Fondamenti di Automatica

SISTEMI LINEARI

I sistemi dinamici sono modelli matematici utilizzati per rappresentare alcune situazioni fisiche.I sistemi lineari sono una classe particolare di sistemi dinamici e sono caratterizzati da variabili di ingresso u, di stato x e di uscita y. Essi si studiano lungo il tempo che può essere un intero (sistema a tempo discreto) o un reale (sistema a tempo continuo).

Le variabili di ingresso & uscita sono dette esterne, mentre le variabili di stato sono dette interne.

Quando l'ingresso non influenza l'uscita i sistemi sono perciò, altrimenti impropri. I sistemi senza ingresso (b=0) sono detti autonomi.

SISTEMI LINEARI A TEMPO CONTINUO

ẋ(t) = Ax(t) + bu(t)y(t) = C^Tx(t) + du(t)

SISTEMI LINEARI A TEMPO DISCRETO

x(t+1) = Ax(t) + bu(t)y(t) = Cx(t) + du(t)

MOVIMENTO TRAIETTORIA ED EQUILIBRIO

Fissato lo stato iniziale X(0) e l' ingresso u(t) per t > 0, le equazioni di stato ẋ e x(t+1) ammettono un'unica soluz. X(t).La funzione X(.) così individuata si chiama movimento, mentre l'insieme X(t) ∈ Rⁿ si chiama traiettoria e la proiezione del movimento nello spazio di stato.

Nei sistemi a tempo continuo la traiettoria è un'orbita xalitata x(t) con un preciso verso di percorrenza mentre nei sistemi a tempo discreto la traiettoria è una successione ordinata di punti.

Può accadere che una traiettoria sia periodica, un caso particolare è se quando lo stato del sistema non varia nel tempo: il sistema è apprezzato da un punto x̅ detto stato di equilibrio.

Un sistema si dice all'equilibrio se l'ingresso, stato ed uscita sono costanti ∃t > 0: u(t) = u̅ x(t) = x̅ y(t) = y̅

TEMPO CONTINUO

AL' EQUILIBRIO → x(t) = x̅ → ẋ(t) = 0 Quindi abbiamo:

| Ax̅ + bu̅ = 0 | y̅ = Cx̅ + du̅

EQUAZIONI ALL' EQUILIBRIO PER SISTEMI A TEMPO CONTINUO

Conclusioni

1. det A ≠ 0 (A è non singolare, A non ha autovalori nulli) G ∃! x̄ tale che x̄ = A^-1ū (ȳ = (d - cT^-1b)ū)
2. det A = 0
   1. ∀ x̃ (ū≠0)
   2. ∃ ∞ x̃ (ū=0)

Nel caso A non singolare, possiamo ottenere il quadrupolo adttraverso il sistema di studiosciuelleariamente il suddiviso cautu:

μ = ẏ̄/ā = d - cT^-1b

x(t+1) = x(t) = x̄ quindi abbiamo

EQUIAZIONE DI EQUILIBRIO PER SISTEMI A TEMPO DISCRETO

condizioni

1. det (I-A) ≠ 0
2. λ ≠ 1
3. G ∃! x̄ tale che x̄ = -(I-A)^-1bū (ȳ = (d+cT(I-A)^-1b)ū)
   1. ∀ x̃
   2. ∃∞ x̃
4. det (I-A) = 0

nel caso di det (I-A) ≠ 0, il quadrupolo è dato da: μ= ẏ̄/ā = (c(I-A)^-1b+d)

FORMULA DI LAGRANGE

Dalle equazioni di staoudi sul continu ala seconda seguito lineare alque che lo staudi di sicuramente è un funzionale surioello allo istante ini tantedati tn dello stesso nuline intervallo di tempo [0,t] e dato durato t aall’intervallo di tempo considerando.

TEMPO CONTINUO

Dato ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) lo saudio x(t) per t ≥ 0 è dato X(t) = e^At x(0) + ∫ e^(t-τ)A bu(τ) dτ con e^At = I+At+(At)²/2! + (At)³/3!

