Fondamenti di Automatica

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à Ã11 12à = 0 à 22b̃e lo stesso vale per ⋆⋆⋮b̃ = 00b̃ c̃Quando moltiplichiamo e , questo prodotto esce necessariamente[ ]b̃ c̃b̃ c̃ = 10AEd è interessante, perché la matrice diventa [ ][ ]à à − b̃ c̃11 12 10 à 022A = [ ]b̃ c̃ Ā10 64fl ff ffi flMartina Contestabile Ingegneria Informatica — II anno A.A. 2021/22Ãe nella riga inferiore della parte superiore della matrice l’unico valore diverso da zero è .22A 3 × 3 det(λ I − A)Immaginiamo di avere una . Se calcoliamo gli autovalori, , quando vienesviluppato sulla riga in questione, viene det(λ I − à )22 det(λ I − à )La conclusione di questo discorso è che quando eguagliamo a zero , questo primo22Ãtermine che fattorizza annulla il prodotto, perciò rimane un autovalore del sistema22retroazionato qualsiasi sia la retroazione. abbiamo appena scoperto che gli autovalori della parteà è

l'autodinamica della parte non raggiungibile, gli autovalori della parte non raggiungibile non si possono modificare. Il piano di Gauss contiene gli autovalori, ma non tutti questi autovalori sono uguali nella loro natura: quelli della parte raggiungibile sono modificabili per retroazione, mentre quelli restanti sono della parte non raggiungibile e rimangono dove sono, sono inamovibili. Tuttavia, niente è impossibile. Infatti, quel modo non raggiungibile dall'ingresso considerato potrebbe diventare raggiungibile se si considera un ingresso differente.

Abbiamo visto che gli autovalori della parte non raggiungibile sono inamovibili. Ma quindi, quelli della parte raggiungibile possono muoversi di quanto? Questi autovalori possono essere modificati arbitrariamente pur di avere un'uscita abbastanza informativa. Esiste una teoria che specifica in quale maniera avviene, ma non viene trattato in questo corso.

Rudolf Emil Kalman prese le equazioni differenziali ordinarie, che ormai

si studiavano da tempo ele reinterpretò come sistemi ed inizio a porsi domande tipo quella della raggiungibilità. La , che no ad allora era il termine noto, con lui diventò la variabile di scelta, si inizia a parlare diretroazioni, controllo… da lì in poi il mondo non fu più quello di prima, perché lui guardò con occhi nuovi delle cose vecchie. Kalman è anche l’inventore del filtro di Kalman, che sta alla base di tutta la teoria moderna dei sistemi dinamici incerti. Prende idee che provengono dalla teoria della probabilità e le applica per creare il soft sensor, un sensore non fisico che, misurata l’uscita, permette di descrivere cosa accade all’interno di un sistema. Questa è una tecnologia abilitante verso moltissimi sistemi che oggi ci circondano, come il GPS. Kalman non è un vero matematico, ma uno scienziato che applicava la matematica. Osservabilità Nozione inventata da Kalman e

concettualmente diversa da quella di raggiungibilità, tuttavia simile a livello di algebra delle matrici. x y yC'è un sistema con un suo stato, il legame fra e è studiato dall'osservabilità. Pensiamo adcome ad una finestra verso l'esterno. In che misura questa finestra veicola all'esternoxinformazione utile per ricostruire ? Questa domanda è utile ogni volta che si fa monitoraggio oretroazione.

Definizione

Uno stato si dice non osservabile se capita che l'uscita che corrisponde a quello stato iniziale, quando ci sia un'evoluzione libera, è sempre zero.

Nello spazio di stato c'è un vettore e un sottospazio di tutti iTcpunti ortogonali a , ossia il "sottospazio invisibile"c ⋅ x =0( ) TTc x = 0x̄

Uno stato è non osservabile quando tutta l'evoluzione libera si trova in quel sottospazio, quindi y = 0 per tutto il tempo. In matematichese si esprime comey = cL x̄ ≡ 0

∀t65fi fi fi fi fi fi fi fi ff fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica — II anno A.A. 2021/22x̄

Se questo succede, si dice che lo stato è non osservabile. Se il sistema all'inizio fosse stato conx(0) = 0 y = 0stato iniziale e senza ingresso, l’uscita sarebbe stata .È non osservabile se non riusciamo a distinguere queste due condizioni.y = 0 ∀tA nché l’uscita sia , lungo la sua evoluzione lo stato deve sempre dare uscita zero,dunque per ogni istante temporale deve appartenere al sottospazio invisibile.x̄A nché sia non osservabile, si deve avere sottospaziox̄ ∈ invisibile x(0) ∈Non è su ciente, però, perché può essere che si parta da , ma doposottospazio invisibileun po si esca, quindi viola la condizione di non osservabilità. TcRiassumendo, ciò che si vede verso l’uscita è ciò che sta nella direzione di , se non

c'è un componente rispetto, l'uscita è zero. Perché un punto sia non osservabile vuol dire che a partire da esso, per ogni istante di tempo lungo l'evoluzione rimane ortogonale a, si rimane nel sottospazio invisibile. Prendiamo due punti e. Supponiamo di alimentare un sistema con un ingresso a piacere. Il sistema può essere inizialmente in oppure in, noi non lo sappiamo. È un problema di ricostruzione dello stato fra due possibilità. Possiamo scegliere la e guardare la corrispondente. La domanda è quando questo problema è risolubile, ossia quando capita che, lavorando sull'esterno e raccogliendo la si possa discernere fra gli stati e. La risposta è semplice: y = cL x̄ + x1 1 f y = cL x̄ + x2 1 f y = cL x̄ + x1 2 f y = cL x̄ + x2 2 Se è uguale a qualunque sia la forzante.

