immaginaria dell'autovettore complesso, resta confinata in tale sottospazio per

ogni t, tale auto-spazio è detto sottospazio invariante per la dinamica del sistema.

1

0

Se si definisce una costante di tempo che rappresenta la

τ =−

α< k λ k

costante di tempo della legge temporale relativa all'inviluppo dell'ampiezza della

sinusoide.

L'espressione generale dell'evoluzione libera sarà:

μ ν

t t

λ α

∑ ∑ [ ]

x c v e me sen t+ v cos( t+

(t)= + (ω φ ) + ω φ )v

i

l i i a b

1 1

μ ν

∑ ∑

x c v v c v

= + (c + )

0 i i ka ka kb kb

i k

=1 =1 k k

∞ A t

∑

At

Esponenziale di matrice : e := k!

k =0

calcolo della risposta forzata.

• La risposta forzata è per definizione:

t A(t−

∫ τ)

e Bu( τ)d τ

0

nel caso in cui la variabile indipendente assuma valori costanti u(t)=u(costante):

t

∫ A A

φ φ

e Bd u , e B=evoluzione libera con x

φ =t −τ

φ (0)=B

0

allora dopo aver calcolato gli autovalori e gli autovettori sappiamo che:

1. se vale:

λ ≠0

i

t 1

∫ λ φ λt

e d φ = (e −1)

α

0

2. se vale:

λ =0

i

t

∫ d φ =t

0

-sistemi dinamici lineari invarianti a tempo discreto

calcolo dell'evoluzione libera.

•  Ha almeno un autovalore reale λ i

x v v

, autovettore corrispondente al autovalore

=c λ

0 i i i i

allora l'evoluzione libera è:

ik

x v

(k )=c λ

l i i

 Ha tutti autovalori reali e distinti

x si può scrivere come combinazione lineare degli autovettori:

0 n

∑

x c v

=

0 i i

1

e la soluzione sarà:

n

∑ ik v

, e rispettivamente gli autovalori e gli autovettori di A

x c v

(k )= λ λ i

l i i i

i=1

{ {

convergente 1 0 alternante

λ ∣< λ <

∣ i i

k (grafici sul quaderno)

v divergente 1

λ = 0 non alternante

λ ∣> λ >

∣

i i i i

costante costante

λ ∣=1 λ =0

∣ i i

L'inverso del logaritmo naturale del modulo degli autovalori in modulo minori

1

dell'unità e con il segno cambiato prende il nome di costante di

χ =−

i ln ∣λ ∣

i

k

contrazione del modo naturale v

λ i i

 Autovalori complessi e distinti

v

α±iβ ±iv

a b

x v c v

=c +

0 a a b b

l' evoluzione libe