STABILITÀ NEI SISTEMI LINEARI

la stabilità mi permette di caratterizzare il comportamento asintotico (t→+∞) del sistema

DEFINIZIONI

un sistema dinamico Σ

• asintoticamente stabile (e quindi punto vale ∀x(0) → ϕ(t)^x(0))
• semplicemente/marginalmente stabile (ϕ(t)^x(0)) se è limitato non converge
• instabile se ∃ x(0) tale che ∀t ϕ(t) ^x(0) → ∞ tale che ϕ(t)^x(0)) non esista M ∀t >0, ∃ x(0) tale che ϕ(t)^x(0)

Qual è il legame tra asintotica stabilità e l'equilibrio?

TEOREMA

Un sistema è ASINTOTICAMENTE STABILE se e solo se:

Orizzontale: ∀i ∃ i verso cui tende lo stato del sistema per qualunque x(0) se u(t) = ū (x(t) → ∼x ∀x(0))

DIMOSTRAZIONE

⇒ IPOTESI: sistema è ASINTOTICAMENTE STABILE ⇒ ϕ(t) → 0

• Supponiamo che: ∃∼x ∀i Ax + bū = 0
• siano e(t) la variabile di errore cosi definita: e(t) = x(t)−(x-∼x)
• deriviamo e(t) = Ax+ bū = A(x(t)+ e(t))+bū = A(e+x̃)+bū
• ⇒ e(t) = exp(At) e(0)
• per ipotesi il sistema è asintoticamente stabile ϕ(t) ^→e A
• ⇒ e(t⁾ → 0 t∈(0)
• ⇒ X(t) ^→X ∀x(0) poiché e(t)=x(t)-x̃

Supponiamo che: ∃ x'^∼ x_∼ ⇒ ∃ u ⇒ Array(t)e(t) = 0

supponiamo che x _∼∼∼ ∃ così un ulteriore assurdo altrimenti nulla se Ax ^x _x = x

da quodamponiamo limitato ad ∞ è ϕ(t)

⇒ (ipotesi)

allora X(e(t))_→0 ^x̃

\| x∼u = lim(x̃

e(t)' ∀(0)

il movimento laterale costi ne ∆x ∈ Asintoticamente stabile

in lezo V(x(t))

disturbo non abbiamo controllo su questa variabile, ma possiamo misurarlo.

NODO SOMMATORE

A causa del disturbo l’uscita potrebbe subire variazioni. Il nostro obiettivo è quello di mantenere costante: senza disturbo, all’equilibrio ho u(t)=ū , ∀t≥0 ⇒ ̅=ū.

Considerando il disturbo:

̇₁ = ū - ₁̇₂ = ₁-₂̇₃ = ₂-₃ = ₃+d

All’equilibrio ū = ₁₁ = ₂₂ = ₃

( =0, ̅=ū)

̅ = ̅/ + → ̅=̅+ (1)

Studiamo la stabilità:

= |- 0 0|| - 0 || 0 - |

matrice triangolare inferiore ha 3 autovalori coincidenti reali negativi ⇒ ASINTOTICAMENTE STABILE

Siamo dipendenti dal DISTURBO ⇒ proponiamo un sistema di controllo:

misuriamo la variabile di uscita istante per istante e attraverso un CONTROLLER (algoritmo) regola l’ingresso u(t) tramite un termine correttivo;

(t) = ū - ((t)-ū) termine correttivo parametro di sensitività >0

(t) ≡ ū quando b (faccio diminuire u(t))(t) = ū quando ℎ (faccio aumentare u(t))

VANNO SEMPRE VERIFICATE LA STABILITÀ E L’EQUILIBRIO

Come diventano le eazioni di stato? (EQUILIBRIO)

̇₁ = ū - k̇((t)-ū) -- ₁ = ū - k(₃̇− ū) - ₁̇₂ = ₁ - ₂̇₃ = ₂ - ₃

All’equilibrio -(1+)₃ + (1+)ū= kd₁ = ₂₂ = ₃̇ = 0