La proprietà di stabilità dell'equilibrio

La proprietà di stabilità dell'equilibrio richiede quindi che il movimento perturbato rimanga "vicino" all'equilibrio nominale; scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile tra il movimento perturbato e l'equilibrio nominale, quest'ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur dipendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo all'equilibrio nominale.

instabile

Uno stato di equilibrio si dice se non è stabile. L'instabilità di uno stato di equilibrio implica quindi che esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello stato iniziale che provocano l'allontanamento dello stato del sistema dall'equilibrio stesso.

asintoticamente stabile

Uno stato di equilibrio si dice se è stabile e inoltre...

Il movimento perturbato tende all'equilibrio nominale per t a Stabilità del movimento u(t), x

Per un sistema dinamico invariante nel tempo si considerino un ingresso uno stato iniziale e il0x(t), nominale.movimento dello stato detto x(t), perturbato, u(t)

Si consideri anche un secondo movimento dello stato detto generato ancora a partire dax xma da uno stato iniziale diverso da .0 0stabilex(t)

• Un movimento si dice se, per ogni , esiste tale cheE Oso0xper tutti gli stati iniziali che soddisfano troll 511Xo E0risulti per tutti iIl Fittile EXIN tao

La proprietà di stabilità del movimento richiede quindi che il movimento perturbato stia "vicino" al movimento nominale; scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile tra il movimentoperturbato e quello nominale, quest'ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur diprendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo a

quello del nominale.instabilex(t)• Un movimento si dice se non è stabile.asintoticamente stabilex(t)• Un movimento si dice se è stabile e inoltre il movimento perturbato tende a sovrapporsi al movimento nominale per a

SISTEMI LINEARI E STAZIONARI A TEMPO CONTINUO

1. MOVIMENTO

Si consideri il sistema a tempo continuo lineare, invariante nel tempo descritto da

x(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Formula di Lagrange: u(t) x(t ) = x

Il movimento dello stato corrispondente all'ingresso e allo stato iniziale è dato dalla seguente formula di Lagrange:

x(t) = x₀ e^At + ∫ e^A(t-τ) B u(τ) dτ

Il corrispondente movimento dell'uscita è dato da:

y(t) = C x(t) + D u(t)

Movimento libero e movimento forzato:

Nei movimenti dello stato e dell'uscita del sistema, si può individuare un contributo dipendente solo dallo stato iniziale e uno dipendente solo dall'ingresso, dai quali il movimento complessivo si ottiene per

somma.Il contributo al movimento dello stato e dell'uscita funzione solo dello stato iniziale, cioè quello che si avrebbe se, a pari di stato iniziale, l'ingresso fosse nullo, si chiama ed è dato daealt.toItXlyoYLltICeAlttd.xoXFlHIl contributo al movimento funzione solo dell'ingresso, cioè quello che si avrebbe se, a pari ingresso, lo statomovimento forzatoiniziale fosse nullo, si chiama ed è dato datea Butt deto Itea Bull DutchdiYield C ttoPrincipio di sovrapposizione degli effettiConsiderato un sistema lineare e stazionario, sianoy' u' x 'x' e i movimenti dello stato e dell'uscita generati dall'ingresso e dallo stato iniziale◦ 0y'' u'' x ''x'' e i movimenti dello stato e dell'uscita generati dall'ingresso e dallo stato iniziale◦ 0h k, x''' y'''Allora per ogni coppia di scalari e i

movimenti dello stato e dell'uscita generati da u''(t) = hu'(t) + ku''(t)

ingresso: x'' = hx' + kx''

stato iniziale: 0 o 0Sono x'''(t) = hx''(t) + kx'''(t)

y'''(t) = hy''(t) + ky'''(t)

Autovalori e modi

Abbiamo visto in precedenza come calcolare il movimento libero di un sistema lineare.

n=1, A=a

Nel caso in cui l'ordine del sistema sia >1 e quindi scalare, le formule del movimento libero dipendono dalla funzione esponenziale e^at, mentre nel caso in cui è necessario analizzare la struttura della matrice e^At.

