Fondamenti di Automatica

PROBLEMI E SISTEMI DI CONTROLLO

1. PROBLEMI DI CONTROLLO

Processo e variabili principali

problemi di controllo

I consistono nell’imporre un funzionamento desiderato a un processo assegnato.

Processo:

• si fa riferimento all’oggetto sul quale il problema è posto

Funzionamento desiderato:

• è espresso dalla richiesta che l’andamento nel tempo di alcune variabili del

controllata) di riferimento).

processo (variabile coincida con quello di altre variabili pre-assegnate (segnale

variabile controllata = segnale di riferimento

L’obiettivo di un problema di controllo si può sintetizzare con per

tutto l’intervallo di tempo in cui il funzionamento del processo è di interesse. Per raggiungere l’obiettivo si

variabile di controllo.

suppone di poter agire sul processo manipolando altre variabili scalari, che formano la

Incertezza

Nella realtà le variabili controllate non dipendono solamente dalle variabili di controllo, ma esistono altre

grandezze che non sono manipolabili che influenzano il comportamento del processo.

Le variabili che influiscono sul processo dall’esterno, ma che a differenza di quelle di controllo non si

disturbo.

possono manipolare, vengono raccolte nel vettore

Tempo

Tutte le variabili che intervengono in un problema di controllo sono funzioni del tempo. Esso può essere di

continuo, discreto,

tipo cioè descritto da una variabile reale che si indica con la lettera t, oppure cioè

k.

descritto da una variabile intera, che si denota con la lettera

2. SISTEMI DI CONTROLLO controllore,

La determinazione dell’andamento della variabile di controllo viene compita da un organo detto

regolatore. sistema di controllo.

o Il complesso costituito dal processo e dal controllore è denominato

Specifiche di progetto

L’obiettivo di progetto prevede la perfetta identità tra la variabile controllata e il segnale di riferimento; esso è

di fatto irraggiungibile. Nella pratica si può ritenere che un problema di controllo sia risolto se l’errore,

errore = segnale di riferimento - variabile controllata,

definito come soddisfi un insieme di requisiti/specifiche

che esprimono la necessità che esso risulti “accettabilmente piccolo” in tutte le condizioni di funzionamento

di interesse.

Controllo in anello Quando il controllore possiede informazioni solo sul anello

segnale di riferimento e sul disturbo, esso si dice in

aperto azione diretta.

o ad

Quando il controllore possiede informazioni, oltre che sul

segnale e sul disturbo, anche sulla variabile controllata in

anello chiuso retroazione.

uscita, esso si dice in o in

Strumentazione di processo

Affinché un processo possa essere connesso a un controllore, è indispensabile che esso sia corredato da

un’adeguata strumentazione che lo predispone al controllo.

Attuatore:

• ha la funzione di convertirete le variabili prodotte dal controllore nelle variabili manipolabili che

sono relative al processo

Trasduttori:

• hanno la funzione di misurare le grandezze fisiche delle variabili controllate e del disturbo, per

poi renderle disponibili al controllore.

3. MODELLISTICA MATEMATICA

Riformulazione dei problemi di controllo

Per affrontare in modo razionale un problema di controllo è molto conveniente darne prima di tutto una

riformulazione in termini puramente matematici.

Procedendo in questo modo, i problemi di controllo, posti originariamente nel “mondo della realtà”, vengono

quindi riformulati nel “mondo della matematica”, dove è molto più facile riconoscere profonde similitudini

formali tra problemi corrispondenti a realtà molto diverse tra loro.

automatica,

teoria del controllo,

Si può allora stizzire una detta che serve ad affrontare in termini matematici

astratti tutti questi problemi, per arrivare alla determinazione dei modelli dei controllori.

Problemi di sintesi

La soluzione di un problema di controllo consta di tre passi:

1. la riformulazione matematica del problema di controllo

2. la determinazione del modello matematico del controllore

3. la realizzazione del controllore

problema di sintesi/progetto,

Il secondo passo, denominato prescinde in larga misura dalla realtà fisica del

problema, che viene invece confinata nel primo e nel terzo.

Problema di analisi

problema di analisi

Un nasce invece quando si vogliono accertare le prestazioni di un sistema di controllo

completamente specificato anche per quanto riguarda il modello del controllore.

Ciò è indispensabile al termine di un progetto, prima di procedere alla realizzazione e all’installazione

sull’impianto, per verificare che siano soddisfatte tutte le esigenze.

SISTEMI DINAMICI A TEMPO CONTINUO

1. CONCETTI FONDAMENTALI

Variabili di ingresso, stato e uscita

sistema dinamico a tempo continuo

Un costituisce un modello matematico di un oggetto fisico il quale

interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo, assunto reale e

t.

indicato con il simbolo

variabili di ingresso u,

• rappresentano le azioni che vengono compiute sull’oggetto in esame da agenti

esterni che ne influenzano il comportamento (m = num. variabili ingresso)

variabili di uscita y,

• rappresentano quanto del comportamento dell’oggetto stesso è di interesse

(p = num. variabili uscita)

Per descrivere compiutamente l’oggetto da modellare è spesso necessario introdurre un terzo vettore di

variabili di stato x,

variabili, chiamate che descrivono la sua situazione interna (n = num. variabili stato).

