Fondamenti di Automatica

Martina Contestabile Ingegneria Informatica — II anno A.A. 2021/22

Fondamenti di Automatica

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Martina Contestabile Ingegneria Informatica — II anno A.A. 2021/22

Introduzione al corso 5

Contenuti del corso 6

Esempio — Scambiatore di calore 6

Esempio — Rotaia e carrellino 6

Un passo avanti 6

Capitoli del corso 7

Esempio preliminare 8

Capitolo 0 — sistemi matematici 13

Sistema 13

Movimento, traiettoria ed equilibrio 13

Esempio — Il sistema pendolo 14

Sistema sico e sistema matematico 14

Sistemi dinamici lineari 14

Movimento nelle equazioni di erenziali lineari 16

Cos’è un integrale di convoluzione? 17

Cambiamento di base 17

Esempio 18

Movimento dei sistemi lineari 19

Esempio 20

Nota sui modi 20

Teorema di Jordan 22

Movimento forzato 23

Linearizzazione 24

Capitolo 1 — Stabilità 25

De nizione di stabilità 26

Esempio 29

Teorema del criterio degli autovalori 32

Esercizio 32

Esercizio 33

Criterio di Routh 35

Interconnessione di sistemi 36

Interconnessione Serie - Cascata 36

Interconnessione Parallelo 38

Interconnessione Retroazione 38

Stabilità dell’equilibrio nei sistemi non lineari 43

Teorema 1 43

Teorema 2 45

Esercizio 45

Esempio 46

Stabilizzazione del pendolo inverso 48

2

fi fi ff

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Capitolo 2 — Proprietà strutturali 51

Raggiungibilità 51

De nizione di stato raggiungibile 52

Teorema 54

De nizione 54

Criterio per il calcolo del sottospazio di raggiungibilità 56

Digressione nozionistica 56

Criterio per il calcolo del sottospazio di raggiungibilità 57

Giusti cazione intuitiva del criterio 58

Scomposizione (canonica) di Kalman per la raggiungibilità 59

Osservabilità 65

De nizione 65

Teorema 67

Esempio 67

Esempio 68

De nizione 69

Algoritmo per il calcolo di dello spazio di osservabilità 69

Esercizio 70

Forma (canonica) di Kalman per l’osservabilità 72

Capitolo 3 — Funzioni di trasferimento 75

Trasformata notevole 76

Funzioni di trasferimento 77

Funzione di trasferimento per sistemi interconnessi 79

Sistemi in serie 79

Sistemi in parallelo 80

Retroazione 80

Teorema 86

Corollario 88

Calcolo dell’uscita attraverso la funzione di trasferimento 88

Funzioni 1° ordine 88

Teorema del valore nale 90

Teorema del valore iniziale 90

Funzioni 2° ordine 90

Capitolo 4 — Teoria della Risposta in Frequenza 97

Teorema della Risposta in Frequenza 100

Corollario 101

Esempio 101

Dimostrazione del teorema della risposta in frequenza 105

Rappresentazione gra ca di G( iω ) 108

Diagramma di Bode del modulo 108

3

fi

fi

fi

fi fi fi fi

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Diagramma di Bode della fase 113

Diagramma polare e diagramma di Nyquist 115

Capitolo 5 — Controllo 118

Stabilità del sistema di controllo 123

Criterio di Nyquist 129

Enunciato 129

Esercizio di comprensione 129

Dimostrazione 131

Criterio di Bode 136

Enunciato 137

Prestazioni statiche 139

Prestazioni dinamiche — Comportamento in transitorio 147

Come si approssima l’anello chiuso quando il margine di fase è inferiore a settanta gradi? 158

Riassumendo 160

Sintesi del Controllore 162

Esempio del carrello 162

Esempio 168

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INTRODUZIONE AL CORSO

Questo corso introduce al cosiddetto «approccio sistemistico» dell’ingegneria.

La parola chiave da analizzare è sistemistico, aggettivo che si riferisce al sostantivo sistema.

Un sistema è una qualsiasi porzione della realtà vista come a sé stante, a prescindere da ciò che

la circonda, e interagente con il resto del mondo. Ad esempio, consideriamo un sistema idrico

adibito alla produzione di energia elettrica, c’è un bacino principale ed uno secondario che svolge

il ruolo di bacino di ripristino. Questi due bacini sono due «pezzi» che interagiscono fra loro

creando un sistema complesso.

L’approccio sistemistico prevede che una parte di essa possa essere analizzata a parte.

