Fondamenti di Automatica

AUTOMATICA

SEGNALE = FUNZIONE DEL TEMPO

• t = TEMPO CONTINUO
• t ∈ R⁺
• t = TEMPO DISCRETO
• t ∈ N

SEGNALI CAMPIONATI = SEGNALI A TEMPO CONTINUO LETTI A INTERVALLI DI TEMPO.

SISTEMI DINAMICI = LA RISPOSTA DEL SISTEMA NON É IMMEDIATA

IL SISTEMA DIPENDE DA MEMORIA CON L’ENTRATA IN SISTEMI COSÌ SI CHIAMA PROPRIO

SISTEMI LINEARI DINAMICI:

AX = b

y = Cx + du

• dove: A = matrice di stato
• b = vettore di ingressi d = vettore di uscita

GRADI DI LIBERTÁ DI UN SISTEMA SONO LE DIREZIONI IN CUI PUÒ MUOVERE UN GRADO DI LIBERTÀ. IL SISTEMA NECESSITA DI 2k EQUAZIONI

X(t) = l’osservazione del sistema

X(e), t(e) = il movimento del sistema

LA TRAIETTORIA È LA PROIEZIONE DEI MOVIMENTI NELLO SPAZIO DI STATO DOVE VIVE IL MOVIMENTO (X ∈ Rⁿ)

L’EQUILIBRIO SIGNIFICA LE TRAIETTORIE COSTANTI

t CONTINUO = dx/dt = Ax + Bu

t DISCRETO = X⁺ = AX + BU

EQUILIBRIO dx/dt = 0

X⁺ = AX

X = -A^-1bū

X = (I - A)^-1bū

x(t) = A^ttpl + I^t/₀eAp

EQUILIBRIO OPPURE 2k EQUILIBRI

GUADAGNO

μ = y/ŵ = (-cA^-1b + d)

+= (IA)^-1b + d

FORMULA DI LAGRANGE

X(t) = Φ(t)eX(0) + ∫₀^t Φ(t-τ)b.N(τ)dτ

dove Φ(t)e = e^At

libero ^{t discreto}

Φ1At^x-1 ^libero

forzato ^forzato

X(t) = A^tX(t) + ∑_k=0ZNA^t-1Es

t continuo

movimento libero ^{movimento forzato}

• trova il consiglio se il sistema disinharmonizza simplice

SOVRAPPOSIZIONE DI CAUSE ED EFFETCONI

S^X(t) => X^l(t), Y^l(t)

∪(t) => X(t), Y(t)

X(t) = AX(t) + BX(t)

NNNFLN_edtnL传播, βX(t)

• 已(b - a), 从 x(t),, βX(t)
• 先 Y"el(x), u(t), βλει, pβ(t)

MODELLO I/O

dx/dt = λx + λy + bU

dy/dt = cX + dU

Y = G(p) = c(pI - A)^-1b + d

G(p) = c(pI - A)^-1b + d

STABILITÀ:

• Il sistema Σ è asintoticamente stabile se φ(ξ) x(t) > 0 ∀x(0)
• Il sistema Σ è stabilmente stabile marginalmente stabile se φ(ξ) x(t) = 0
• Il sistema Σ è instabile se ∃x(0) tale che φ(ξ)x(t) è illimitato

Dove φ(ξ):

• ∑ e^λt se λ ∊ Λ è un continuo
• ∑ a^α se λ ∊ Λ è discreto

Geometria delle traiettorie

A ∈ ℝ continuo, dim 2

• Autovalori reali distinti:
  • λ₁, λ₂ > 0
    • Nodo o 1/2 tangente
  • λ₁ < 0 < λ₂
    • Sella instabile
• Autovalori reali coincidenti:
  • A:
    • λ₁ > 0, 0 1
    • Stabile se ✻ stella (nodo stellino)
  • A:
    • λ₁ < 0, 0 1
    • Stabile se A nodo 1/2 tangente
• Autovalori complessi coniugati:
  • λ = α ± β
    • α = 0
      • Centro semplicemente stabile
    • α ≠ 0
      • Fuoco, stabile se α < 0

Generalizzazione a più dimensioni. Banale sul quaderno.

Sovraelongazione quando prima di raggiungere l'equilibrio, esso viene superato

(A_C) è completamente osservabile ⟺ X_NO = {Φ}

(A,C) è completamente osservabile ⟺ rank(Θ) = n

RICOSTRUZIONE ASINTOTICA DELLO STATO:

Ricostruire l’uscita senza conoscere lo stato

Il ricostruttore funziona solo per processi asintoticamente stabili

ẋ̂ = A x̂ + b u + L (ẏ - y)

ẏ = C x̂

Ponendo e = x̂ - x

⇒ ė = (A+LC)e

Vogliamo che per t→∞ l’errore e tra gli stati ẋ̂ e ẋ tenda a zero, ovvero: e(t)→0 ∀ x(0)-x̂(0) t→∞

⇒ Dobbiamo avere A+LC asintoticamente stabile

Per il teorema dell’osservamento degli autovalori:

(A,L) è completamente osservabile ⟺ ∃! L: Δ_A+LC (λ) = Δ*(λ)

dove Δ*(λ) = λⁿ + a_n-1λ^n-1 +... radici a piacere

In un sistema a memoria finita dobbiamo imporre che tutti gli autovalori siano 0

ms = 1, λ = 0 N = 1

Oss.

Supponiamo di avere un sistema descritto da una funzione di trasferimento G(s):

• N(t) = imp(t) U(t) = 1
• U(s) = 1
• Yimp(s) = G(s) : U(s) : G(s)
• N(t) = scal(t) U(s) = 1/s
• Yscal(t) = G(s) U(s) = G(s) / s

La risposta all'impulso è la derivata della risposta allo scalino se Yscal(0) = 0

La risposta allo scalino è l'integrale della risposta dell'impulso

Prestazioni di progetto di un sistema di controllo:

• Dinamica
  • Stabilità Asintotica
  • Stabilità Robusta
  • Tempo di risposta
  • Prontezza di N(l)
• Staz. errore a regime

Stabilità del sistema di controllo:

• Criterio di Nyquist:

  Sia N il numero di giri del diagramma di Nyquist attorno a -1 positivi se in senso antiorario e negativi se in senso orario. Sia P il numero di poli di L(s) con parte reale maggiore di zero.

  U(s) è asintoticamente stabile ↔ N non definito e N = P

• Criterio di Bode
  • Condizioni di accettabilità:
    • |Le| = 0 poli in L(s) con parte reale positiva
    • Utilizzo tabelle:
      • Wm > 1 rad/sec
      • Ai = Δφ
      • WC tabella
      • L(s)
      • 20 dB

Esempi sul quaderno:

Per cautelarsi da possibili errori dovuti a approssimazioni si pone Ym/Yd = Ym è un indice di robustezza maggiore é Ym più sistema è robusto.

Per calcolare il tempo di risposta di H(Z), applicando HWGZ.

Considerazioni sul comportamento del sistema alla modifica di parametri sul quaderno.

Precisione a regime:

(Passaggi sul quaderno)

e(t) = 1/z U(s) + 1/z L(s) U(s) - 1/z L(s) e(t) = e ^{è l'errore (W - V)}.

Si nota che anche l'ingresso che poniamo v0(vol) genera errore: è = 0.

W e ⁰ = 1/Z H(s) 1+L(s) W+1 L(s) 1+Z

dove L(s) = 1-L ₁ (ζ) = ωc