Rappresentazione di stato

Introdotte le variabili, si può ora passare a descrivere la struttura delle equazioni che le mettono in relazione;

sistema dinamico a tempo continuo

un è costituito dalle equazioni:

equazione di stato: x(t) = f ( x(t), u(t), t )

• che mette in relazione con l’ingresso le variabili che descrivono la

x(t) t>t0.

situazione interna del sistema. Definisce in modo unico l’evoluzione dello stato per

trasformazione d’uscita y(t) = g ( x(t), u(t), t )

• che consente di determinare l’uscita ad uno specifico istante

di tempo sulla base della conoscenza di tale situazione e dell’ingresso allo stesso istante di tempo.

y(t) t>t0.

Definisce in modo unico l’evoluzione dell’uscita per

2. CLASSIFICAZIONE

Sistemi monovariabili e multivariabili (SISO e MIMO); monovariabili

si dicono (Single Input Single Output) i

sistemi dotati di una sola variabile di ingresso e di una sola variabile di uscita (m=p=1), mentre si dicono

multivariabili (Multiple Input Multiple Output) gli altri.

Sistemi propri, strettamente propri; g

se la funzione non dipende dall’ingresso, cioè se la trasformazione di

y(t) = g ( x(t), t ), strettamente proprio

uscita si può scrivere nella forma allora il sistema si dice perché l’uscita

proprio.

dipende dall’ingresso non direttamente, ma solo attraverso lo stato. In generale il sistema si dice

Sistemi invarianti e varianti nel tempo; invariante nel tempo f

si parla di sistema nel caso in cui le funzioni e

g x(t) = f ( x(t), u(t) ) y(t) = g ( x(t), u(t) ),

non dipendano esplicitamente dal tempo, cioè risulti mentre se anche

t variante nel tempo.

una sola delle funzioni dipende esplicitamente da il sistema si dice

Sistemi lineari e non lineari; f g x u, x(t) y(t)

quando le funzioni e sono lineari in e cioè quando sia che sono

x(t) u(t)

combinazioni lineari delle varie componenti dei vettori e allora il sistema si può scrivere nella forma

x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t), A, B, C, D,

e dove le matrici sono funzioni del tempo.

lineare,

In questo caso il sistema si dice mentre se le equazioni del sistema non assumono la forma sopra

non lineare.

riportata si parla di sistema

3. EQUILIBRIO u(t) = ū

Per i sistemi invarianti nel tempo soggetti a ingressi costanti sono di particolare importanza quei

movimenti dello stato e dell’uscita che risultano anch’essi costanti nel tempo. Questi movimenti sono detti,

stati e uscite di equilibrio.

rispettivamente, x(t) = 0, x

Gli stati di equilibrio devono soddisfare l’equazione cioè sono le soluzioni costanti nel tempo

f ( x, u ) = 0.

dell’equazione

Questa equazione può avere una sola soluzione, può averne tante oppure nessuna; in ogni caso, a ciascuna

y y = g ( x, u ).

di esse corrisponde un’uscita di equilibrio calcolabile mediante la relazione

Uno stato di equilibrio è dunque uno stato in cui un sistema, sollecitato da un ingresso costante, permane

indefinitamente se vi si trova in un qualunque istante di tempo.

t x(t) = x, x(t) = x t > t;

Se al tempo lo stato del sistema è allora risulta anche per ogni quindi l’uscita rimane

y.

costante al valore

4. STABILITÀ

stabilità

La nozione di considera le conseguenze sul movimento di un sistema di un’incertezza sul valore

iniziale del suo stato, nell’ipotesi che gli ingressi siano fissi e noti. In pratica essa richiede che piccole

perturbazioni dello stato iniziale rispetto ad un valore di riferimento provochino solo piccole perturbazioni sul

movimento dello stato, eventualmente destinate ad annullarsi.

Stabilità dell’equilibrio u(t) = u

Per un sistema dinamico invariante nel tempo, si considerino un ingresso costante e un

nominale.

corrispondente stato di equilibrio x, detto x(t), perturbato, u,

Si consideri anche un movimento dello stato detto generato a partire ancora da ma da uno

x x.

stato iniziale diverso da

0 stabile

x

• Uno stato di equilibrio si dice se per ogni , esiste tale che

E 8 O

O

x

per tutti gli stati iniziali che soddisfano E 11 5

11Xo E

0

risulti per tutti i

E te 0

Il

HI

Il X

La proprietà di stabilità dell’equilibrio richiede quindi che il movimento perturbato rimanga “vicino”

all’equilibrio nominale; scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile tra il movimento

perturbato e l’equilibrio nominale, quest’ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur di

prendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo all’equilibrio nominale.

instabile

x

• Uno stato di equilibrio si dice se non è stabile.