Dipende dal punto di vista che analizziamo. Se potessimo comprendere la realtà con uno solo

sguardo, allora tale approccio sarebbe inutile.

L’ingegnere, quando lavora, spezza il problema in più parti, ma lo deve analizzare

necessariamente nel suo ambiente totale, pena un’analisi errata.

Quindi, l’approccio sistemistico si basa su due elementi, ovvero sistemi e interazioni.

Questo corso è altamente metodologico e formativo. Esso fornisce basi a livello di idee e principi

fondamentali. Le cose da imparare mnemonicamente sono quasi nulle.

Vengono insegnati i mezzi per analizzare la realtà e plasmarla secondo i nostri obiettivi per mezzo

dell’analisi dei sistemi e delle iterazioni.

Lo studio della teoria dei sistemi nell’ingegneria moderna viene fatta attraverso i sistemi

matematici. Ciò signi ca che c’è un passo fondamentale verso l’astrazione, in cui un sistema non

viene studiato non solo nella sua condizione fenomenologica e sica, ma quasi totalmente nel

sistema matematico dal punto di vista sistemistico, evidenziando le proprietà fondamentali che

caratterizzano il sistema analizzato, in modo tale da permettere all’ingegnere di far fare al sistema

ciò che per lui è più congeniale. 5

fi fi

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CONTENUTI DEL CORSO

Il sistema è una qualunque porzione della realtà vista come a sé

stante e interagente con il resto del mondo. Ci sono delle

interazioni (ingressi) sul sistema che generano degli output

(uscite).

Gli ingressi, per esser tali, devono soddisfare queste proprietà:

Essere de niti nel mondo esterno.

Deve in uenzare il sistema.

Le uscite, invece, hanno caratterizzazioni duali, in quanto, per essere

tali, il loro valore deve essere de nito dal sistema ed in uenzare il

mondo esterno.

Esempio — Scambiatore di calore

p T

L’acqua arriva ad una portata e temperatura d’ingresso.

i i

Entra e percorre il tubo, modi cando le sue caratteristiche T

termodinamiche. L’ambiente esterno è ad una temperatura .

e

Determino i «con ni geogra ci», ovvero il sistema è lo scambiatore.

Quali sono ingessi ed uscite?

p

L’ingresso è la portata , che in uenza il comportamento

i

del sistema stesso. Infatti, se la portata è bassa, la

temperatura della serpentina è più bassa. Altri ingressi

T T

sono la temperatura interna e quella esterna .

i e

Quest’ultima, è importantissima, perché la temperatura

T

della stanza in uenza considerevolmente il sistema e

e

come si approccia poi ad elaborare l’output.

ATTENZIONE Non confondere il concetto ingresso con T

qualcosa che entra sicamente nel sistema. Come si vede in quest’esempio, e

non fa parte del sistema.

Le uscite, invece, sono l’energia e la temperatura d’uscita.

Esempio — Rotaia e carrellino

C’è una rotaia su cui si muove un carrellino, sul quale agisce una forza

⃗ ⃗

F F

e una . Queste due forze sono ingressi stabiliti dal mondo

1 2

esterno e che agiscono sul sistema. Ipotizzo che, a ne binario, sia

presente con un muro e una molla parallela al binario. Quando il

carrellino tocca la molla, torna indietro.

Qui entra in gioco la soggettività: cos’è sistema e cosa no?

Considero come sistema il carrello-molla. L’unica variabile del mondo esterno è

⃗ ⃗

F F

, fa parte del sistema. Invece, se ho due sistemi, uno è il carrello e l’altro

1 2

la molla, si avrà che il carrello esercita un’azione sulla molla, fa parte del resto

del mondo. Quindi, siamo arrivati ad avere un unico sistema, avente al suo interno i sistemi

⃗

F

carrello e molla. L’unico input esistente è .

1

Un passo avanti

A anco del sistema sico vi è il sistema matematico, volgarmente detto anche modello.

x(t)

Considerando l’esempio precedente, se prendo e derivo due volte, ottengo velocità ed

2

∂

m x(t) = f (t) − m x(t)

accelerazione. Alla ne, si ottiene che .

1

∂t 2

L’equazione di erenziale è il modello, cioè descrittore dei comportamenti del sistema sico.

Ma cosa signi ca davvero descrittore? Tale parola potrebbe essere sostituita con il termine

contenitore, perché descrive meglio ciò che davvero è un modello.