non potremmo mai distinguere fra gli stati e .1 2 1 2Dire due cose sono uguali signi ca dire che la loro di erenza è zero, ossiay − y ≡ 01 2cL(x̄ − x̄ ) ≡ 01 2x̄ − x̄ = x̄Questa condizione dice che è non osservabile.1 2Immaginiamo di avere una rete elettrica con due condensatori e dei morsetti d’ingresso, possiamou yinserire una in corrente, mentre da altri due morsetti da cui leggiamo l’uscita . Se noiscopriamo che uno stato [ ]1x̄ = 2 V = 1V V = 2Vè non osservabile, cioè se carichiamo il primo condensatore con e il1C 2Cmovimento libero dà un’uscita a tensione zero. Se si hanno due stati66ffiffi ffi fi ffMartina Contestabile Ingegneria Informatica — II anno A.A. 2021/22[ ] [ ]7 6x̄ ∧ x̄ =1 24 2x̄ − x̄ = x̄si ha , quindi l’uscita generata dal primo caso e dal secondo è la medesima qualsiasi1 2sia la condizione iniziale. Se in un sistema ci sono stati non osservabili,

il loro risultato sarà sempre zero. Questo significa che non possiamo distinguere tra questi due stati in base all'uscita che producono. Pertanto, possiamo considerare questi stati come indistinguibili. Possiamo quindi definire un insieme di stati non osservabili come l'insieme di tutti gli stati che sono indistinguibili tra loro in base all'uscita che producono. Un teorema importante è che questo insieme di stati non osservabili è un sottospazio vettoriale, ossia è chiuso rispetto alla somma e al prodotto con uno scalare. Dimostrazione: Supponiamo che uno stato x̄ sia non osservabile. Prendiamo un qualsiasi scalare α ∈ ℝ e consideriamo αx̄. Per dimostrare che αx̄ è non osservabile, dobbiamo verificare che la definizione di non osservabilità sia soddisfatta. αcL x̄ = α(cL x̄) (per la proprietà associativa della moltiplicazione scalare) = α(0) (poiché x̄ è non osservabile, quindi cL x̄ = 0) = 0 Allo stesso modo, prendiamo due stati non osservabili x̄1 e x̄2. Consideriamo la somma cL x̄1 + cL x̄2. cL x̄1 + cL x̄2 = cL (x̄1 + x̄2) (per la proprietà distributiva della moltiplicazione scalare rispetto alla somma vettoriale) = cL (0) (poiché x̄1 e x̄2 sono non osservabili, quindi x̄1 + x̄2 = 0) = 0 In conclusione, abbiamo dimostrato che l'insieme di stati non osservabili è chiuso rispetto alla somma e al prodotto con uno scalare, quindi è un sottospazio vettoriale.

Partendo dalla loro somma si sviluppa un'uscita che è somma delle due uscite per linearità e la loro somma vale zero.

L'insieme dei punti, come abbiamo dimostrato, è un sottospazio. Il sottospazio non osservabile si trova dentro al sottospazio invisibile X ⊆ sottospazio invisibile.

x̄ ∉ sottospazio invisibile perché se prendiamo un e diciamo che non è osservabile, partendo dall'istante iniziale l'uscita è non nulla, ma ciò non va bene, perché l'uscita deve essere nulla in ogni istante.

Viene il dubbio che sia un sottoinsieme proprio, infatti spesso così capita: il sottospazio invisibile è grande e quello non osservabile è piccolo, talvolta talmente piccolo da coincidere con l'origine.

Esempio: { x = x + u1, 2x = -x^2, 2y = x^2, c = [0 1] }

Il vettore, quindi si ha che 67fi fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica — II

anno A.A. 2021/22

[ ]0Tc = 1Tc

Il sottospazio invisibile è ortogonale a [ ]2x̄ = 0[ ]2y = [0 ] ⋅ =01 0x̄ x̄

Supponiamo di avere come stato iniziale. Come evolve liberamente il sistema a partire da ?x̄

Noi, data una condizione iniziale che sta sul sottospazio invisibile, abbiamo che la condizione iniziale è pari a zero x (0) = 0

2 x = 0

Se integrato l'equazione differenziale con condizione iniziale zero, otteniamo .

Sostituendo il risultato, esce ·x = 0

1 u = 0

con perché consideriamo il movimento libero.

·x

Perciò, è costante, allora

1 x = x (0) = 2

1

e, rimanendo lì, l'uscita è sempre zero.

x x̄

Per gettar luce sull'evoluzione di , abbiamo anche che è non osservabile.

1

Quindi, X = sottospazio invisibile

NO

Esempio ·{ x = x + u

1 2

·x = - x

2 1

y = x

2

Rispetto all'esercizio precedente, ci sono delle differenze sostanziali.

Tc

Il sottospazio invisibile è ortogonale a e prendiamo

i seguito: 1. sempre[ ]2x̄ = 0 2. [ ]2y = [0 ] ⋅ =0 3. 1 0 Possiamo formattare il testo utilizzando i seguenti tag HTML: 1. La prima equazione può essere formattata come un paragrafo utilizzando il tag `

`: ```html

sempre[ ]2x̄ = 0

``` 2. La seconda equazione può essere formattata come un paragrafo utilizzando il tag `

`: ```html

[ ]2y = [0 ] ⋅ =0

``` 3. La terza riga può essere formattata come un paragrafo utilizzando il tag `

`: ```html

1 0

``` Il testo formattato con i tag HTML sarà quindi: ```html

sempre[ ]2x̄ = 0

[ ]2y = [0 ] ⋅ =0

1 0

```