L’instabilità di uno stato di equilibrio implica perciò che esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello

stato iniziale che provocano l’allontanamento dello stato del sistema dall’equilibrio stesso.

asintoticamente stabile

• Uno stato di equilibrio si dice se è stabile e inoltre Il

11

XIN 0

X

fi

La proprietà di stabilità è quindi rafforzata chiedendo anche che il movimento perturbato tenda all’equilibrio

nominale per t a

Stabilità del movimento u(t), x

Per un sistema dinamico invariante nel tempo si considerino un ingresso uno stato iniziale e il

0

x(t), nominale.

movimento dello stato detto x(t), perturbato, u(t)

Si consideri anche un secondo movimento dello stato detto generato ancora a partire da

x x

ma da uno stato iniziale diverso da .

0 0

stabile

x(t)

• Un movimento si dice se, per ogni , esiste tale che

E Oso

0

x

per tutti gli stati iniziali che soddisfano troll 5

11Xo E

0

risulti per tutti i

Il Fittile E

XIN tao

La proprietà di stabilità del movimento richiede quindi che il movimento perturbato stia “vicino” al

movimento nominale; scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile tra il movimento

perturbato e quello nominale, quest’ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur di

prendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo a quello del nominale.

instabile

x(t)

• Un movimento si dice se non è stabile.

asintoticamente stabile

x(t)

• Un movimento si dice se è stabile e inoltre il movimento perturbato tende a

sovrapporsi al movimento nominale per a

SISTEMI LINEARI E STAZIONARI A TEMPO CONTINUO

1. MOVIMENTO

Si consideri il sistema a tempo continuo lineare, invariante nel tempo descritto da

x(t) = A x(t) + B u(t) Meir

ira

E

y(t) = C x(t) + D u(t) IRP

YE

Formula di Lagrange u(t) x(t ) = x

Il movimento dello stato corrispondente all’ingresso e allo stato iniziale è dato dalla seguente

0 0

formula di Lagrange

espressione, detta tea

editto Bull de

It a

Il corrispondente movimento dell’uscita è Itea

to

Cea Bull Dutch

de

I c t

y to

Movimento libero e movimento forzato

Nei movimenti dello stato e dell’uscita del sistema, si può individuare un contributo dipendente solo dallo

stato iniziale e uno dipendente solo dall’ingresso, dai quali il movimento complessivo si ottiene per somma.

Il contributo al movimento dello stato e dell’uscita funzione solo dello stato iniziale, cioè quello che si

movimento libero

avrebbe se, a pari di stato iniziale, l’ingresso fosse nullo, si chiama ed è dato da

ealt.to

It

Xl

yoYLltI

CeAlt

td.xoXFlH

Il contributo al movimento funzione solo dell’ingresso, cioè quello che si avrebbe se, a pari ingresso, lo stato

movimento forzato

iniziale fosse nullo, si chiama ed è dato da

tea Butt de

to Itea Bull Dutch

di

Yield C t

to

Principio di sovrapposizione degli effetti

Considerato un sistema lineare e stazionario, siano

y’ u’ x ’

x’ e i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso e dallo stato iniziale

◦ 0

y’’ u’’ x ’’

x’’ e i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso e dallo stato iniziale

◦ 0

h k, x’’’ y’’’

Allora per ogni coppia di scalari e i movimenti dello stato e dell’uscita generati da

u’’’(t) = h u’(t) + k u’’(t)

‣ ingresso: x ’’’ = h x ’ + k x ’’

‣ stato inziale: 0 o 0

Sono x’’’(t) = h x’(t) + k x’’(t)

• y’’’(t) = h y’(t) + k y’’(t)

•

Autovalori e modi

Abbiamo visto in precedenza come calcolare il movimento libero di un sistema lineare.

n=1, A=a

Nel caso in cui l’ordine del sistema sia e quindi scalare, le formule del movimento libero dipendono

n>1

dalla funzione esponenziale , mentre nel caso in cui è necessario analizzare la struttura

eat

dell’esponenziale di matrice eat

Matrice diagonalizzabile

◦ A

In molti casi, ad esempio quando gli autovalori della matrice sono tra loro distinti, è possibile

di

T = T

scegliere una matrice in modo che la matrice della dinamica sia diagonale

D

TÈ A

AD Ta i an

Quando ciò accade il movimento libero dello stato e dell’uscita del sistema risultano

e

TÈ 4L XLIII

C

It

Xo

Ta

kit anni X , T , C

Essi pertanto sono combinazioni lineari, con coefficienti dipendenti dagli elementi di termini

0 D

modi

esponenziali detti edit

Matrice non diagonalizzabile

◦ A

Quando la matrice possiede autovalori multipli, cioè quando non tutti gli autovalori sono distinti tra

T.

loro, può darsi che risulti impossibile renderla diagonale mediante un’opportuna trasformazione con

I modi che costituiscono i movimenti liberi dello stato e dell’uscita sono della forma

r sit ti

t è reale

se

e dit

k

t è

Wit di

di joie

sen se

e complesso

2. EQUILIBRIO

Si vogliono ora analizzare le caratteristiche di un sistema lineare tempo - invariante per quanto riguarda le

condizioni di equilibrio. ū

Assumendo costante e pari a l&rsq