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fi fl fi fi ff fi fl fi fi fi fi fl

fi fi fi fl fi

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x

La relazione di erenziale è non banale, in quanto, prendendo un andamento a caso di ed uno di

f , può succedere che non siano in relazione. Invece, il sistema ammette esclusivamente coppie

che stanno all’interno del modello. Fuori da esso, non si ha soluzione.

Di comportamenti, infatti, all’interno del modello ce ne sono tanti, per questo è un contenitore.

A cosa serve, però? Si immagini che si vuole sapere cosa fa il sistema quando il carrello schiaccia

f

la molla e sul carrello si applica una forza , che tira la molla? Sto estraendo dal contenitore un

1

punto particolare. Quindi, alla ne, il modello matematico serve ad ottenere comportamenti del

sistema sico senza operare realmente su di esso.

Questo è fondamentale per almeno due ragioni. La prima è che spesso è impossibile, per via di

costi, pericoli, impossibilità materiali e siche, agire sul sistema ed analizzarne il comportamento.

La seconda, invece, è che il sistema sico nemmeno esiste. L’ingegnere è colui che progetta

sistemi, il modo di operare si ribalta, il sistema deve essere creato.

Considero ora un sistema sico che è costituito da un circuito dotato di condensatore ed

x x i

induttanza, le due tensioni e e come input la corrente .

1 2

Il suo modello matematico è ∂

i = C x + x

1 2

∂t

∂

x = L x

1 2

∂t C

Derivando la seconda equazione e moltiplicandola per si ottiene

2

∂ ∂

C x = CL x

1 2

∂t ∂t 2

e, sostituendo nella prima equazione, si ha che

( )

2

∂

i = x CL + 1

2 ∂t 2

Quindi, due oggetti sici completamente di erenti, carrellino e circuito elettrico, collassano in un

solo sistema matematico.

Questa è la teoria dei sistemi, che ha un potere uni cante unico nel suo genere, in quanto classi di

sistemi descrivono sistemi sici completamente di erenti fra loro.

Capitoli del corso

Il corso studia i sistemi, la parte più grossa del corso, e il controllo.

Immagino di avere un sistema sico iniziale, dotato di due input e

un’output. Vorrei che tale sistema operi in un certo modo, ma non lo

fa. Introduco un nuovo sistema, il controllore, che viene posto ad

interagire con il sistema iniziale e l’obiettivo del complesso dei due è

ottenere il risultato desiderato. Concettualmente, il controllore può

agire il sistema, per de nizione, esclusivamente sugli ingressi, deve

essere manipolabile. Il sistema sico ansime al sistema controllore forma il sistema di controllo.

Nella sezione dei sistemi studiamo i sistemi nella loro generalità, mentre nell’ultimo terzo del corso

i sistemi di controllo. La tecnologia del controllo è nascosta rispetto ad altre, perché asservita ad

un funzionamento. Tuttavia, non esiste creato e/o regolato dall’uomo che non sia regolato, cioè

che non sia costituito da sistemi di controllo.

Argomento Sistemi Controllo

Capitolo 1 Stabilità. Stabilità.

Capitolo 2 Proprietà strutturali — raggiungibilità, Prestazioni — statiche e dinamiche.

osservabilità. 7

fi ff fi fi fi fi fi fi fi fi fi ff ff fi

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Argomento Sistemi Controllo

Capitolo 3 Funzioni di trasferimento. Sintesi del controllore

Capitolo 4 Risposta in frequenza.

Analisi

1. Stabilità Ipotizzo di perturbare il sistema, in quale modo è in grado di

assorbire la perturbazione? Dopo quanto dimentica la

perturbazione?

2. Proprietà strutturali Il sistema ha all’interno delle variabili dette «di stato». Lo stato

interno si modi ca sotto l’azione delle esterne. Questo capitolo

u y

studia il legame fra le tre variabili, cioè ingresso , uscita e stato

x u x x

. La raggiungibilità si occupa di e , mentre l’osservabilità di e

y y

. Il valore che assume istante per istante la dipende da cosa

succede nel sistema, non porta una sola informazione, ma è una

funzione che varia nel tempo. Non è detto che una sola uscita non

riesca a ricostruire lo stato nel tempo al variare delle variabili di

x

stato .

i

x y

3. Funzioni di La è un mezzo per comprendere i cambiamento della .

u y

trasferimento Non esiste un oggetto matematico che lega e per

studiarle direttamente?

