Fondamenti di Automatica

SISTEMI LINEARI

I sistemi dinamici sono modelli matematici utilizzati per rappresentare alcune situazioni fisiche. I sistemi lineari sono una classe particolare di sistemi dinamici e sono caratterizzati da variabili di ingresso u, di stato x e di uscita y. Essi si evolvono nel tempo che può essere un intero (sistemi a tempo discreto) o un reale (sistema a tempo continuo).

Le variabili di ingresso e uscita sono dette esterne, mentre le variabili di stato sono dette interne. Quando l'ingresso non influenza l'uscita i sistemi sono propri, altrimenti impropri. I Sistemi senza ingresso (b=0) sono detti autonomi.

SISTEMI LINEARI A TEMPO CONTINUO

SISTEMI LINEARI A TEMPO DISCRETO

MOVIMENTO TRAIETTORIA ED EQUILIBRIO

Fissato lo stato iniziale x(0) e l'ingresso u(t) per t≥0, le equazioni di stato ẋ e x(t+1) ammettono un'unica soluzione X(t). La funzione x(·) così individuata si chiama movimento, mentre l'insieme X(t): Rⁿ→Rⁿ si chiama traiettoria, e la proiezione del movimento nello spazio di stato.

Nei sistemi a tempo continuo la traiettoria e un'orbita tracciata in x(·), con un preciso verso di percorrenza, mentre nei sistemi a tempo discreto la traiettoria è una successione ordinata di punti.

Può accadere che una traiettoria sia periodica; un caso particolare si ha quando lo stato del sistema non varia nel tempo: il ciclo è rappresentato da un punto x detto stato di equilibrio.

Un sistema si dice all'equilibrio se ingresso, stato e uscita sono costanti.

∀t≥0, u(t)=u̅ x(t)=x̅ y(t)=y̅

TEMPO CONTINUO

ALL'EQUILIBRIO → x(t)=x̅ → ẋ(t)=0 Quindi abbiamo

Equazioni all'equilibrio per sistemi a tempo continuo

SISTEMI LINEARI

I sistemi dinamici sono modelli matematici utilizzati per rappresentare alcune situazioni fisiche.I sistemi lineari sono una classe particolare di sistemi dinamici e sono caratterizzati da variabili di ingresso, di stato x e di uscita y. Così si studia l'evoluzione nel tempo che può essere un intero (sistemi a tempo discreto) o un reale (sistema a tempo continuo).

Le variabili di INGRESSO & USCITA sono dette ESTERNE, mentre le variabili di STATO sono dette INTERNE.

Quando l'INGRESSO non influenza l'USCITA i sistemi sono PROPRI, altrimenti IMPROPRI. I Sistemi SENZA INGRESSO (b=0) sono detti AUTONOMI.

SISTEMI LINEARI A TEMPO CONTINUO

• ẋ(t) = Ax(t) + bu(t)
• y(t) = Cᵀx(t) + du(t)

SISTEMI LINEARI A TEMPO DISCRETO

• x(t+1) = Ax(t) + bu(t)
• y(t) = Cᵀx(t) + du(t)

MOVIMENTO TRAIETTORIA ED EQUILIBRIO

Fissato lo stato iniziale x(0) e l'ingresso u(t) per t≥0, le equazioni di stato ẋ e x(t+1) ammettono un'unica soluz. X(t).La funzione x(•) così individuata si chiama movimento, mentre l'immagine X(L)=Rⁿ→Rᵐ si chiama traiettoria e la proiezione del movimento nello spazio di stato.

Nei sistemi a TEMPO CONTINUO la traiettoria è un'orbita tracciata in x(0), con un preciso verso di percorrenza; mentre nei sistemi a tempo discreto la traiettoria è una successione ordinata di punti.

Può accadere che una traiettoria sia periodica; un caso particolare si ha quando lo stato del sistema non varia nel tempo: il ciclo si è appressato da un punto x detto stato di equilibrio.

Un SISTEMA si dice all'EQUILIBRIO se ingresso, stato e uscita sono COSTANTI per t≥0, ossia u(t)=ū, x(t)=x̄, y(t)=ȳ

• TEMPO CONTINUO

All'EQUILIBRIO → x(t)=x̄ → ẋ(t)=0 Quindi abbiamo

• Ax̄ + bū = 0
• ȳ = Cᵀx̄ + dū

EQUAZIONI ALL'EQUILIBRIO PER SISTEMI A TEMPO CONTINUO

Condizioni

1. det A ≠ 0      (A è non singolare, λ ≠ 0)
   • ∃! x̅      tale che      x̅= A^-1bu̅      (ŷ =(d-cT A^-1b)u̅)
2. det A = 0
   • a) ∄ x̅      (u̅ ≠ 0)
   • b) ∃∞ x̅      (u̅ = 0)

Nel caso A non singolare, possiamo ottenere il guadagno del sistema μ che generalmente è indicato come:

μ = y