Matrice diagonalizzabile

A

In molti casi, ad esempio quando gli autovalori della matrice sono tra loro distinti, è possibile scegliere una matrice T in modo che la matrice della dinamica sia diagonale

D = T^(-1)AT

E' AAD Ta i an

Quando ciò accade il movimento libero

dello stato e dell'uscita del sistema risulta essere 4L XLIIICItXoTakit anni X , T , CEssi pertanto sono combinazioni lineari, con coefficienti dipendenti dagli elementi di termini0 Dmodiesponenziali detti editMatrice non diagonalizzabile◦ AQuando la matrice possiede autovalori multipli, cioè quando non tutti gli autovalori sono distinti traT.loro, può darsi che risulti impossibile renderla diagonale mediante un'opportuna trasformazione conI modi che costituiscono i movimenti liberi dello stato e dell'uscita sono della formar sit tit è realesee ditkt èWit didi joiesen see complesso2. EQUILIBRIOSi vogliono ora analizzare le caratteristiche di un sistema lineare tempo - invariante per quanto riguarda lecondizioni di equilibrio. ūAssumendo costante e pari a l'ingresso del sistema, sulla base dei risultati precedenti si può affermare chexgli stati di equilibrio sono le soluzioni dell'equazioneA x + B ū = 0 y = C x

+ D uA ogni stato di equilibrio corrisponde l'uscita di equilibrio: A det(A) = 0,

• Nel caso in cui la matrice sia invertibile, ovvero l'equazione ammette una e una sola soluzione, per cui lo stato di equilibrio è unico e risulta essere 1E A det(A) = 0,

• Nel caso in cui la matrice non sia invertibile, ovvero l'equazione per trovare gli stati di equilibrio può ammettere infinite soluzioni o anche non ammetterne alcuna.

3. STABILITÀ

Per un sistema lineare stazionario la determinazione delle proprietà di stabilità si può effettuare in modo semplice, perché esse di fatto sono relative all'intero sistema e dipendono dal solo movimento libero.

Stabilità del sistema But

Un movimento (o uno stato di equilibrio) di un sistema lineare stazionario è stabile, asintoticamente stabile o instabile se e solo se tutti i movimenti (o gli stati di equilibrio) del sistema sono rispettivamente

stabili, asintoticamente stabili o instabili.

Stabilità e movimento libero

Un sistema lineare stazionario è:

• stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati
• asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato tendono a zero
• instabile se e solo se almeno un movimento libero dello stato non è limitato.

Stabilità e autovalori

L'analisi del movimento libero ha mostrato che esso è costituito da una combinazione lineare di modi.

Si può verificare che, al variare dello stato iniziale, tutti i modi compaiono nel movimento libero dello stato e pertanto, per accertare che un sistema sia asintoticamente stabile occorre e basta verificare che i singoli modi tendano a zero per tendente all'infinito.

asintoticamente stabile

Un sistema lineare e stazionario è:

• stabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa
• instabile se almeno uno dei suoi autovalori ha parte reale positiva

almeno uno dei suoi autovalori ha parte reale positiva.

Polinomio caratteristico

Criterio dì Routh

Per formulare una condizione di stabilità asintotica che sia necessaria e sufficiente occorre per prima cosatabella di Routhdefinire la costruita a partire dai coefficienti del polinomio caratteristico.n+1

Essa possiede righe e ha una struttura triangolareao da anasai asi IIIIli dàhahi 43Ki ra Ksli lslai

Le prime due righe contengono i coefficienti del polinomio caratteristico: la prima contiene i coefficienti parila seconda i coefficienti dispari, fino all’esaurimento.

Successivamente ogni riga si costruisce sulla base degli elementi delle due righe precedenti.

Gli elementi necessari per applicare la formula e non definiti nelle righe devono essere considerati nulli.k = 0

Inoltre, se risulta la formula non è applicabile e allora si dirà che la tabella non è ben definita.

1• Un sistema lineare tempo invariante è asintoticamente stabile

se e solo se la tabella di Routh relativa al suo polinomio caratteristico è ben definita e tutti gli elementi della sua prima colonna hanno lo stesso segno.

4. SISTEMI NON LINEARI

Mostriamo ora come i risultati precedenti possano essere sfruttati anche per lo studio di sistemi non lineari, tempo - invarianti. Si consideri perciò un sistema non lineare, soggetto all'ingresso costante descritto da

x(t) = f ( x(t), u(t) )

y(t) = g ( x(t), u(t) )

Si faccia poi riferimento a un suo stato di equilibrio e alla corrispondente uscita di equilibrio detti nominali,

0 = f (x, u).

che soddisfano l'identità

Linearizzazione

Il procedimento della linearizzazione consiste nel descrivere il comportamento di un sistema non lineare attorno all'equilibrio nominale scelto mediante un particolare sistema lineare, che costituisce un'approssimazione del sistema originario.

u, x,

Se si introducono le variazioni delle variabili di ingresso, stato e uscita rispetto a