4. Risposta di frequenza Fourier ci spiega che qualsiasi segnale, anche discontinuo, può

essere visto come somma di sinusoidi e, capendo qual è una

risposta di un sistema alle sinusoidi, allora si è compreso il suo

funzionamento e ettivo.

Sintesi

5. Stabilità Studio della stabilità del sistema di controllo. Quando si crea un

controllore si ha come obiettivo la stabilità. Piccole variazioni, però,

danno luogo a grandi e etti. Un sistema di controllo deve per forza

essere stabile, altrimenti non funziona.

6. Prestazioni Un sistema, oltre ad essere stabile, deve anche comportarsi come

previsto. Questo capitolo si occupa di come ottenere le prestazioni

desiderate. Le prestazioni statiche studiano un istante, mentre le

dinamiche il transitorio.

Esempio preliminare h

Immaginiamo una vasca con acqua al livello e due condotti che immettono acqua nella vasca

stessa. Inoltre, esiste un condotto in cui l’acqua de uisce dalla vasca.

q q d

Questo è un sistema sico dotato di portata e come variabili d’ingresso. è disturbo, perché

i d

i h

non la controlliamo, mentre è gestita da noi. L’output è il livello , variabile che si modi ca nel

A

tempo. L’area di base del serbatoio è . Il bilancio di massa dice che

d Ah(t) = q + q − q

i d u

dt

q q

con portata di uscita. Questo non è ancora il modello matematico, perché non è un

u u

ingresso, ma viene determinata dal livello. La di erenza di pressione viene determinata dal livello

q q (h)

di liquido. Il valore di non viene stabilita dall’esterno. Quindi, dobbiamo esprimerla come ,

u u

q

in quanto la dipendenza è quadratica. Decido che sia una relazione lineare nell’altezza, ovvero

u

q = αh

u 8

fi ff fi ff ff fl fi

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Di conseguenza, abbiamo che d Ah(t) = q (t) + q (t) − αh

i d

dt

A, α ∈ ℝ 1

che è il modello matematico, con , per semplicità ora le considero pari ad

·

⇒ h(t) = q (t) + q (t) − h(t)

i d

Questo modellino è un contenitore di comportamenti, con esso posso prevedere come il mio

bacino si comporta in base agli input inviati. ·

h(0) q (t) = 1 q (t) = 0 h(t) = 1 + 0 − h

Ipotizzo di avere , e . Integrando il di erenziale, diventa

i d −t

h(t) = e c + 1

h(0)

Calcolando , ottengo h(0) = c + 1 ⇒ c = h(0) − 1

−t −t

h(t) = e h(0) + (1 − e )

h(0) = 0.5

Se il valore , si ha che l’acqua che esce supera quella che entra, quindi il sistema

h(0) = 1

tende a svuotarsi. Invece, se , si giunge ad una sorta di equilibrio. Ciò è visibile se si

h(t)

disegna il gra co di e ettuando le opportune sostituzioni.

A

Lo stato iniziale, quindi, dipende da e da quello che è accaduto prima al sistema, non si può,

però, sapere in che modo si è creata quella situazione. Lo stato iniziale, per questo motivo, è un

sunto, permette di esprimere sinteticamente ciò che è accaduto in passato.

E cace vuol dire che il sunto è su cientemente informativo al ne di calcolare l’informazione

futura al ne di calcolare ciò che è necessario.

Nei sistemi reali, passato e futuro sono legati, c’è una dinamica, un legame. Se noi creiamo una

barriera fra passato e futuro, quest’ultimo dipenderà da un sunto del passato, un riassunto,

ovvero lo stato iniziale.

In questo modellino, la perturbazione tende sempre a riassorbirsi [ gra co ]. Il motivo è che il

sistema è stabile, dimentica le perturbazioni.

Il sistema di controllo nasce dal desiderio di far fare qualcosa al mio sistema.

d

Essendoci un disturbo , il mio sistema non funziona come vorrei. Di conseguenza, serve creare

un nuovo sistema, il sistema di controllo, che mi permetta di ottenere i risultati che desidero. h

Ipotizzo di avere un sensore che controlli il livello e un controllore che permette di inserire quale

q

voglio e, di conseguenza, regolare .

i

I dettagli tecnologici non ci interessano, vogliamo sapere esclusivamente la sua funzionalità.

q h h̄

L’insieme di sistema bacino e il controllore, pilota e riceve e , ovvero il livello desiderato, è il

i

cosiddetto sistema di controllo. Il sistema di controllo consente il mantenimento del livello

h̄ d

desidera